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2016 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）互为相反数的两个数的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
2．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字
“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
4．（3分）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比
4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元 B．a（1﹣90%）（1+85%）万元
C．a（1﹣10%）（1+15%）万元 D．a（1﹣10%+15%）万元
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5
B．（﹣2a2）3÷（ ）2=﹣16a4
C．3a﹣1=
D．（2 a2﹣ a）2÷3a2=4a2﹣4a+1
6．（3分）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，
AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这
块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
第1页（共31页）A． B． C． D．
7．（3分）已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自
变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（ ）
A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0
8．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π+4 D．3π+4
9．（3分）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G
分别在AB、BC、FD上．若BF= ，则小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的
最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.本题要求把正确结果填在答题
第2页（共31页）卡规定的横线上，不要解答过程）
11．（3分）如图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要途径，通过抽样调
查绘制的一个条形统计图．若该市约有230万人，则可估计其中将报纸和手机
上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为 万人．
12．（3分）已知函数y=﹣ ，当自变量的取值为﹣1＜x＜0或x≥2，函数值y的取
值 ．
13．（3分）在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如
下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同
学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率 ．
14．（3分）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且
AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为 ．
15．（3分）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标
原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为
．
16．（3分）以下四个命题：
①对应角和面积都相等的两个三角形全等；
②“若x2﹣x=0，则x=0”的逆命题；
③若关于x、y的方程组 有无数多组解，则a=b=1；
④将多项式5xy+3y﹣2x2y因式分解，其结果为﹣y（2x+1）（x﹣3）．
其中正确的命题的序号为 ．
第3页（共31页）三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．（10分）计算
（1）计算：（ ）﹣2+| ﹣2|+3tan30°
（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x=﹣ ．
18．（6分）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已
知塔基顶端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为80m．她先测得
∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D点，又测得塔顶E的仰角为
50°，求塔高AE．（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）
第4页（共31页）19．（6分）已知关于x的不等式组 有四个整数解，求实数a的取
值范围．
20．（7分）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得12名选手所用的时间（单位：
分钟）得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148
（1）计算该样本数据的中位数和平均数；
（2）如果一名选手的成绩是147分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩
如何？
21．（7分）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
第5页（共31页）22．（7分）某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完
成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维
修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，
甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的
角度考虑，应该选择哪个工程队？
23．（8分）已知反比例函数y= 的图象在二四象限，一次函数为y=kx+b（b＞0），
直线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，
与直线y=kx+b交于点D．
（1）若点A，D都在第一象限，求证：b＞﹣3k；
（2）在（1）的条件下，设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F，当 = 且
△OFE的面积等于 时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 ＞
kx+b的解集．
第6页（共31页）24．（9分）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点
D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．
第7页（共31页）25．（12分）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（ ，
﹣ ），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有
一个公共点，求t的取值．
第8页（共31页）2016 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）互为相反数的两个数的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】14：相反数．
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【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：互为相反数的两个数的和为：0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字
“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【考点】R1：生活中的旋转现象．
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【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
【考点】V2：全面调查与抽样调查；X1：随机事件；X3：概率的意义．
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【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案．
【解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故A错误；
第9页（共31页）B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可能投中6次，故B错误
C、抽样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故C错误；
D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表
示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
4．（3分）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比
4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元 B．a（1﹣90%）（1+85%）万元
C．a（1﹣10%）（1+15%）万元 D．a（1﹣10%+15%）万元
【考点】32：列代数式．
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【分析】由题意可得：4月份的产值为：a（1﹣10%），5月份的产值为：4月的产值×
（1+15%），进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：4月份的产值为：a（1﹣10%），5月份的产值为：a（1﹣
10%）（1+15%），
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解增长率的定义是解题关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5
B．（﹣2a2）3÷（ ）2=﹣16a4
C．3a﹣1=
D．（2 a2﹣ a）2÷3a2=4a2﹣4a+1
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4H：整式的除法；6F：负整数指
数幂．
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【分析】分别利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则和负整指数指数幂的
性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣2a2）3÷（ ）2=﹣8a6÷ =﹣32a4，故此选项错误；
第10页（共31页）C、3a﹣1= ，故此选项错误；
D、（2 a2﹣ a）2÷3a2=4a2﹣4a+1，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及整式的除法运算和负整指数指数幂的性
质等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，
AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这
块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：三角形的内切圆与内心；X5：几何概率．
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【分析】由AB=15，BC=12，AC=9，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到
△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径= =3，求得直角三
角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
【解答】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =3，
∴S = AC•BC= ×12×9=54，
△ABC
S =9π，
圆
∴小鸟落在花圃上的概率= = ，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜
第11页（共31页）边差的一半．同时也考查了勾股定理的逆定理．
7．（3分）已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自
变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（ ）
A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】先将函数解析式整理为y=（k﹣1）x+b，再根据图象在坐标平面内的位置关
系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b，
∵函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣1＞0，解得k＞1；
∵图象与x轴的正半轴相交，
∴图象与y轴的负半轴相交，
∴b＜0．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，
b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，
（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解
答此题的关键．
8．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π+4 D．3π+4
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，长方体的长为2，宽为1，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
第12页（共31页）故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图
得到几何体的形状，难度不大．
9．（3分）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G
分别在AB、BC、FD上．若BF= ，则小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LE：正方形的性质．
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【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得 = 求出EF即可解
决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，
∴BC=CD=2 ，∠B=∠C=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴ = ，
∵BF= ，CF= ，DF= = ，
∴ = ，
∴EF= ，
第13页（共31页）∴正方形EFGH的周长为 ．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的
最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【考点】AB：根与系数的关系；H7：二次函数的最值．
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【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与
系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣ ）2﹣3，当a=2时，（m﹣1）2+
（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．
【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，
∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，
∴m+n=2a，mn=2，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣
4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，
∵a≥2，
∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣ ）2﹣3=4（2﹣ ）2﹣3=6，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系
是解题的关键．
第14页（共31页）二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.本题要求把正确结果填在答题
卡规定的横线上，不要解答过程）
11．（3分）如图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要途径，通过抽样调
查绘制的一个条形统计图．若该市约有230万人，则可估计其中将报纸和手机
上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为 151.8 万人．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．
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【分析】利用样本估计总体的思想，用总人数230万乘以报纸和手机上网的人数
所占样本的百分比即可求解．
【解答】解：
由统计图可知调查的人数为260+400+150+100+90=1000人，
所以报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的人数所占百分比=
×100%=66%，
则该市约有230万人，则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径
的总人数大约=230×66%=151.8万，
故答案为：151.8．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，本题
用到的知识点是：频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比
即可．
12．（3分）已知函数y=﹣ ，当自变量的取值为﹣1＜x＜0或x≥2，函数值y的取
第15页（共31页）值 y ＞ 1 或﹣ ≤ y ＜ 0 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】画出图形，先计算当x=﹣1和x=2时的对应点的坐标，并描出这两点，根据
图象写出y的取值．
【解答】解：当x=﹣1时，y=﹣ =1，
当x=2时，y=﹣ ，
由图象得：当﹣1＜x＜0时，y＞1，
当x≥2时，﹣ ≤y＜0，
故答案为：y＞1或﹣ ≤y＜0．
【点评】本题结合图形考查了反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指
在同一象限内．
13．（3分）在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如
下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同
学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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第16页（共31页）【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名
同学的植树总棵数为19的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图：
∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，
∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图
法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且
AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为 2 4 ．
【考点】MC：切线的性质．
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【分析】如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E，首先证
明OE⊥CD，在RT△EOD中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E．
∵2πR=26π，
第17页（共31页）∴R=13，
∴OF=OD=13，
∵AB是⊙O切线，
∴OF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD即OE⊥CD，
∴CE=ED，
∵EF=18，OF=13，
∴OE=5，
在RT△OED中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，
∴ED= = =12，
∴CD=2ED=24．
故答案为24．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添
加辅助线，利用垂径定理解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标
原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为
（﹣ 2﹣ a ，﹣ b ）（ 2﹣ a ，﹣ b ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；L5：平行四边形的性质．
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【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2，根据已知条件得到B（2+a，b），或
（a﹣2，b），∵由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论．
【解答】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵AB与x轴平行且AB=2，A（a，b），
∴B（a+2，b），
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴D（﹣a﹣2，﹣b）；
第18页（共31页）当B点在A点的左边，如图2，
同理可得B（a﹣2，b），则D（﹣a+2，﹣b）．
故点D的坐标为（﹣a﹣2，﹣b）或（﹣a+2，﹣b）．
故答案为：（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的
坐标特征，注意分类思想的应用．
16．（3分）以下四个命题：
①对应角和面积都相等的两个三角形全等；
②“若x2﹣x=0，则x=0”的逆命题；
③若关于x、y的方程组 有无数多组解，则a=b=1；
④将多项式5xy+3y﹣2x2y因式分解，其结果为﹣y（2x+1）（x﹣3）．
其中正确的命题的序号为 ①②③④ ．
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】①正确，根据相似比为1的两个三角形全等即可判断．
②正确．写出逆命题即可判断．
③正确．根据方程组有无数多组解的条件即可判断．
④正确．首先提公因式，再利用十字相乘法即可判断．
第19页（共31页）【解答】解：①正确．对应角相等的两个三角形相似，又因为面积相等，所以相似比
为1，所以两个三角形全等，故正确．
②正确．理由：“若x2﹣x=0，则x=0”的逆命题为x=0，则x2﹣x=0，故正确．
③正确．理由：∵关于x、y的方程组 有无数多组解，
∴ = = ，
∴a=b=1，故正确．
④正确．理由：5xy+3y﹣2x2y=﹣y（2x2﹣5x﹣3）=﹣y（2x+1）（x﹣3），故正确．
故答案为①②③④．
【点评】本题考查命题由定理，相似三角形的定义．全等三角形的定义、方程组的
解等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．（10分）计算
（1）计算：（ ）﹣2+| ﹣2|+3tan30°
（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x=﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三
角函数值．
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【分析】（1）分别根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角
函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先算除法，再算加减，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=4+2﹣ +3×
=6﹣ +
=6；
（2）原式= ﹣ •
第20页（共31页）= +
=
= ，
当x=﹣ 时，原式= =﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：
转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转
化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
18．（6分）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已
知塔基顶端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为80m．她先测得
∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D点，又测得塔顶E的仰角为
50°，求塔高AE．（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据锐角三角函数关系，得出cos∠ACB= ，得出AC的长即可；利用锐角
三角函数关系，得出tan∠ADE= ，求出AE即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=35°，BC=80m，
∴cos∠ACB= ，
∴AC=80cos35°，
在Rt△ADE中，tan∠ADE= ，
第21页（共31页）∵AD=AC+DC=80cos35°+30，
∴AE=（80cos35°+30）tan50°．
答：塔高AE为（80cos35°+30）tan50°m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知正确得出锐角三角函数
关系是解题关键．
19．（6分）已知关于x的不等式组 有四个整数解，求实数a的取
值范围．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组有四个整数解，即可
确定出a的范围．
【解答】解：解不等式组 ，
解不等式①得：x＞﹣ ，
解不等式②得：x≤a+4，
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的解集再数轴上表示为：
∴1≤a+4＜2，
解得：﹣3≤a＜﹣2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
20．（7分）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得12名选手所用的时间（单位：
分钟）得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148
（1）计算该样本数据的中位数和平均数；
（2）如果一名选手的成绩是147分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩
如何？
第22页（共31页）【考点】W1：算术平均数；W4：中位数．
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【分析】（1）根据中位数和平均数的概念求解；
（2）根据（1）求得的中位数，与147进行比较，然后推断该选手的成绩．
【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列为：125，134，140，143，146，
148，152，155，162，164，168，175，
则中位数为： =150，
平均数为： =151；
（2）由（1）可得，中位数为150，可以估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选手
的成绩快于150分钟，有一半选手的成绩慢于 150分钟，这名选手的成绩为
147分钟，快于中位数150分钟，可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成
绩好．
【点评】本题考查了中位数和平均数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到
小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据
的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数
据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21．（7分）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角
形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公
共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
第23页（共31页）（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即
2CD2=AD2+DB2．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角
的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
22．（7分）某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完
成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维
修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，
第24页（共31页）甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的
角度考虑，应该选择哪个工程队？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要（x+5）天，然后依
据6天可以完成，列出关于x的方程，从而可求得甲、乙两队单独完成需要的
天数，然后设甲队每天的工程费为y元，则可表示出乙队每天的工程费，接下
来，根据两队合作6天的工程费用为385200元列方程求解，于是可得到两队
独做一天各自的工程费，然后可求得完成此项工程的工程费，从而可得出问题
的答案．
【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要（x+5）天．
依据题意可列方程： + = ，
解得：x =10，x =﹣3（舍去）．
1 2
经检验：x=10是原方程的解．
设甲队每天的工程费为y元．
依据题意可列方程：6y+6（y﹣4000）=385200，
解得：y=34100．
甲队完成此项工程费用为34100×10=341000元．
乙队完成此项工程费用为30100×15=451500元．
答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．
【点评】本题主要考查的是分式方程的应用、一元一次方程的应用，根据题意列出
关于x的方程是解题的关键．
23．（8分）已知反比例函数y= 的图象在二四象限，一次函数为y=kx+b（b＞0），
直线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，
与直线y=kx+b交于点D．
（1）若点A，D都在第一象限，求证：b＞﹣3k；
（2）在（1）的条件下，设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F，当 = 且
△OFE的面积等于 时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 ＞
第25页（共31页）kx+b的解集．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）由反比例函数y= 的图象在二四象限，得到k＜0，于是得到一次函数
为y=kx+b随x的增大而减小，根据A，D都在第一象限，得到不等式即可得到结
论；
（2）根据题意得到 ，由三角形的面积公式得到S = ×（﹣ ）×b=
△OEF
联立方程组解得k=﹣ ，b=3，即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：∵反比例函数y= 的图象在二四象限，
∴k＜0，
∴一次函数为y=kx+b随x的增大而减小，
∵A，D都在第一象限，
∴3k+b＞0，
∴b＞﹣3k；
（2）由题意知： ，
∴ ①，
∵E（﹣ ，0），F（0，b），
∴S = ×（﹣ ）×b= ②，
△OEF
由①②联立方程组解得：k=﹣ ，b=3，
∴这个一次函数的解析式为y=﹣ x+3，
解﹣ =﹣ x+3得x = ，x = ，
1 2
∴直线y=kx+b与反比例函数y= 的交点坐标的横坐标是 或 ，
第26页（共31页）∴不等式 ＞kx+b的解集为 ＜x＜0或x＞ ．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，求函数的解析式，三角形面积
公式的应用，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
24．（9分）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点
D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD，再由角平分
线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出
结论；
（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角
∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的
长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三
角函数求出CD的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，
第27页（共31页）∴∠FBC+∠FAC=180°，
∵∠CAD+∠FAC=180°，
∴∠FBC=∠CAD，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠FAB，
∴∠FAB=∠CAD，
又∵∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB；
（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，
又∵∠FCB=∠FAB，
∴∠FAB=∠FBC，
∵∠BFA=∠BFD，
∴△AFB∽△BFD，
∴ ，
∴BF2=FA•FD=12，
∴BF=2 ，
∵FA=2，
∴FD=6，AD=4，
∵AB为圆的直径，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴tan∠FBA= = = ，
∴∠FBA=30°，
又∵∠FDB=∠FBA=30°，
∴CD=AD•cos30°=4× =2 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、
三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的
关键．
第28页（共31页）25．（12分）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（ ，
﹣ ），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有
一个公共点，求t的取值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先利用对称轴公式x=﹣ 计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两
点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，求出
直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知y= ，此函数是两个二次函
数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重
合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，
两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c
（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点
（﹣3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共
点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．
【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣ =1，
∴抛物线过（1，4）和（ ，﹣ ）两点，
代入解析式得： ，
解得：a=﹣1，c=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
第29页（共31页）∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；
由三角形两边之差小于第三边可知：
|PC﹣PD|≤|CD|，
∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，
|CD|= ，
由于CD所在的直线解析式为y=x+3，
将P（t，0）代入得t=﹣3，
∴此时对应的点P为（﹣3，0）；
（3）y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：
y= ，
设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：
线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，
∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
y= 有一个公共点，此时t= ，
当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与
y= 有两个公共点，所以当 ≤t＜3时，
线段PQ与y= 有一个公共点，
②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：
﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，
﹣x2+4x+3﹣2t=0，
令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，
t= ＞0，
第30页（共31页）所以当t= 时，线段PQ与y= 也有一个公共点，
③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与
y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，
所以当t≤﹣3时，线段PQ与y= 也有一个公共点，
综上所述，t的取值是 ≤t＜3或t= 或t≤﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最
大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问
题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小
到大的顺序求解．
第31页（共31页）
