文档内容
2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
π
2．（3分）以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．旅客上飞机前的安检
B．学校招聘教师，对应聘人员的面试
C．了解全校学生的课外读书时间
D．了解一批灯泡的使用寿命
3．（3分）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B
（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（﹣9，﹣4）
4．（3分）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．60 B．70 C．90 D．160
5．（3分）π某商品先按批发价a元π提高10%零售，后又按π零售价降低10%出售，则π它最后的单
价是（ ）元．
A．a B．0.99a C．1.21a D．0.81a
6．（3分）已知 O的面积为2 ，则其内接正三角形的面积为（ ）
⊙ π
A．3 B．3 C． D．
7．（3分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
第1页（共22页）A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． • ＝
B． ＝a3
C．（ + ）2÷（ ﹣ ）＝
D．（﹣a）9÷a3＝（﹣a）6
9．（3分）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的
垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断
完全正确的一项为（ ）
A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cm
C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cm
D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定
10．（3分）已知函数y＝ 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）
在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x ，x 判断正确的
1 2
是（ ）
A．x +x ＞1，x •x ＞0
1 2 1 2
B．x +x ＜0，x •x ＞0
1 2 1 2
C．0＜x +x ＜1，x •x ＞0
1 2 1 2
D．x +x 与x •x 的符号都不确定
1 2 1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的
横线上，不需要解答过程）
11．（3分）一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为
．
12．（3分）某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8． 已知这组数据的平均
数是10，那么这组数据的方差是 ．
第2页（共22页）13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为
．
14．（3分）把多项式6xy2﹣9x2y﹣y3因式分解，最后结果为 ．
15．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ ．
16．（3分）以下四个命题：
每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．
①
当m＞0时，y＝﹣mx+1与y＝ 两个函数都是y随着x的增大而减小．
②
已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为
③（1， ，则D点坐标为（1， ．
在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取
④一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为
．
其中正确的命题有 （只需填正确命题的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算
（1）计算：2cos30°+（ ﹣2）﹣1+|﹣ |
（2）解方程： ﹣ ＝0．
18．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南
方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
第3页（共22页）19．（5分）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组 ，并依据a的取值
情况写出其解集．
20．（9分）学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了50
名学生进行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩（即60秒跳绳的个数）从低
到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本
数据提供的信息解答下列问题．
（1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生
关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？
（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求
这50名学生的60秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；
（3）若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生
恰好在同一组的概率．
21．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交
点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
22．（7分）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月
第4页（共22页）对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）
以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）
的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我
市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为
150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你
依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元？
23．（8分）如图，已知反比例函数y＝ （x＞0，k是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，4），点
B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及直线AB的解析式．
24．（8分）如图，AB是 O的直径，点C在 O上，过点C作 O的切线CM．
（1）求证：∠ACM＝∠⊙ABC； ⊙ ⊙
（2）延长BC到D，使BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若 O的半径为3，ED＝2，求
△ACE的外接圆的半径． ⊙
25．（12分）如图，已知直线l的解析式为y＝ x﹣1，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m，0），B
（2，0），D（1， ）三点．
第5页（共22页）（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；
（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点
E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函
数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；
（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一
定在PB所在直线上．
第6页（共22页）2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是整数，是有理数，故A选项错误；
B、是整数，是有理数，故B选项错误；
C、是无理数，故C选项正确；
D、是分数，是有理数，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似．
【解答】解：A、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故A选项错误；
B、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故B选项错误；
C、了解全校同学课外读书时间，数量不大，宜用全面调查，故C选项错误；
D、了解一批灯泡的使用寿，具有破坏性，工作量大，不适合全面调查，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
3．【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再求出点D的坐标即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），
∴平移规律为向右5个单位，向上3个单位，
∵点B（﹣4，﹣1），
第7页（共22页）∴点D的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移
减；纵坐标上移加，下移减．
4．【分析】易得此几何体为空心圆柱，圆柱的体积＝底面积×高，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3，外圆半径为4，高为
10，
所以其体积为10×（42 ﹣32 ）＝70 ，
故选：B． π π π
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是得到此几何体的形状，
易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据．
5．【分析】原价提高10%后商品新单价为a（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为a
（1+10%）（1﹣10%），由此解决问题即可．
【解答】解：由题意得a（1+10%）（1﹣10%）＝0.99a（元）．
故选：B．
【点评】本题主要考查列代数式的应用，属于应用题型，找到相应等量关系是解答此题的
关键．
6．【分析】先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
【解答】解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵ O的面积为2
∴ ⊙O的半径为
π
∵⊙△ABC为正三角形，
∴∠BOC＝ ＝120°，∠BOD＝ ∠BOC＝60°，OB＝ ，
∴BD＝OB•sin∠BOD＝ ＝ ，
∴BC＝2BD＝ ，
∴OD＝OB•cos∠BOD＝ •cos60°＝ ，
∴△BOC的面积＝ •BC•OD＝ × × ＝ ，
第8页（共22页）∴△ABC的面积＝3S△BOC ＝3× ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是
解答此题的关键．
7．【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的
关键．
8．【分析】分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各
选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、原式＝3 • ＝3 ，故A错误；
B、原式＝|a|3，故B错误；
C、原式＝ ÷
第9页（共22页）＝ •
＝ ，故C正确；
D、原式＝﹣a9÷a3＝﹣a6，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键
9．【分析】根据矩形的性质，AO＝CO，由EF⊥AC，得EA＝EC，则△CDE的周长是矩形周长
的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出△CDE与△ABF全等，进而得到问题答案．
【解答】解：∵AO＝CO，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+AD＝ 矩形ABCD的周长＝10cm，
同理可求出△ABF的周长为10cm，
根据全等三角形的判定方法可知：△CDE与△ABF全等，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及
全等三角形的判定方法，题目的难度不大．
10．【分析】根据点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B（b，c+1）在该
函数图象的另外一支上，得出b＜0，c+1＞0，再根据x •x ＝ ，x +x ＝﹣ ，即可得出答
1 2 1 2
案．
【解答】解：∵点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，
∴a＞0，c＞0，ac＝1，即a＝ ，
∵点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，即第二象限上，
第10页（共22页）∴b＜0，c+1＞0，b（c+1）＝﹣1，即b＝﹣ ，
∴x •x ＝ ＞0，x +x ＝﹣ ＝ ，
1 2 1 2
∴0＜x +x ＜1，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的
关键；若x ，x 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，
1 2
则x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的
横线上，不需要解答过程）
11．【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得
圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开
图的圆心角即可．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为： d＝80 ，
∵母线长90cm， π π
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr＝ ×80 ×90＝3600 ，
π π
∴ ＝3600 ，
π
解得：n＝160．
故答案为：160°．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与
圆锥的关系．
12．【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据方差公式S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣
1 2
）2+…+（x ﹣ ）2]，代入计算即可．
n
【解答】解：∵这组数据的平均数是10，
∴（10+10+12+x+8）÷5＝10，
解得：x＝10，
第11页（共22页）∴这组数据的方差是 ×[3×（10﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2]＝1.6；
故答案为：1.6．
【点评】此题考查了方差，一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x
1 2 n 1
﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]．
2 n
13．【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定
理即可求出它的底角的度数．
【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
①底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
②此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故答案为：63°或27°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题
的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
14．【分析】首先提取公因式﹣y，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：6xy2﹣9x2y﹣y3＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2．
故答案为：﹣y（3x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题
关键．
第12页（共22页）15．【分析】根据m+n＝﹣ ＝﹣2，m•n＝﹣5，直接求出m、n即可解题．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∵m2+2m﹣5＝0
∴m2＝5﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决
问题的关键．
16．【分析】利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别
判断后即可确定答案．
【解答】解： 每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，故 正确．
当m＞0时，①﹣m＜0，y＝﹣mx+1是y随着x的增大而减小，y＝ 是在①同一象限内y随
②
着x的增大而减小，故 错误．
已知正方形的对称中②心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为
③（1， ，则D点关于x轴对称，坐标为（ ，﹣1），如图所示，故 错误；
在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从③袋中随机摸取
④一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，取到小球的标号和共有16种可能性，其中两次
取到的标号和等于4的情况有3种，分别是（1，3），（3，1）和（2，2），则两次取到的小球标
号的和等于4的概率为 ，故 错误．
④
故答案为： ．
①
第13页（共22页）【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比
例函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）根据特殊角的三角函数、负指数幂运算、绝对值进行计算即可；
（2）先去分母，化为整式方程求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2× + +
＝ ﹣（ +2）+
＝﹣ ；
（2）去分母，得3x2﹣6x﹣x2﹣2x＝0，
解得x ＝0，x ＝4，
1 2
经检验：x＝0是增根，
故x＝4是原方程的解．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负指数幂运算、解分式方程以及特殊角的三角
函数值，是基础知识要熟练掌握．
18．【分析】首先根据题意得出∠MPA＝∠A＝65°，以及∠DBP＝∠DPB＝45°，再利用解直角
三角形求出即可．
【解答】解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．
由题意知∠DPB＝∠DBP＝45°．
在Rt△PBD中，cos45°＝ ＝ ，
∴PB＝ PD．
∵点A在点P的北偏东65°方向上，
第14页（共22页）∴∠APD＝25°．
在Rt△PAD中，cos25°＝ ．
∴PD＝PAcos25°＝80cos25°，
∴PB＝80 cos25°（海里）．
【点评】此题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题
的关键．
19．【分析】首先分别解出两个不等式，再根据实数a是不等于3的常数，分两种情况进行讨
论： 当a＞3时， 当a＜3时，然后确定出不等式组的解集．
① ②
【解答】解： ，
解 得：x≤3，
解①得：x＜a，
∵②实数a是不等于3的常数，
∴当a＞3时，不等式组的解集为x≤3，
当a＜3时，不等式组的解集为x＜a．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．【分析】（1）根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出中间两个数的平均数，
再根据中位数落在第四组估计出初三学生60秒跳绳再120个以上的人数达到一半以上；
（2）根据平均数的计算公式进行计算即可；
（3）先把第一组的两名学生用A、B表示，第六组的三名学生用1，2，3表示，得出所有出现
的情况，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵共有50个数，中位数是第25、26个数的平均数，
第15页（共22页）∴跳绳次数的中位数落在第四组；
∴可以估计初三学生60秒跳绳再120个以上的人数达到一半以上；
（2）根据题意得：
（2×70+10×90+12×110+13×130+10×150+3×170）÷50≈121（个），
答：这50名学生的60秒跳绳的平均成绩是121个；
（3）记第一组的两名学生为A、B，第六组的三名学生为1，2，3，
则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况：
AB，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23，
则抽取的2名学生恰好在同一组的概率是： ＝ ；
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，用到的知识点是中位数、平均数、概率公式，利
用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问
题．
21．【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC＝CE＝AD，AB＝AE＝CD，根据SSS
可证△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC＝∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线
对称，可得∠OAC＝∠CAB，根据等量代换可得∠OAC＝∠DEA，再根据平行线的判定即
可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
又∵AC是折痕，
∴BC＝CE＝AD，
AB＝AE＝CD，
在△ADE与△CED中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
（2）∵△ADE≌△CED，
第16页（共22页）∴∠EDC＝∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC＝∠CAB，
∵∠OCA＝∠CAB，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴2∠OAC＝2∠DEA，
∴∠OAC＝∠DEA，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正
确证明三角形全等是关键．
22．【分析】设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，根据2月份用电330千瓦时，
电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元，列方程组求解．
【解答】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，
由题意得， ，
解得： ，
则四月份电费为：160×0.6＝96（元），
五月份电费为：180×0.6+230×0.7＝108+161＝269（元）．
答：这位居民四月份的电费为96元，五月份的电费为269元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列方程组求解．
23．【分析】（1）把A点坐标代入y＝ 可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，ON＝n，OM＝1，则 ＝ ，再根据
反比例函数解析式可得 ＝n，则 ＝m﹣1，而 ＝ ，可得 ＝ ，再由∠ACB＝
∠NOM＝90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1＝2，进而得到m的值，然后可得B点
坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．
第17页（共22页）【解答】解：（1）∵y＝ （x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k＝4，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，ON＝n，OM＝1，
∴ ＝ ＝ ﹣1，
∵B（m，n）在y＝ 上，
∴ ＝n，
∴ ＝m﹣1，而 ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝∠NOM＝90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，
∴m﹣1＝2，
m＝3，
∴B（3， ），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
第18页（共22页）∴解析式为y＝﹣ x+ ．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必
然能使函数解析式左右相等．
24．【分析】（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC＝90°及CM是 O的切线得出∠ACM+∠ACO＝
90°，再利用∠BAC＝∠ACO，得出结论， ⊙
（2）连接 OC，得出△AEC 是直角三角形，△AEC 的外接圆的直径是 AC，利用
△ABC∽△CDE，求出AC，
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
又∵CM是 O的切线，
∴OC⊥CM⊙，
∴∠ACM+∠ACO＝90°，
∵CO＝AO，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠ACM＝∠ABC；
（2）解：∵BC＝CD，∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠CAD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
第19页（共22页）∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠ACM+∠ECD＝90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴ ＝ ，
O的半径为3，
⊙∴AB＝6，
∴ ＝ ，
∴BC2＝12，
∴BC＝2 ，
∴AC＝ ＝2 ，
∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为： ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆
周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．
25．【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上，得到0＝
﹣ m2﹣ m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；
（2）根据四边形PAFB的面积S＝ AB•PF，可得S＝﹣ （x+2）2+12，根据函数的最值可
得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；
（3）根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y＝﹣ x+1，设Q（a， a﹣1）是y＝ x
﹣1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣ a），将（a，1﹣ a）代入y＝﹣ x+1
显然成立，依此即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点B（2，0），D（1， ），
∴ ，
第20页（共22页）解得a＝﹣ ，b＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2，
∵A（m，0）在抛物线上，
∴0＝﹣ m2﹣ m+2，
解得：m ＝﹣4，m ＝2（舍去），
1 2
∴A点的坐标为（﹣4，0）．
如图所示：
（2）∵直线l的解析式为y＝ x﹣1，
∴S＝ AB•PF
＝ ×6•PF
＝3（﹣ x2﹣ x+2+1﹣ x）
＝﹣ x2﹣3x+9
＝﹣ （x+2）2+12，
其中﹣4＜x＜0，
∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（﹣2，2）；
（3）∵直线PB经过点P（﹣2，2），B（2，0），
第21页（共22页）∴PB所在直线的解析式为y＝﹣ x+1，
设Q（a， a﹣1）是y＝ x﹣1上的一点，
则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣ a），
将（a，1﹣ a）代入y＝﹣ x+1显然成立，
∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析
式，待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，以及关于x轴的对
称点的坐标特征．
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