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2015年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）在 ，0，﹣1， 这四个实数中，最大的是（ ）
A． B．0 C．﹣1 D．
2．（3分）2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将
1280亿美元用科学记数法表示为（ ）
A．12.8×1010美元 B．1.28×1011美元
C．1.28×1012美元 D．0.128×1013美元
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2a3+a3＝3a6 B．（﹣a）2•a3＝﹣a6
C．（﹣ ）﹣2＝4 D．（﹣2）0＝﹣1
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A． B．3 C． D．2
5．（3分）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（ ）
A．2 B． C．10 D．
6．（3分）不等式组 的最小整数解是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（3分）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C．“同位角相等”这一事件是不可能事件
D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到
第1页（共27页）△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
π π π π
10．（3分）观察下列各数：1， ， ， ，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为
（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）已知下列命题：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；
①
四条线段a，b，c，d中，若 ＝ ，则ad＝bc；
②
若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
③若|﹣x|＝﹣x，则x≥0．
④其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
12．（3①分）②如③图，已知二次函数①y②＝④ax2+bx+c（a≠0）的①图③象④与x轴交于点A（②﹣③1，④0），对称轴
为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论： 当x＞3
①
时，y＜0； 3a+b＜0； ﹣1≤a≤﹣ ； 4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（ ）
② ③ ④
A． B． C． D．
二、填空①题③（④本大题共8小题①，②每小③题3分，共24分①）②④ ①②③④
第2页（共27页）13．（3分）计算：（ ﹣ ）× ＝ ．
14．（3分）化简：（a﹣ ）÷ ＝ ．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是 ．
16．（3分）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都
相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为 ，则n＝ ．
17．（3分）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）和C（3，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为 ．（用“＜”连接）
2 3
18．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，若 O的半径是4，sinB＝ ，则
⊙ ⊙ ⊙
线段AC的长为 ．
19．（3分）如图，在边长为 +1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿
EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 ．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取
EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
BE＝CD；
①∠DGF＝135°；
②∠ABG+∠ADG＝180°；
③ 第3页（共27页）若 ＝ ，则3S△BDG ＝13S△DGF ．
④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）
21．（8分）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结
果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的
统 计 图 ， 请 根 据 图 中 信 息 回 答 下 列 问 题 ：
（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆
心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；
（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．
22．（8分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为
固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测
得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
第4页（共27页）（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．（10分）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每
尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%．
（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？
（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？
（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．
24．（10分）如图，AB是 O的直径，点D是 上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点
F． ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若BD平分∠⊙ABE，求证：DE2＝DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长和 O的半径．
⊙
25．（12分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1厘米，AB＝3厘米，BC＝5厘
米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘
米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随
之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．
t为何值时，l经过点C？
①
第5页（共27页）求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．
②
26．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物
线的顶点为点D．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S ，S 和S ，用等式表
1 2 3
示S ，S ，S 之间的数量关系，并说明理由；
1 2 3
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连
接MC，是否存在点M使∠AMN＝∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN
的解析式；若不存在，请说明理由．
第6页（共27页）2015年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．【分析】利用任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于
一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
【解答】解：∵正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
0＜ ＜1，1＜ ＜2，
∴﹣1＜0＜ ＜ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了比较实数的大小，掌握任意两个实数都可以比较大小，正实数都
大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，是解答此题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1280亿＝128000000000＝1.28×1011，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据同底数幂的乘法的性质，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项的法则，对各
选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2a3+a3＝3a3，故错误；
B、（﹣a）2•a3＝a5，故错误；
C、正确；
D、（﹣2）0＝1，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，理清指数的
变化是解题的关键．
4．【分析】设BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．
第7页（共27页）【解答】解：设BC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝2 x，
tanB＝ ＝ ＝2 ，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三
角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．
5．【分析】根据平均数的公式求出x的值，根据方差公式求出方差．
【解答】解：由题意得， （5+2+x+6+4）＝4，
解得，x＝3，
s2＝ [（5﹣4）2+（2﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2]
＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
方差S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]．
1 2 n
6．【分析】先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．
【解答】解： ，
解 得x＞﹣1，
解①得x≤3，
不②等式组的解集为﹣1＜x≤3，
不等式组的最小整数解为0，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原
则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1，由等边三角
形的性质得出BD＝CD，∠OBD＝ ∠ABC＝30°，得出OA＝OB＝2OD，求出AD、BC，
第8页（共27页）△ABC的面积＝ BC•AD，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠OBD＝ ∠ABC＝30°，
∴OA＝OB＝2OD＝2，
∴AD＝3，BD＝ ，
∴BC＝2 ，
∴△ABC的面积＝ BC•AD＝ ×2 ×3＝3 ；
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握
圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8．【分析】根据概率的意义，可判断A；根据必然事件，可判断B、D；根据随机事件，可判断C．
【解答】解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率
为 ，故A错误；
B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故B正确；
C、同位角相等是随机事件，故C错误；
D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
第9页（共27页）9．【分析】根据AB＝5，AC＝3，BC＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的
性质得到△AED的面积＝△ABC的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB的面积，根据
扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到
阴影部分的面积＝扇形ADB的面积是解题的关键．
10．【分析】观察数据，发现第n个数为 ，再将n＝6代入计算即可求解．
【解答】解：观察该组数发现：1， ， ， ，…，
第n个数为 ，
当n＝6时， ＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用
发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为 ．
11．【分析】先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真
假即可．
【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB，原命题为真命题，
逆命题是：在①Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＞sinB，则∠A＞∠B，逆命题为真命题；
四条线段a，b，c，d中，若 ＝ ，则ad＝bc，原命题为真命题，
② 第10页（共27页）逆命题是：四条线段a，b，c，d中，若ad＝bc，则 ＝ ，逆命题为真命题；
若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1），原命题为真命题，
③逆命题是：若a（m2+1）＞b（m2+1），则a＞b，逆命题为真命题；
若|﹣x|＝﹣x，则x≥0，原命题为假命题，
④逆命题是：若x≥0，则|﹣x|＝﹣x，逆命题为假命题．
故选：A．
【点评】主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个
命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两
个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要
熟悉课本中的性质定理．
12．【分析】 先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知
当x＞3时①，y＜0；
由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x＝﹣ ＝1，可知：2a+b＝0，从而可知3a+b＝
②
0+a＝a＜0；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，令x＝0得：y＝﹣3a．由
③抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3． 由4ac﹣b2＞8a得c﹣
2＜0与题意不符． ④
【解答】解： 由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞
3时，y＜0，①故 正确；
抛物线开口向①下，故a＜0，
②
∵x＝﹣ ＝1，
∴2a+b＝0．
∴3a+b＝0+a＝a＜0，故 正确；
设抛物线的解析式为y②＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
③令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣ ，故 正确；
③
第11页（共27页）．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
④∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故 错误．
故选：B． ④
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系
数a、b、c之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．【分析】原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝9﹣1＝8，
故答案为：8
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝ • ＝ • ＝ ，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到 ，然后解不等式组即可
得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．
第12页（共27页）【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2
﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．
16．【分析】由一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其
余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为 ，即可得方程：
＝ ，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得： ＝ ，
解得：n＝1，
经检验：n＝1是原分式方程的解．
故答案为：1．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
17．【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横
坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）位于第三象限，且0＞y ＞y ．
1 2 1 2
∵3＞0，
∴点C（3，y ）位于第一象限，
3
∴y ＞0，
3
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝ ，
然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
第13页（共27页）【解答】解：连结CD，如图，
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD⊙＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴sinD＝sinB＝ ，
在Rt△ACD中，∵sinD＝ ＝ ，
∴AC＝ AD＝ ×8＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所
对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
19．【分析】首先连接AC，在Rt△ABO中，求出AO的长度，进而求出AC的长度是多少；然后
根据EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，所以 ，据此求出EG的长为多少即可．
【解答】解：如图1，连接AC，交BD于点O， ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，
∵∠A＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴AO＝AB•cos30°＝（ +1）× ＝ ，
第14页（共27页）∴AC＝ ×2＝3 ，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG＝AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴ ，
又∵EG＝AE，
∴ ，
解得EG＝ ，
∴EG的长为 ．
故答案为： ．
【点评】（1）此题主要考查了翻折变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠
是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和
对应角相等．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 菱形具
有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂①直，并且
每一条对角线平分一组对角②； 菱形是轴对称图形，③它有2条对称轴，分别是两条对角线
所在直线． ④
20．【分析】先求出∠BAE＝45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性
质可得AB＝BE，∠AEB＝45°，从而得到BE＝CD，故 正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角①形的性质可得 CG＝EG，再求出
∠BEG＝∠DCG＝135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE＝
∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC＝∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故 错误；
由于∠BGE＝∠DGC，得到∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣②∠CDG＝
∠ABC+∠ADC＝180°，故 正确；
③
由△BGD 是等腰直角三角形得到 BD＝ ＝ a，求得 S△BDG ，过 G 作
GM⊥CF于M，求得S△DGF ，进而得出答案．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
第15页（共27页）∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠AEB＝45°，
∵AB＝CD，
∴BE＝CD，
故 正确；
∵①∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE＝∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC＝∠BGE＜45°，
∵∠CGF＝90°，
∴∠DGF＜135°，
故 错误；
∵②∠BGE＝∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，
故 正确；
③
∵ ＝ ，
∴设AB＝2a，AD＝3a，
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE＝∠DGC，BG＝DG，
∵∠EGC＝90°，
∴∠BGD＝90°，
第16页（共27页）∵BD＝ ＝ a，
∴BG＝DG＝ a，
∴S△BDG ＝ × a× a＝ a2
∴3S△BDG ＝ a2，
过G作GM⊥CF于M，
∵CE＝CF＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝a，
∴GM＝ CF＝ a，
∴S△DGF ＝ •DF•GM＝ ×3a× a＝ a2，
∴13S△DGF ＝ a2，
∴3S△BDG ＝13S△DGF ，
故 正确．
故④答案为： ．
①③④
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性
质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）
21．【分析】（1）合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除
以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数；
（2）用40﹣2﹣8﹣18即可；
（3）用480乘以良好所占的百分比即可．
【解答】解：（1）8÷20%＝40（人），
18÷40×360°＝162°；
第17页（共27页）（2）“优秀”的人数＝40﹣2﹣8﹣18＝12（人），
如图，
（3）“良好”的男生人数： ×480＝216（人），
答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．【分析】（1）根据已知和tan∠ADC＝ ，求出AC，根据∠BDC＝45°，求出BC，根据AB
＝AC﹣BC求出AB；
（2）根据cos∠ADC＝ ，求出AD，根据cos∠BDC＝ ，求出BD．
【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC＝60°，CD＝3，
∵tan∠ADC＝ ，
∴AC＝3•tan60°＝3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝3，
∴AB＝AC﹣BC＝（3 ﹣3）米．
（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC＝ ，
第18页（共27页）∴BD＝ ＝ ＝3 米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解
题的关键．
23．【分析】（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意列一元一次方程组求解即可；
（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，根据题意列不等式求出解集即可；
（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，列出w与x之间的函数关系式，运用
一次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意可得：
，
解得： ．
答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾．
（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，列不等式得：
85%z+90%（700﹣z）≥700×88%，
解得：z≤280．
答：甲种鱼苗至多购买280尾．
（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，则
w＝3m+5（700﹣m）＝﹣2m+3500，
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵0＜m≤280，
∴当m＝280时，w有最小值，w的最小值＝3500﹣2×280＝2940（元），
∴700﹣m＝420．
答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2940元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数应用问题，审清
题意，找到等量或不等关系是解决问题的关键．
24．【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA＝90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE
＝90°，则CB⊥AB，从而证得BC是 O的切线；
（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出⊙相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
第19页（共27页）（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出 ＝ ，然后根据已知条件得出 ＝ ＝
＝ ，求得PD＝4，通过证得△PDA∽△POD，得出 ＝ ，设OA＝x，则PA＝
x，PO＝2x，得出 ＝ ，解得OA＝2 ．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠AEB＝90°， ⊙
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠EDB＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是 O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证⊙明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE， ＝ ，
∴∠DEA＝∠DBE，
∵∠EDB＝∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴ ＝ ，
∴DE2＝DF•DB；
（3）解：连接DA、DO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠EBD＝∠OBD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∴OD∥BE，
∴ ＝ ，
∵PA＝AO，
第20页（共27页）∴PA＝AO＝OB，
∴ ＝
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵DE＝2，
∴PD＝4，
∵∠PDA+∠ADE＝180°，∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠PDA＝∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD＝∠ABE，
∴∠PDA＝∠AOD，
∵∠P＝∠P，
∴△PDA∽△POD，
∴ ＝ ，
设OA＝x，
∴PA＝x，PO＝2x，
∴ ＝ ，
∴2x2＝16，x＝2 ，
∴OA＝2 ．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此
线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
第21页（共27页）25．【分析】（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；
（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解；
（3） 当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答；
当P①Q的垂直平分线l经过点D时进行分析解答．
②【解答】解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE＝AD＝1，DE＝AB＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝4，
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝DC2，
∴ 厘米；
（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，
∴BP＝t厘米，PC＝（5﹣t）厘米，CQ＝2t厘米，QD＝（5﹣2t）厘米，
且0＜t≤2.5，
作QH⊥BC于点H，
∴DE∥QH，
∴∠DEC＝∠QHC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△QHC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ +3t，
第22页（共27页），
分两种情况讨论：
当S△PQC ：S四边形ABCD ＝1：3时， ，
①
即t2﹣5t+5＝0，
解得： （舍去）；
S△PQC ：S四边形ABCD ＝2：3时， ，
②
即t2﹣5t+10＝0，
∵△＜0，
∴方程无解，
∴当t为 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分；
（3）如图2，
当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC＝QC，
①∴5﹣t＝2t，
∴3t＝5，
∴t＝ ，
∴当t＝ 秒时，直线l经过点C；
如图3，
②
第23页（共27页）当PQ的垂直平分线l经过点D时，
可知DQ＝DP，
连接DP，则在Rt△DEP中，DP2＝DE2+EP2，
∴DQ2＝DE2+EP2，
∴（5﹣2t）2＝32+（t﹣1）2，
∴t ＝1，t ＝5（舍去），
1 2
∴BP＝1厘米，
∴当t＝1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合；
如图4，连接FQ，
∵直线l是△DPQ的对称轴，
∴△DEF≌△DQF，∠DQF＝90°，EF＝QF，
设EF＝x厘米，则QF＝x厘米，FC＝（4﹣x）厘米，
在Rt△FQC中，FQ2+QC2＝FC2，
x2+22＝（4﹣x）2，
∴x＝ ，
∴EF＝ 厘米，
在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，
∴ ，
第24页（共27页）∴DF＝ 厘米，
在Rt△DEF中，EG⊥DF，
∴ ，
∴EG＝ ，
∴EG＝ 厘米，
∴PQ＝2EG＝ 厘米．
【点评】此题考查了四边形的综合题，能够根据勾股定理、解直角三角形的知识、三角形的
面积公式进行分析讨论．
26．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点
D的坐标；
（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角
三角形，求出其面积，计算即可得到答案；
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出
AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据
MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为：（1，﹣4）；
（2）S +S ＝S ，
1 3 2
过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，
由题意得，CD＝ ，BD＝2 ，BC＝3 ，
CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
第25页（共27页）S ＝ ×OA×OC＝ ，
1
S ＝ ×OB×OC＝
2
S ＝ ×CD×BC＝3，
3
∴S +S ＝S ；
1 3 2
（3）存在点M使∠AMN＝∠ACM，
设点M的坐标为（m，0），
∵﹣1＜m＜3，
∴MA＝m+1，AC＝ ，
∵MN∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AN＝ （m+1），
∵∠AMN＝∠ACM，∠MAN＝∠CAM，
∴△AMN∽△ACM，
∴ ＝ ，即（m+1）2＝ • （m+1），
解得，m ＝ ，m ＝﹣1（舍去），
1 2
∴点M的坐标为（ ，0），
设BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，
，解得 ，
则BC的解析式为y＝x﹣3，又MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y＝x+b，把点M的坐标为（ ，0）代入得，
b＝﹣ ，
∴直线MN的解析式为y＝x﹣ ．
第26页（共27页）【点评】本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待
定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股
定理逆定理的运用．
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日期：2020/8/18 22:07:45；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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