文档内容
内蒙古呼和浩特市 2020 年中考数学试题
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．
2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并
交回．
3．本试卷考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2. 2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，
不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下： ，0， ， ， ，则这5天他共背诵汉语
成语（ ）
A. 38个 B. 36个 C. 34个 D. 30个
【答案】A
【解析】
【分析】总成语数= 5天数据记录结果的和+6×5，即可求解．
【详解】解：（+4+0+5-3+2）+5×6=38个，
∴这5天他共背诵汉语成语38个，
故选A.
【点睛】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、
=
=
= ，故选项正确；D、 ，故选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的
关键是学会计算，掌握运算法则.
4. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的
图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A. 0.75 B. 0.625 C. 0.5 D. 0.25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由
概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．
【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为 =0.75，
.
故选A
【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题，用到的知识点为：电流能正常通过的概率=1-电流不
能正常通过的概率．
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减
一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，
由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（
）
A. 102里 B. 126里 C. 192里 D. 198里
【答案】D
【解析】
【分析】
设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x
里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选D.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6. 已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总
相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
【详解】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数
图像的对称轴为y轴.
7. 关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A. 若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点 ，则
B. 当 时，y有最小值
C. 对应的函数值比最小值大7
D. 当 时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可
判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a
值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】解：A、将二次函数 向上平移10个单位，再向左平移
2个单位后，
表达式为： = ，
若过点（4，5），
则 ，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵ ，开口向上，
∴当 时，y有最小值 ，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即 对应的函数值比最小值大25，故选项错
误；D、△= =9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程 有两个不同的实
数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数
的性质，以及与一元二次方程的关系.
8. 命题①设 的三个内角为A、B、C且 ，则 、 、 中，最多
有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评
分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．
其中错误命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】
①设 、 、 中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时矛盾，并且说明有一个锐
角的情况存在即可；②利用中位线的性质和矩形的判定可判断；③根据评分规则和中位数、方差的意义判
断.
【详解】解：①设 、 、 中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设 、 为锐角，
则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C=A+180°＜180°，
∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命题①正确；
②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；
③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题③错误；
综上：错误的命题个数为1，
故选B.
【点睛】本题考查了命题与定理，涉及到三角形内角和，菱形的性质与矩形的判定，中位数和方差，解题
时要根据所学知识逐一判定，同时要会运用反证法.
9. 在同一坐标系中，若正比例函数 与反比例函数 的图象没有交点，则 与 的关系，下面
四种表述① ；② 或 ；③ ；④ ．正确的有
（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得出k 和k 异号，再分别判断各项即可.
1 2
【详解】解：∵同一坐标系中，正比例函数 与反比例函数 的图象没有交点，
若k＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
1
则k＜0，
2
若k＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
1
则k＞0，
2
综上：k 和k 异号，
1 2①∵k 和k 的绝对值的大小未知，故 不一定成立，故①错误；
1 2
② 或 ，故②正确；
③ ，故③正确；
④∵k 和k 异号，则 ，故④正确；
1 2
故正确的有3个，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图像，绝对值的意义，解题的关键是得到k 和k 异号.
1 2
10. 如图，把某矩形纸片 沿 ， 折叠（点E、H在 边上，点F，G在 边上），使点B
和点C落在 边上同一点P处，A点的对称点为 、D点的对称点为 ，若 ， 为
8， 的面积为2，则矩形 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出
D′H＝ x，由S = D′P·D′H= A′P·D′H，可解得x=2 ，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
△D′PH
【详解】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，
由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵ ，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2=8：2，
∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，
∴D′H= x，
∵S = D′P·D′H= A′P·D′H，即 ，
△D′PH
∴x=2 （负根舍弃），
∴AB=CD=2 ，D′H=DH= ，D′P=A′P=CD=2 ，A′E=2D′P=4 ，
∴PE= ，PH= ，
∴AD= = ，
故选D.
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学
会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（本大题共6小题，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答
过程）
11. 如图， 中， 为 的中点，以 为圆心， 长为半径画一弧交 于 点，若 ，
， ，则扇形 的面积为_________．
【答案】
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计算．
【详解】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=20°，
又∵ 为 的中点，
∵BD=DC= ，DE=DB，
∴DE=DC=2，
∴∠DEC=∠C=20°，
∴∠BDE=40°，
∴扇形BDE的面积=
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式S =
扇形
是解题关键．
12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．
【答案】3π+4
【解析】
【分析】
首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
故答案为：3π+4．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度
不大．
13. 分式 与 的最简公分母是_______，方程 的解是____________．
【答案】 (1). (2). x=-4
【解析】
【分析】
根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【详解】解：∵ ，
∴分式 与 的最简公分母是 ，
方程 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，变形得： ，
解得：x=2或-4，
∵当x=2时， =0，当x=-4时， ≠0，
∴x=2是增根，
∴方程的解为：x=-4．
【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
14. 公司以3元/ 的成本价购进 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑
橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售
部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质 柑橘损坏的频率
量
（精确到0.001）
… … …
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
.
【答案】 (1). 09 (2).
【解析】
【分析】
利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在 0.1左右，由此可估计柑橘完好
率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答．
【详解】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐
明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000，
解得x= ．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为 元，
故答案为：0.9， ．
【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到
售价与利润的等量关系是解决问题的关键．15. “书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，
每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累
积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5
月30日应该是星期几____________．
【答案】 (1). 112 (2). 星期五或星期六或星期日
【解析】
【分析】
首先得出5月1日～5月28日，是四个完整的星期，即可得到这些天共用的宣纸张数；分别分析5月30日
当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【详解】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：（1+2+3+4+5+6+7）×4=112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五或星期六或星期日．
故答案为：112；星期五或星期六或星期日.
【点睛】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
16. 已知 为⊙O的直径且长为 ， 为⊙O上异于A，B的点，若 与过点C的⊙O的切线互相垂
直，垂足为D．①若等腰三角形 的顶角为120度，则 ；②若 为正三角形，则
；③若等腰三角形 的对称轴经过点D，则 ；④无论点C在何处，将 沿
折叠，点D一定落在直径 上，其中正确结论的序号为_________．
【答案】②③④
【解析】【分析】
①过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E， 求出∠CAD=30°，得到 CD= AC，再说明 OE= r，利用
∠OCA≠∠COE，得到CE≠OE，即可判断；②过点A作AE⊥OC，垂足为E，证明四边形AECD为矩形，
即可判断；③画出图形，证明四边形AOCD为矩形，即可判断；④过点C作CE⊥AO，垂足为E，证明
△ADC≌△AEC，从而说明AC垂直平分DE，得到点D和点E关于AC对称，即可判断.
【详解】解：①∵∠AOC=120°，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∵CD和圆O相切，AD⊥CD，
∴∠OCD=90°，AD∥CO，
∴∠ACD=60°，∠CAD=30°，
∴CD= AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
则CE=AE= AC=CD，
而OE= OC= r，∠OCA≠∠COE，
∴CE≠OE，
∴CD≠ r，故①错误；
②若△AOC为正三角形，
∠AOC=∠OAC=60°，AC=OC=OA=r，
∴∠OAE=30°，
∴OE= AO，AE= AO= r，
过点A作AE⊥OC，垂足为E，
∴四边形AECD为矩形，∴CD=AE= r，故②正确；
③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，
∴AD=CD，而∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠DCA=45°，又∠OCD=90°，
∴∠ACO=∠CAO=45°
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD=AO=r，故③正确；
④过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠CAD=∠OAC，
∴CD=CE，
在△ADC和△AEC中，
∠ADC=∠AEC，CD=CE，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC（HL），
∴AD=AE，∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，
即点D一定落在直径 上，故④正确.
故正确的序号为：②③④，
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，
垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导.
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）计算： ；
（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组： ．
【答案】（1） ；（2）x＞4-6m
【解析】
【分析】
（1）先分别化简各项，再作加减法；
（2）分别解两个不等式得到x＞-2，x＞4-6m，再根据m的范围得出4-6m＞0＞-2，最后得到到解集.
【详解】解：（1）原式=
= ；（2）
解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x＞4-6m，
∵m是小于0的常数，
∴4-6m＞0＞-2，
∴不等式组的解集为：x＞4-6m.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握运算法则和解法.
18. 如图，正方形 ，G是 边上任意一点（不与B、C重合）， 于点E， ，且
交 于点F．
（1）求证： ；
（2）四边形 是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABF≌△DAE，从而得到AF=DE，AE=BF，可得结果；
（2）若要四边形 是平行四边形，则DE=BF，则∠BAF=45°，再证明∠BAF≠45°即可.
【详解】解：（1）证明：∵正方形 ，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵ ，∴∠BFA=90°=∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE，AE=BF，
∴ ；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形 是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE=AF，
∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形 不能是平行四边形.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三
角形全等的条件.
19. 如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行 到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知
C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出 的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）【答案】（1）62°；（2）（ + ）km
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角
形即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，由题意得：
∠ACB=20°+42°=62°；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=38，
∴AE=BE= AB= ，
在Rt△CBE中，∵∠ACB=62°，tan∠ACB= ，
∴CE= = ，
∴AC=AE+CE= + ，
∴A，C两港之间的距离为（ + ）km.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握
解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 已知自变量x与因变量 的对应关系如下表呈现的规律．
x … 0 1 2 …
… 12 11 10 9 8 …
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数 的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且
，求反比例函数解析式；已知 ，点 与 分别在反比例函数与（1）求得的函
数的图象上，直接写出 与 的大小关系．
【答案】（1） =10-x，M（10，0），N（0，10）；（2） ，当0＜a＜2或a＞8时， ＞ ，
当2＜a＜8或a＜0时， ＜ ，当a=2或a=8时， = ．
【解析】
【分析】
（1）根据表格发现x和y 的关系，从而得出解析式，再求出与x轴和y轴交点坐标，即可得到结果；
1
（2）设A（m，10-m），B（n，10-n），利用S =S -S 得出n-m=6，再联立一次函数和反比例
△AOB △AOM △OBM函数解析式，得到 ，利用根与系数的关系求出k值即可，解方程 得到点
A和点B坐标，再根据图像比较 与 的大小.
【详解】解：（1）根据表格中数据发现：
和x的和为10，
∴ =10-x，
且当x=0时， =10，
令 =0，x=10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10-m），B（n，10-n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图像上，
∴S =S -S
△AOB △AOM △OBM
=
=30，
化简得：n-m=6，
联立 ，得： ，
∴m+n=10，mn=k，
∴n-m= =6，
则 ，解得：k=16，
∴反比例函数解析式为： ，
解 得：x=2或8，∴A（2，8），B（8，2），
∵ 在反比例函数 上，
在一次函数y=10-x上，
∴当0＜a＜2或a＞8时， ＞ ，当2＜a＜8或a＜0时， ＜ ，当a=2或a=8时， = ．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，涉及到解一元二次方程，根与系数的关系，解题时要根
据图像利用数形结合思想解题.
21. 为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从
全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频
数分布表．
跳绳的次数 频数
4
6
11
22
10
4
的
（1）已知样本中最小 数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；的
（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩 人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本
平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
【答案】（1）见解析；（2）105人；（3）样本平均数为127，众数为130，结论见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据最大值和最小值以及组距可填表，再求出最后一组的频数，补充表格即可；
（2）用全校人数乘以成绩最好一组成绩的人数所占样本人总数的比值即可；
（3）根据题意求出平均数和众数，再进行分析得出结论.
【详解】解：（1）由题意：最小的数是60，最大的数是198，组距是20，可得分组，
60-（4+6+11+22+10+4）=3，
补充表格如下：
（2）∵全校有2100名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为3，
∴2100× =105人，
故全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人；
（3）由题意可得：
70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人，170次的有4人，
190次的有3人，则样本平均数= ≈127，
众数为130，
从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个；
从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多.
【点睛】本题考查了频数分布表，样本估计总体，平均数与众数，解题的关键是利用统计表获取信息，同
时必须认真观察、分析、研究，才能作出正确的判断和解决问题．
22. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解
方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y
的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问
题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
【答案】6或26
【解析】
【分析】
通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有 和 ，因此可
以令 ，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出 的值.
【详解】解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为
二元一次方程组是解题关键．
23. 某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金
分割比 ．如图，圆内接正五边形 ，圆心为O， 与 交于点H， 、 与
分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证： 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出 的形状；
（2）求证： ，且其比值 ；
（3）由对称性知 ，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求 的值．
【答案】（1）见解析，△ABN为等腰三角形；（2）见解析；（3）
【解析】【分析】
（1）连接圆心O与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE=∠BAC=36°，即AM=BM，再求出
∠BNA=72°=∠BAD，得出结论；
（2）证明△BAM∽△BEA，得到 ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，证明
，得到 ，设 =t，求出t值即可；
（3）根据题意求出∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，再根据sin∠MAH= ，将 代入，即
可求值.
【详解】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE=360°÷5=72°，
∴∠ABE= ∠AOE=36°，同理∠BAC= ×72°=36°，
∴AM=BM，
∴△ABM是是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°，
∴∠BAD= ∠BOD=72°，
∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°，
∴AB=NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB= ∠AOB=36°=∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴ ，而AB=BN，
∴ ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，
∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，∴ ，即 ，则 ，
两边同时除以x2，得： ，设 =t，
则 ，解得：t= 或 （舍），
∴ ；
（3）∵∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，
而AO⊥BE，
∴sin 18°=sin∠MAH=
=
= .
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，有一定难
度，解题的关键是算出相应角度，找到合适的相似三角形.
24. 已知某厂以 小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 ），且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现 时， ，所以得出结论：每小时获得的利润，最
少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多
少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24千克；（3）该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大利润为207400
元.
【解析】
【分析】
（1）将y= 看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明
即可；
（2）由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得 ×2=1800，解出t值即
可；
（3）根据题意表示出生产680千克该产品获得 利润为y=680t· ，再求出y的最大值以
的
及此时t值即可.
【详解】解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y= ，当t=1时，y=180，
∵当 ， 随t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小，
∴-3t+ 的值随t的增大而减小，∴y= 随t的增大而减小，
当t=1时，y取最小，
∴他的结论正确；
（2）由题意可得： ×2=1800，
整理得： ，
解得：t= 或-5（舍），
即以 小时/千克的速度匀速生产产品，
则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷ =24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y= ，
当t= 时，y最大，且为207400元.
故该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【点睛】本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值，
理解题意，确定函数模型是解题的关键.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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