文档内容
2012年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．125° C．115° D．25°
3．（3分）在一个不透明的口袋中，装有3个红球，2个白球，除颜色不同外，其余都相同，则随
机从口袋中摸出一个球为红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列各因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 D．x2﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
5．（3分）已知：x ，x 是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x +x ＝3，x x ＝1，则a、b的值
1 2 1 2 1 2
分别是（ ）
A．a＝﹣3，b＝1 B．a＝3，b＝1 C． ，b＝﹣1 D． ，b＝1
6．（3分）如图，在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形，边长为1的正六边形和半径
为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是（ ）
A．落在菱形内 B．落在圆内
C．落在正六边形内 D．一样大
第1页（共22页）7．（3分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x﹣2y＝2的解是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＝3，BC＝7，则梯形的面积是（
）
A．25 B．50 C． D．
9．（3分）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线 上，点N在直线y＝x+3上，
设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝﹣abx2+（a+b）x（ ）
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为
10．（3分）下列命题中，真命题的个数有（ ）
一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
①
函数 图象上的点P（x，y）一定在第二象限
②
正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
③
使得|x|﹣y＝3和y+x2＝0同时成立的x的取值为 ．
④
A．3个 B．1个 C．4个 D．2个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定
的横线上，不需要解答过程）
第2页（共22页）11．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）太阳半径大约是696 000千米，用科学记数法表示为 米．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
则∠AEC＝ °．
14．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 +a的化简结果为 ．
15．（3分）一组数据﹣1，0，2，3，x，其中这组数据的极差是5，那么这组数据的平均数是
．
16．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为
cm2．
三、解答题（本大题包括9个小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说
明）
17．（10分）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（6分）（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．
19．（6分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数 的图象交于A（m，6），B（n，3）
两点．
（1）求一次函数的解析式；
第3页（共22页）（2）根据图象直接写出 时x的取值范围．
20．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，
交AG于F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若
正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．
21．（9分）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）
（1）找出该样本数据的众数和中位数；
（2）计算这些车的平均速度；（结果精确到0.1）
（3）若某车以50.5千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一半以上车的速度
快？并说明判断理由．
22．（6分）如图，线段AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高．某初三课外兴趣活动小组为了
测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为 ，在A处测得D点的仰角为
．已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m．请你通过计算用α含 、 、m的式子分别表示
β出甲、乙两建筑物的高度． α β
第4页（共22页）23．（8分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨
1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•
千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费
97200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边
补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x表示 ，y表示
乙：x表示 ，y表示
（2）甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
24．（8分）如图，已知AB为 O的直径，PA与 O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交
于点D，OP与弧AC相交⊙于点E，连接BC．⊙
（1）求证：∠PAC＝∠B，且PA•BC＝AB•CD；
（2）若PA＝10，sinP＝ ，求PE的长．
第5页（共22页）25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线 相交于点A，B，且抛物线经过坐
标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直
线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，
记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求
出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共22页）2012年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（ ）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数，属于基础题．
2．【分析】先根据对顶角相等，∠1＝65°，求出∠3的度数，再由两直线平行，同旁内角互补得
出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝65°，
∴∠3＝∠1＝65°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
3．【分析】让红球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【解答】解：袋子中球的总数为2+3＝5，红球有3个，则摸出红球的概率为 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：概率＝
所求情况数与总情况数之比．
4．【分析】根据完全平方公式与平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，对各选项分析判
第7页（共22页）断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣x2+（﹣2）2＝﹣x2+4＝（2﹣x）（2+x），故本选项错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误；
C、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故本选项正确；
D、x2﹣4x＝x（x﹣4），故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方
公式的结构式解题的关键．
5．【分析】先根据根与系数的关系可得x +x ＝﹣2a，x x ＝b，而x +x ＝3，x x ＝1，那么﹣2a
1 2 1 2 1 2 1 2
＝3，b＝1，解即可．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝﹣2a，x x ＝b，
1 2 1 2
∵x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴﹣2a＝3，b＝1，
即a＝﹣ ，b＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式．
6．【分析】分别求得三个图形的面积，则面积最大的就是所求的图形．
【解答】解：菱形的面积是： ×2×3＝3；
正六边形的面积是：6× ＝ ；
圆的面积是： ．
π
∵ ＞3＞ ，
π
∴圆的面积最大．
∴一点随机落在这三个图形内的概率较大的是：圆．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率，正确求得三个图形的面积是关键．
7．【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出
一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
第8页（共22页）【解答】解：∵x﹣2y＝2，
∴y＝ x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当y＝0，x＝2，
∴一次函数y＝ x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1），与x轴交于点（2，0），
即可得出C符合要求，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得
出与坐标轴交点坐标是解题关键．
8．【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，
推出AC＝DE＝BD，∠BDE＝90°，根据等腰三角形性质推出BF＝DF＝EF＝ BE，求出
DF，根据梯形的面积公式求出即可．
【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC（已知），
即AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE＝3，AC＝DE，
在等腰梯形ABCD中，AC＝DB，
∴DB＝DE（等量代换），
∵AC⊥BD，AC∥DE，
∴DB⊥DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
作DF⊥BC于F，
则DF＝ BE＝5，
S梯形ABCD＝ （AD+BC）•DF＝ （3+7）×5＝25，
故选：A．
第9页（共22页）【点评】本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等
腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．
9．【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求
出其最值即可．
【解答】解：∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），
∴N点的坐标为（﹣a，b），
又∵点M在反比例函数 的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，
∴ ，
整理得 ，
故二次函数y＝﹣abx2+（a+b）x为y＝﹣ x2+3x，
∴二次项系数为﹣ ＜0，故函数有最大值，最大值为y＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可
由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．
10．【分析】 根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可； 根据二次根式的性质以及
点的坐标性①质，得出答案； 根据正投影的定义得出答案；②
根据使得|x|﹣y＝3和y+x2 ③＝0同时成立，即y＝|x|﹣3，y＝﹣x2，故|x|﹣3＝﹣x2，进而利
④用绝对值得性质，解方程即可得出答案．
【解答】解： 平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有
发生变化．①
第10页（共22页）旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，
故此选项错误；
根据二次根式的意义得出x＜0，y＞0，故函数 图象上的点P（x，y）一定在
②
第二象限，故此选项正确；
根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确；
③使得|x|﹣y＝3和y+x2＝0同时成立，即y＝|x|﹣3，y＝﹣x2，故|x|﹣3＝﹣x2，
④x2+|x|﹣3＝0，
当x＞0，则x2+x﹣3＝0，
解得：x ＝ ，x ＝ （不合题意舍去），
1 2
当x＜0，则x2﹣x﹣3＝0，
解得：x ＝ （不合题意舍去），x ＝ ，
1 2
故使得|x|﹣y＝3和y+x2＝0同时成立的x的取值为： ， ，
故此选项错误，
故正确的有2个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元
二次方程等知识，熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定
的横线上，不需要解答过程）
11．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件
是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12．【分析】先把696 000千米转化成696 000 000米，然后再用科学记数法记数记为
6.96×108米．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
第11页（共22页）原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：696 000千米＝696 000 000米＝6.96×108米．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝
对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位
数上的零）．
13．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示
出∠CAE+∠ACE，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠CAE+∠ACE＝ （∠B+∠ACB）+ （∠B+∠BAC）
＝ （∠BAC+∠B+∠ACB+∠B）
＝ （180°+47°）
＝113.5°，
在△ACE中，∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣113.5°
＝66.5°．
故答案为：66.5．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和的性质，整体思想的利用是解题的关键．
14．【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞a，根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞a，
∴ +a＝﹣（a+b）+a＝﹣b，
故答案为：﹣b．
【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，二次根式的性质的应用，主要考查学生的化
简能力．
15．【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．再根据平均数的公式求
第12页（共22页）解即可．
【解答】解：一组数据﹣1，0，2，3，x的极差是5，
当x为最大值时，x﹣（﹣1）＝5，x＝4，平均数是：（﹣1+0+2+3+4）÷5＝1.6；
当x是最小值时，3﹣x＝5，解得：x＝﹣2，平均数是：（﹣1+0+2+3﹣2）÷5＝0.4．
故答案为：1.6或0.4．
【点评】考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种
情况讨论是解决本题的关键．
16．【分析】根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式＝（底面周长×母线长）
÷2 可计算出结果．
【解答】解：由题意得底面直径为2，母线长为2，
∴几何体的侧面积为 ×2×2 ＝2 ，
π π
故答案为：2 ．
【点评】此题π主要考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积公式的应用，关键是找
到等量关系里相应的量．
三、解答题（本大题包括9个小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说
明）
17．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂进行计算；
（2）先通分，将除法转化为乘法，约分，再代值计算．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ ﹣1+ ＝ ﹣（ ﹣1）+ ＝ ；
（2）原式＝（x+1）÷ ＝（x+1）÷ ＝（x+1）× ＝ ，
当x＝﹣ 时，原式＝3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．
关键是熟练掌握每一个运算法则．
18．【分析】（1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不
等式的解集；
（2）根据（1）中的x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出
第13页（共22页）关于系数a的一元一次方程2×（﹣2）﹣a×（﹣2）＝3，通过解该方程即可求得a的值．
【解答】解：（1）5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7
5x﹣10+8＜6x﹣6+7
5x﹣2＜6x+1
﹣x＜3
x＞﹣3．
（2）由（1）得，最小整数解为x＝﹣2，
∴2×（﹣2）﹣a×（﹣2）＝3
∴a＝ ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
19．【分析】（1）先把（m，6）、B（n，3）代入反比例函数，可求m、n的值，即可得A、B的坐标，
然后把AB两点坐标代入一次函数，可得关于k、b的二元一次方程组，解可得k、b的值，进
而可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可知当1＜x＜2时，一次函数y的值大于反比例函数y的值．
【解答】解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y＝ 图象上，
∴m＝1，n＝2，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y＝kx+b中，得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+9；
（2）由图象知：1＜x＜2．
第14页（共22页）【点评】本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，解题的关键是先求出m、n的值，
并注意待定系数法的使用．
20．【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB＝AD，进而得到∠BAG
与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得
出∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对
应边相等可得出BF＝AE，由AF﹣AE＝EF，等量代换可得证；
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，连
接EF′，如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF＝AF′，由第一问的全等可
得出AF＝DE，等量代换可得出DE＝AF′＝AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到
AF′与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出 AEDF′为平
行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形，根据矩形的对
角线相等可得出EF′＝AD，由AD的长即可求出EF′的长．
【解答】（1）证明：如图，∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG+∠EAD＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
在△AED和△BFA中，
∵ ，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴BF＝AE，
第15页（共22页）∵AF﹣AE＝EF，
∴AF﹣BF＝EF；
（2）解：如图，将△ABF绕A点旋转到△ADF′，使B与D重合，连接F′E，
根据题意知：∠FAF′＝90°，DE＝AF′＝AF，
∴∠F′AE＝∠AED＝90°，即∠F′AE+∠AED＝180°，
∴AF′∥ED，
∴四边形AEDF′为平行四边形，又∠AED＝90°，
∴四边形AEDF′是矩形，
∵AD＝3，
∴EF′＝AD＝3．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋
转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
21．【分析】（1）根据众数的定义，找出车辆数最多的即为众数，先求出车辆数的总数，再根据
中位数的定义解答；
（2）根据加权平均数的计算方法列式计算即可得解；
（3）与中位数相比较，大于中位数则是比一半以上车的速度快，否则不是．
【解答】解：（1）该样本数据中车速是52的有8辆，最多，
所以，该样本数据的众数为52，
样本容量为：2+5+8+6+4+2＝27，
按照车速从小到大的顺序排列，第14辆车的车速是52，
所以，中位数为52；
（2） ≈52.4千米/时；
第16页（共22页）（3）不能，
因为由（1）知样本的中位数为52，所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于
52千米/时，
该车的速度是50.5千米/时，小于52千米/时，所以不能说该车的速度要比一半以上车的
速度快．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了平均数、中位
数、众数的认识．
22．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△ADM、
△DBC，应借助AE＝BC，求出DC，DM，从而求出AB即可．
【解答】解：过点A作AM⊥CD，垂足为M，
在Rt△BCD中，tan ＝ ，
α
∴CD＝BC•tan ＝mtan ，
在Rt△AMD中α，tan ＝α ，
β
∴DM＝AM•tan ＝mtan ，
∴AB＝CD﹣DMβ＝m（taβn ﹣tan ）．
故甲建筑物的高度为m（tαan ﹣tβan ），乙建筑物的高度为mtan ．
α β α
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，借助仰角关系构造直角三角形，并结合图
形利用三角函数解直角三角形是解题关键．
23．【分析】（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出x，y的值并补全方程组即可；
（2）将x的值代入方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）甲：x表示产品的重量，y表示原料的重量，
乙：x表示产品销售额，y表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则 ，
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（2）将x＝300代入原方程组解得y＝400
∴产品销售额为300×8000＝2400000元
原料费为400×1000＝400000元
∴运费为15000+97200＝112200元，
∴2400000﹣（400000+112200）＝1887800（元）
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系并写出
表示出x、y所表示的实际意义．
24．【分析】（1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PAO为
直角，得到∠PAD与∠DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
可得出∠ACB为直角，得到∠DAO与∠B互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC＝
∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APD与三角
形ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂径定理得到AD＝CD，等量代换
可得证；
（2）在直角三角形APD中，由PA及sinP的值求出AD的长，再利用勾股定理求出PD的
长，进而确定出AC的长，由第一问两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB
的上，求出半径AO的长，在直角三角形APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出
OP的长，用OP﹣OE即可求出PE的长．
【解答】（1）证明：∵PA是 O的切线，AB是直径，
∴∠PAO＝90°，∠C＝90°， ⊙
∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠PAC＝∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP＝∠C＝90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴AP：AB＝AD：BC，
∵在 O中，AD⊥OD，
第18页（共22页）
⊙∴AD＝CD，
∴AP：AB＝CD：BC，
∴PA•BC＝AB•CD；
（2）解：方法一：
∵sinP＝ ，且AP＝10，
∴ ＝ ，
∴AD＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∵在Rt△ADP中，PD＝ ＝8，
又∵△PAD∽△ABC，
∴AP：AB＝PD：AC，
∴AB＝ ＝15，
∴A0＝OE＝ ，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，
∴PE＝OP﹣OE＝ ﹣ ＝5．
方法二：
由sinP＝ ＝ ，设OA为3x，PO为5x，
由勾股定理得PA为4x，
∵PA＝10，∴x＝2.5，
∴OA＝7.5，OP＝12.5，
又∵OE＝OA＝7.5，
∴PE＝OP﹣OE＝5．
【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径
定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
25．【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m
第19页（共22页）＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法
求解二次函数解析式即可；
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，继而可得出三角形ABC的面积，
先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，继而根据S△ABE ＝S△AEF +S△BEF 可
得出答案．
（3）先确定符合题意的三角形ABD的面积，继而可得出当点D与点C重合时，满足条件，
过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点
D的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线y＝ 上，
∴k＝﹣4，
∴双曲线的解析式为y＝﹣ ，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0），
∴ ，
解得： ，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x，
∴顶点E（﹣ ， ），对称轴为x＝﹣ ，
∵B（1，﹣4），
∴﹣x2﹣3x＝﹣4，
解得：x ＝1，x ＝﹣4，
1 2
∵C横坐标 ＜0，
∴C（﹣4，﹣4），
第20页（共22页）∴S△ABC ＝5×6× ＝15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y＝﹣2x﹣2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，连接BE，则F点的坐标为（﹣ ，1），
∴EF＝ ﹣1＝ ，
∴S△ABE ＝S△AEF +S△BEF ＝ ×EF×|A横|+ EF×|B横|＝ × ×（|A横|+|B横|）＝ × ×3＝ ；
（3）S△ABE ＝ ，
∴8S△ABE ＝15，
∴当点D与点C重合时，显然满足条件；
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y＝﹣2x
﹣12，
令﹣2x﹣12＝﹣x2﹣3x，
∴x2+x﹣12＝0，
∴（x﹣3）（x+4）＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣4，
1 2
当x＝3时，y＝﹣18，
当x＝﹣4时，y＝﹣4，
故存在另一点D（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）满足条件．
【点评】此题属于二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求
解第二问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，此类综合题目，难度较大，
注意逐步分析．
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