文档内容
2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检
测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，
其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
第1页（共26页）C． D．
4．（3分）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长
为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
5．（3分）某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．
下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信
息，下列推断不合理的是（ ）
A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总
和的2倍
6．（3分）若不等式 ﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣
1 ）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面
积是（ ）
第2页（共26页）A．80﹣2 B．80+4 C．80 D．80+6
8．（3分）若xπ1 ，x
2
是一元二次方程πx2+x﹣3＝0的两个实数根，则x
2
3﹣4x
1
2+17的值π 为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
9．（3分）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的
坐标为（2， ），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2， ），（2，﹣ ） B．（﹣ ，2），（ ，﹣2）
C．（﹣ ，2），（2，﹣ ） D．（ ， ）（ ）
10．（3分）以下四个命题： 用换元法解分式方程﹣ + ＝1时，如果设 ＝
①
y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0； 如果半径为r的圆的内接正
五边形的边长为a，那么a＝2rcos54°； 有一个圆锥，与②底面圆直径是 且体积为
③
的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为 ； 二次函
④
数y＝ax2﹣2ax+1，自变量的两个值x ，x 对应的函数值分别为y 、y ，若|x ﹣1|＞|x ﹣1|，
1 2 1 2 1 2
则a（y ﹣y ）＞0．其中正确的命题的个数为（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的
横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y3＝ ．
12．（3分）下面三个命题： 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等； 两边及其中一
边上的中线对应相等的两①个三角形全等； 斜边和斜边上的中线对应相②等的两个直角三
角形全等，其中正确的命题的序号为 ③ ．
13．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是6这个随机事件的概率
为 ．
14．（3分）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
第3页（共26页）15．（3分）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的
一点，若CE＝ ，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE
交于点G，则BG的长为 ．
16．（3分）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是
．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算
（1）计算（1 ）÷（﹣ ）+ × ﹣（ ）﹣2
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝3 ，y＝ ．
18．（6分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若 ＝ ，求证：△ABC是直角三角形．
19．（6分）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
20．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．
已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要
打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可
抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的
三角函数和根式表示即可）．
第4页（共26页）21．（9分）镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用
简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：
万元），从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：
0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，
1.3
（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全
村家庭年收入超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收入是1.89万元，请你用调
查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为
（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
22．（6分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长
费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远
途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里
程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等
候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时
间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若
第5页（共26页）反比例函数y＝ 的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y ）和（a+1，y ）在反比例函数的图象上，试比较y 与
1 2 1
y 的大小；
2
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并
直接写出kx+b﹣ ＜0成立时，对应x的取值范围．
24．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的 O交斜边AC于点D，过点D作 O的
切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为⊙H． ⊙
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若 O的面积为12 ，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC
的内切⊙圆面积S 和四边π形OBED的外接圆面积S 的比．
1 2
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交
于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交
点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；
记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝ S△AMN ﹣S△BMN ，
写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理
第6页（共26页）由．
第7页（共26页）2019年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。）
1．【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的．
【解答】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：0.6，0.7，2.5，3.5，
绝对值最小的为0.6，最接近标准．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值
越小的数越接近标准．
2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，
然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得
相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，
二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图
象和一次函数的图象与系数之间的关系．
4．【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的性质，求得OA＝1，AC⊥BD，然后由勾股定
理求得OB的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，
第8页（共26页）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝ AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2OB＝4 ；
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是
关键．
5．【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．
【解答】解：A、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；
B、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是 本，正确；
C、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8﹣15.5＝45.3本，正确；
D、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总
和的 倍，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．
6．【分析】求出不等式 ﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得
出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式 ﹣1≤2﹣x得：x≤ ，
∵不等式 ﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞
5x+2（m+x）成立，
第9页（共26页）∴x＜ ，
∴ ＞ ，
解得：m＜﹣ ，
故选：C．
【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据
已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．【分析】由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，
4，3，圆柱体直径为2，高为3，据此解答即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别
为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，
长方体表面积：4×4×2+4×3×4＝80，圆柱体侧面积2 ×3＝6 ，上下表面空心圆面积：2 ，
∴这个几何体的表面积是：80+6 ﹣2 ＝80+4 ， π π π
故选：B． π π π
【点评】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握三视图是解题的关键．
8．【分析】利用根与系数的关系可得出x +x ＝﹣1、x •x ＝﹣3，将代数式x 3﹣4x 2+17进行转
1 2 1 2 2 1
化后得出（x ﹣1）（x 2+x+1）﹣4x 2+18，再代入数据即可得出结论．
2 2 1
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣1，x •x ＝﹣3，x2+x＝3，
1 2 1 2
∴x 3﹣4x 2+17＝x 3﹣1﹣4x 2+18＝（x ﹣1）（x 2+x +1）﹣4x 2+18＝（﹣1﹣x ﹣1）×4﹣
2 1 2 1 2 2 2 1 1
4x 2+18＝﹣8﹣4x ﹣4x 2+18＝﹣8﹣4（x 2+x ）+18＝10﹣4×3＝﹣2，
1 1 1 1 1
故选：A．
【点评】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两根时，则x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
9．【分析】连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证
△AFO≌△OED（AAS），则OE＝AF＝ ，DE＝OF＝2，D（ ，﹣2），因为B、D关于原点
对称，所以B（﹣ ，2）．
【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，
易证△AFO≌△OED（AAS），
第10页（共26页）∴OE＝AF＝ ，DE＝OF＝2，
∴D（ ，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣ ，2），
故选：B．
【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的
性质是解题的关键．
10．【分析】 利用换元法代入并化简；
作OF⊥①BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长；
②这个圆锥母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
③
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2 •r＝ ，然后解关于R
π
的方程即可；
根据二次函数图象的性质判断．
④
【解答】解： 设 ＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y﹣2＝0，故正确；
①
作OF⊥BC．
②
第11页（共26页）∵∠COF＝72°÷2＝36°，
∴CF＝r•sin36°，
∴CB＝2rsin36°，即a＝2rsin36°＝2rcos54°．
故正确；
设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，
③
根据题意得2 •r＝ ，
π
则R：r＝2：1．
由 •（ ）2h＝ 得到h＝ ．
π
所以h2+r2＝R2，即（ ）2+ R2＝R2，则R＝
即它的母线长是 ．
故正确；
二次函数y＝ax2﹣2ax+1的对称轴是x＝1，若a＜0时，如图：
④
当x ＜x ＜1时，y ＜y
1 2 1 2
此时|x ﹣1|＞|x ﹣1|，y ＜y ，
1 2 1 2
所以a（y ﹣y ）＞0．
1 2
故正确．
综上所述，正确的命题的个数为4个．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理．考查了换元法解分式方程，弧长的计算，二次函数图象的性质，
第12页（共26页）解直角三角形等知识，需要对相关知识有一个系统的掌握．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的
横线上，不需要解答过程）
11．【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式
进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法
分解．
12．【分析】由全等三角形的判定方法得出 正确， 不正确．
【解答】解： 底边和顶角对应相等的两①个②等腰三角③形全等；正确；
①
理由：已知：如图1，2，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝AC，A'B'＝A'C'，BC＝BC，∠A＝∠A'，
求证：△ABC≌△A'B'C'，
证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ∠A，
同理：∠B'＝90°﹣ ∠A'，
∵∠A＝∠A'，
∴∠B＝∠B'，
∵BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）
两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
②理由：已知：如图3，4
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD＝A'D'，AB＝A'B'，BC＝
B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD＝ BC，B'D'＝ B'C'，
第13页（共26页）∵BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
③例如：两直角三角形的斜边都是10，斜边的中线都是5，而其中一个直角三角形的两锐角
是30°和60°，另一个直角三角形的两锐角是40°和50°
故答案为： ．
①②
【点评】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方
法是解题的关键．
13．【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出至少有一枚骰子的点数是6的
结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是6的结果数为11，
所以至少有一枚骰子的点数是6的概率＝ ．
故答案为： ．
第14页（共26页）【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
14．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；
当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当2m﹣1＝0，即m＝ 时，方程为 ﹣ x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
15．【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转
化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而
BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．
【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝ ，
又∵CE＝ ，△EFC∽△EAB，
∴ ，
即：F是CD的中点，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，
∠BCF＝∠HDF＝90°
∴△BCF≌△HDF （AAS），
第15页（共26页）∴DH＝BC＝ ，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG
∴△HDG∽△BEG，
∴ ，
在Rt△ABH中，BH＝ ，
∴BG＝ ，
故答案为：
【点评】考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质以及勾股定理
等知识的综合应用，转化思想方法的应用和画出相应的图形则显得尤为重要．
16．【分析】将已知转化为对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，利用△＜0即可求解．
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
令y＝3a2﹣5ab+2b2+3是关于a的二元函数，函数开口向上，
当y＞0恒成立，只需△＜0，
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6；
故答案为﹣6＜b＜6．
【点评】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式
值的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
第16页（共26页）17．【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（1）（1 ）÷（﹣ ）+ × ﹣（ ）﹣2
＝﹣ × + ﹣（1﹣ ）2
＝﹣2+6﹣4+2
＝2 ；
（2）（ + ）÷
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝3 ，y＝ 时，原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数
的混合运算法则是解题的关键．
18．【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB＝
∠B，∠NAC＝∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点B作MN∥AC，
∵MN∥AC，
∴∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠MBA+∠ABC+∠NBC＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
第17页（共26页）（3）∵ ＝ ，
∴ac＝ （a+b+c）（a﹣b+c）＝ [（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是
解题的关键．
19．【分析】首先把方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，然后变形为x2﹣ x＝17，然后利用
配方法解方程．
【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，
x2﹣ x＝17，
x2﹣ x+ ＝17+ ，
（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝± ，
所以x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可
得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
第18页（共26页）∴AD＝ AC＝230km．
CD＝ AC＝230 km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，
∴BD＝ ＝ （km）．
∴AB＝BD+AD＝230+ （km）．
答：公路AB的长为（230+ ）km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解
答此题的关键．
21．【分析】（1）计算出第二组数据的平均数，则把这个平均数加上1.5得到得到这20户家庭
的平均年收入；用这20户家庭的平均年收入乘以130可估计全村年收入；用样本中家庭
年收入超过1.5万元的百分比表示全村家庭年收入超过1.5万元的百分比，利用中位数的
意义判断某家庭过去一年的收入是1.89万元，该家庭的收入情况在全村处于什么水平；
（2）利用方差的意义可判断小王的结果错误，然后根据方差公式计算第二组的方差即可．
【解答】解：（1）第二组数据的平均数为 （0.4﹣0.2+0.2﹣0.1+0.1+0+1.2+0.6+0﹣
0.6+1.1+0.5+0.6﹣0.5+0.3+0.7+0.9+1.7﹣0.2+1.3）＝0.4，
所以这20户家庭的平均年收入＝1.5+0.4＝1.9（万元），
130×1.9＝247，
估计全村年收入为247万元；
全村家庭年收入超过1.5万元的百分比为 ×100%＝65%；
第19页（共26页）第二组数据排序为：﹣0.6，﹣0.5，﹣0.2，﹣0.2，﹣0.1，0，0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.6，
0.7，0.9，1.1，1.2，1.3，1.7，
∴这组数据的中位数为 ＝0.35，
∴原数据的中位数为：1.5+0.35＝1.85，
某家庭过去一年的收入是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村处于中上游；
（2）小王的结果不正确．
第一组数据的方差和第二组数据的方差一样．
它们的方差＝ [（0.4﹣0.4）2+（﹣0.2﹣0.4）2+（0.2﹣0.4）2+…+（1.3﹣0.4）2]＝0.34．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝
1 2 n
（[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
1 2 n
大，反之也成立．也考查了样本估计整体．
22．【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付
给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时
间的一半多8.5分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意
得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
+ 得2y＝36
①∴y＝②18
③ 第20页（共26页）将 代入 得x＝37
∴③小王的实①际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系
列方程或方程组是解题的关键．
23．【分析】（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A点坐标，再用待定系数法求反比例函数
解析式，根据反比例函数的性质比较y 与y 的大小；
1 2
（2）用待定系数求得一次函数的解析式，再求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标
便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．
【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝ 中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝ ，
∵点（﹣a，y ）和（a+1，y ）在反比例函数的图象上，
1 2
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y ）和（a+1，y ）分别在第一象限和第三象限
1 2
的反比例函数的图象上，于是有y ＞y ；
1 2
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣ 时，y ＜y ，若﹣a＝a+1，
1 2
即a＝﹣ 时，y ＝y ，若﹣a＜a+1，即﹣ ＜a＜0时，y ＞y ；
1 2 1 2
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y ）和（a+1，y ）分别在第三象限和第一象限的反
1 2
比例函数的图象上，于是有y ＜y ；
1 2
综上，当a＜﹣1时，y ＞y ；当﹣1＜a＜﹣ 时，y ＜y ；当a＝﹣ 时，y ＝y ；当﹣ ＜a＜
1 2 1 2 1 2
0时，y ＞y ；当a＞0时，y ＜y ．
1 2 1 2
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
第21页（共26页）∴ ，解得， ，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组 ，得 ， ，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝ 的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣ ＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函
数解析式，一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，
矩形的性质，勾股定理，第（1）题的关键是求出矩形的边长，难点是分情况讨论y 与y 的
1 2
大小．第（2）关键是观察函数图象的位置与自变量的取值范围的关系．
24．【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝ ，即HM：BH＝ ，得
∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
第22页（共26页）（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝ ，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝ ，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝ ，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
O的面积：12 ＝（ AB）2 ，
⊙ π π
则AB＝4 ，∠CAB＝30°，
∴BD＝2 ，BC＝4，AC＝8，而OE＝ AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S ＝ （2）2＝4 ，
2
π π
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为： ，面积为 ，
故△DEC的内切圆面积S 和四边形OBED的外接圆面积S 的比为： ．
1 2
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关
键是通过△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定∠BMH＝30°＝∠BAC，进而求解．
25．【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函数解
析式，且把a＝b代入，求得c＝﹣2a，所有二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，令y＝0即
求得与x轴交点的坐标．
（2）由（1）得直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a，两方程联立消去
y后，得到关于x的一元二次方程，求得其△＝（3a+2）2．由于a＞c，c＝﹣2a，求得a＞0，
故△＝（3a+2）2＞0，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由c＜a≤c+3和c＝﹣2a求得0＜a≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大
致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B坐标（用a表示）．将抛物线解析式配方求得
第23页（共26页）顶点M和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点M纵坐标得
MN的长，进而能用含a的式子表示S△AMN 与S△BMN ，代入即写出S关于a的函数关系式．
由0＜a≤1得到当a＝1时，S能有最大值，并能求出最大值．
【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1
1 2
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
第24页（共26页）∵ 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x＝
∴x ＝2（即点A横坐标），x ＝﹣1﹣
1 2
∴y ＝﹣2（﹣1﹣ ）+4＝ +6
2
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣ ， ）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣ ）2﹣ a
∴顶点M（ ，﹣ a），对称轴为直线x＝
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（ ，3）
∴如图，MN＝3﹣（﹣ a）＝3+ a
∴S＝ S△AMN ﹣S△BMN ＝ MN（x
A
﹣ ）﹣ MN（ ﹣x
B
）＝ （3+ a）（2﹣ ）
﹣ （3+ a）（ +1+ ）＝（3+ a）（ ﹣ ﹣ ）＝3a﹣ +
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，﹣ ≤﹣3
∴当a＝1时，3a＝3，﹣ ＝﹣3均取得最大值
∴S＝3a﹣ + 有最大值，最大值为 ．
第25页（共26页）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，一
元二次方程根与系数的关系，不等式的应用．其中第（1）（2）题求解的结论是没有附加条
件的，故在后续证明或计算时能直接使用．在没有图象的情况下考查二次函数和一次函数
的相关性质，体现数形结合的应用，在解题时要根据题意画出大致图象再进行解题．
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日期：2020/8/18 21:51:40；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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