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2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC
的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4 B． • ＝1
C．﹣18+12÷（﹣ ）＝4 D． ﹣a﹣1＝5．已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣ B．a≥﹣2 C．a＞﹣ D．a＞﹣2
6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇
形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、
牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形
ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣ x+4 B．y＝﹣ x+4 C．y＝﹣ x+4 D．y＝4
8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外
接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周
长近似代替其外接圆周长，便可估计 的值，下面d及 的值都正确的是（ ）
π π
A．d＝ ， ≈8sin22.5°
π
B．d＝ ， ≈4sin22.5°
πC．d＝ ， ≈8sin22.5°
π
D．d＝ ， ≈4sin22.5°
π
9．以下四个命题：
①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；
②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，
4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；
③两个正六边形一定位似；
④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数
不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与 x轴交于两点（m，0），（n，
0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值
范围是（ ）
A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规
定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．
12．正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，若A点坐标为（ ，
1
﹣2 ），则k +k ＝ ．
1 2
13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 ．
（用含 的代数式表示），圆心角为 度．
14．动物学π家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为
0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20
岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
15．已知菱形ABCD的面积为2 ，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动
点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，
最大值为 ．16．若把第n个位置上的数记为x ，则称x ，x ，x ，…，x 有限个有序放置的数为一个数
n 1 2 3 n
列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y ，y ，y ，…，y ，其中y 是这个数列中第n
1 2 3 n n
个位置上的数，n＝1，2，…，k且y ＝ 并规定x ＝x ，x ＝x ．如
n 0 n n+1 1
果数列A只有四个数，且x ，x ，x ，x 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是
1 2 3 4
．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解：
（1）计算（ ）﹣1﹣（ ﹣ ）÷ + tan30°；
（2）解方程组 ．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需
说明理由）
19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二
年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试
成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描
述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，
25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成
绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ，n
；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说
明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加
此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求
两人在同一年级的概率．
20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学
们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有
建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C
建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东
55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示
即可）
21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3
电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．
月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时 被叫
min 费/（元/min）
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在
不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计
算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起
计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函
数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的 ，y表示问题中的 ．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出
如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展
了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A品牌足球
共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5
倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要
从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，
A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总
费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
23．（10分）已知AB是 O的任意一条直径．
（1）用图1，求证： ⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知 O的面积⊙为4 ，直线CD与 O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为
D，如图2．⊙ π ⊙
求证：① BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2 ．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在对称轴
两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 （填上方
或下方），即4ah﹣k2 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必
有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x ，y ），B（x ，y ），分布在x轴的两侧，则抛物线顶
1 1 2 2点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，
对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x ＜x 且都不等于顶点的横坐
1 2
标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣
c）2＞4a（a+b+c）．
