文档内容
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。）
1．如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的
四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A． B． C． D．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不
是轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
1C． D．
4．已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（
）
A．2 B．2 C．4 D．2
5．某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面
的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下
列推断不合理的是（ ）
A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总
和的2倍
6．若不等式 ﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞
5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
7．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（
）
2A．80﹣2π B．80+4π C．80 D．80+6π
8．若x，x是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x2﹣4x2+17的值为（ ）
1 2 2 1
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
9．已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为
（2， ），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2， ），（2，﹣ ） B．（﹣ ，2），（ ，﹣2）
C．（﹣ ，2），（2，﹣ ） D．（ ， ）（ ）
10．以下四个命题：①用换元法解分式方程﹣ + ＝1时，如果设 ＝y，那么
可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0；②如果半径为r的圆的内接正五边形
的边长为a，那么a＝2rcos54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是 且体积为 的圆
柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为 ；④二次函数y＝ax2﹣
2ax+1，自变量的两个值x，x对应的函数值分别为y、y，若|x ﹣1|＞|x﹣1|，则a（y﹣
1 2 1 2 1 2 1
y）＞0．其中正确的命题的个数为（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的
横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：x2y﹣4y3＝ ．
12．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的
中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全
等，其中正确的命题的序号为 ．
313．同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是 6这个随机事件的概率为
．
14．关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
15．已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若
CE＝ ，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则
BG的长为 ．
16．对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算
（1）计算（1 ）÷（﹣ ）+ × ﹣（ ）﹣2
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝3 ，y＝ ．
18．（6分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若 ＝ ，求证：△ABC是直角三角形．
19．（6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
20．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．
已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现
要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，
可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角
的三角函数和根式表示即可）．
421．（9分）镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用
简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：
万元），从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，
1.3，2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：
0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，
1.7，﹣0.2，1.3
（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全
村家庭年收人超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收人是1.89万元，请你用
调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为
（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
22．（6分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长
费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远
途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里
程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等
候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时
间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
523．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反
比例函数y＝ 的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y）和（a+1，y）在反比例函数的图象上，试比较y与
1 2 1
y的大小；
2
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，
并直接写出kx+b﹣ ＜0成立时，对应x的取值范围．
24．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线
与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的
内切圆面积S和四边形OBED的外接圆面积S的比．
1 2
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交
于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交
点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；
6记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝ S ﹣S ，写出
△AMN △BMN
S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
7参考答案
一、选择题
1．【解答】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.6，0.7，2.5，3.5，
绝对值最小的为0.6，最接近标准．
故选：A．
2．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口
向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
4．【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝ AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2OB＝4 ；
故选：C．
5．【解答】解：A、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；
B、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是 本，正确；
8C、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8﹣15.5＝45.3本，正确；
D、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总
和的 倍，错误；
故选：D．
6．【解答】解：解不等式 ﹣1≤2﹣x得：x≤ ，
∵不等式 ﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞
5x+2（m+x）成立，
∴x＜ ，
∴ ＞ ，
解得：m＜﹣ ，
故选：C．
7．【解答】解：由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，正方体的长宽高分别
为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，
正方体表面积：4×4×2+4×3×4＝80，圆柱体表面积2×3＝6π，上下表面空心圆面积：
2π，
∴这个几何体的表面积是：80+6π﹣2π＝80+4π，
故选：B．
8．【解答】解：∵x，x是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x+x＝﹣1，x•x＝﹣3，x2+x＝3，
1 2 1 2 1 1
∴x2﹣4x2+17＝x2+x2﹣5x2+17＝（x+x）2﹣2xx﹣5x2+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣
2 1 1 2 1 1 2 1 2 1
5x2+17＝24﹣5x2＝24﹣5（﹣1﹣x）2＝24﹣5（x2+x+1）＝24﹣5（3+1）＝4，
1 2 1 1 1
故选：D．
9．【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，
易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF＝ ，DE＝OF＝2，
∴D（ ，﹣2），
9∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣ ，2），
故选：B．
10．【解答】解：①设 ＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0，故正
确；
②作OF⊥BC．
∵∠OCF＝72°÷2＝36°，
∴CF＝r•cos36°，
∴CB＝2rcos36°，即a＝2rcos36°．
故错误；
③这个圆锥母线长为R，
根据题意得2π• ＝ ，
解得R＝3．
即它的母线长是3，．
10故错误；
④二次函数y＝ax2﹣2ax+1的对称轴是x＝2，如图：
．
此时|x﹣1|＞|x﹣1|，y＝y＝0，
1 2 1 2
所以a（y﹣y）＝0．
1 2
故错误．
综上所述，正确的命题的个数为1个．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的
横线上，不需要解答过程）
11．【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
12．【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
故答案为：①②．
13．【解答】解：画树状图如图所示：
共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是6的结果数为11，
所以至少有一枚骰子的点数是6的概率＝ ．
故答案为： ．
1114．【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
15．【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AB＝BC＝CDA＝ ，
又∵CE＝ ，△EFC∽△EAB，
∴ ，
即：F是CD的中点，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，
∠BCF＝∠HDF＝90°
∴△BCF≌△HDF （AAS），
∴DH＝BC＝ ，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG
∴△HDG∽△BEG，
∴ ，
在Rt△ABH中，BH＝ ，
∴BG＝ ，
12故答案为：
16．【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6；
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（1）（1 ）÷（﹣ ）+ × ﹣（ ）﹣2
＝﹣ × + ﹣（1﹣ ）2
＝﹣2+6﹣4+2
＝2 ；
（2）（ + ）÷
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝3 ，y＝ 时，原式＝ ＝ ．
1318．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点A作MN∥BC，
∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
（3）∵ ＝ ，
∴ac＝ （a+b+c）（a﹣b+c）＝ [（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
19．【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，
x2﹣ x＝17，
x2﹣ x+ ＝17+ ，
（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝± ，
所以x＝ ，x＝ ．
1 2
20．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
14∴AD＝ AC＝230km．
CD＝ AB＝230 km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝23°，
∴BD＝ ＝ （km）．
∴AB＝BD+AD＝230+ （km）．
答：公路AB的长为（230+ ）km．
21．【解答】解：（1）第二组数据的平均数为 （0.4﹣0.2+0.2﹣0.1+0.1+0+1.2+0.6+0﹣
0.6+1.1+0.5+0.6﹣0.5+0.3+0.7+0.9+1.7﹣0.2+1.3）＝0.4，
所以这20户家庭的平均年收入＝1.5+0.4＝1.9（万），
130×1.9＝247，
估计全村年收入为247万；
全村家庭年收人超过1.5万元的百分比为 ×100%＝65%；
某家庭过去一年的收人是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村处于中下游；
（2）小王的结果不正确．
第一组数据的方差和第二组数据的方差一样．
它们的方差＝ [（0.4﹣0.4）2+（﹣0.2﹣0.4）2+（0.2﹣0.4）2+…+（1.3﹣0.4）2]＝
0.34．
22．【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意
得：
151.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．
23．【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝ 中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝ ，
∵点（﹣a，y）和（a+1，y）在反比例函数的图象上，
1 2
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y）和（a+1，y）分别在第一象限和第三象限的
1 2
反比例函数的图象上，于是有y＞y；
1 2
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣ 时，y＜y，若﹣a＝a+1，
1 2
即a＝﹣ 时，y＝y，若﹣a＜a+1，即﹣ ＜a＜0时，y＞y；
1 2 1 2
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y）和（a+1，y）分别在第三象限和第一象限的反比
1 2
例函数的图象上，于是有y＜y；
1 2
16综上，当a＜﹣1时，y＞y；当﹣1＜a＜﹣ 时，y＜y；当a＝﹣ 时，y＝y；当﹣ ＜a
1 2 1 2 1 2
＜0时，y＞y；当a＞0时，y＜y．
1 2 1 2
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴ ，解得， ，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组 ，得 ， ，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝ 的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣ ＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
24．【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
17则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝ ，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝ ，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝ ，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（ AB）2π，
则AB＝4 ，∠CAB＝30°，
∴BD＝2 ，BC＝4，AC＝8，而OE＝ AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S＝π（2）2＝2π，
2
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为： ，面积为 ，
故△DEC的内切圆面积S和四边形OBED的外接圆面积S的比为： ．
1 2
25．【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x＝2，x＝﹣1
1 2
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
18（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
∵ 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x＝
∴x＝2（即点A横坐标），x＝﹣1﹣
1 2
∴y＝﹣2（﹣1﹣ ）+4＝ +6
2
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣ ， ）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣ ）2﹣ a
∴顶点M（ ，﹣ a），对称轴为直线x＝
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（ ，3）
19∴如图，MN＝3﹣（﹣ a）＝3+ a
∴S＝ S ﹣S ＝ MN（x﹣ ）﹣ MN（ ﹣x）＝ （3+ a）（2﹣ ）﹣
△AMN △BMN A B
（3+ a）（ +1+ ）＝（3+ a）（ ﹣ ﹣ ）＝3a﹣ +
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，﹣ ≤﹣3
∴当a＝1时，3a＝3，﹣ ＝﹣3均取得最大值
∴S＝3a﹣ + 有最大值，最大值为 ．
2021
