文档内容
2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将
超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，
﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ）
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． • ＝ ＝±
B．（ab2）3＝ab5
C．（x﹣y+ ）（x+y+ ）＝（x+y）2
D． ÷ ＝﹣
4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5；则在一定时间
段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75 B．0.525 C．0.5 D．0.25
第1页（共27页）5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不
为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，
第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六
天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，
对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为
（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
7．（3分）关于二次函数y＝ x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
8．（3分）命题 设△ABC的三个内角为A、B、C且 ＝A+B，＝C+A，＝C+B，则 、、 中，
最多有一个①锐角； 顺次连接菱形各边中点所得α的四边形β是矩形；γ 从11个评α委β分γ别给
出某选手的不同原②始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的③9个评分与11个原始
评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象没有交点，则k
1 1
与k 的关系，下面四种表述 k +k ≤0； |k +k |＜|k |或|k +k |＜|k |； |k +k |＜|k ﹣k |；
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
k k ＜0．正确的有（ ①） ② ③
1 2
④A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边
上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若
∠FPG＝90°，S△A′EP ＝8，S△D′PH ＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
第2页（共27页）A．6 +10 B．6 +5 C．3 +10 D．3 +5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的
横线上，不需要解答过程）
11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点
E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
13．（3分）分式 与 的最简公分母是 ，方程 ﹣ ＝1的解是
．
14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000
元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定
每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，
由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价
为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率 （精确到
0.001）
… … …
第3页（共27页）250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
15．（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，
即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日
开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5
月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ．
16．（3分）已知AB为 O的直径且长为2r，C为 O上异于A，B的点，若AD与过点C的
⊙ ⊙
O的切线互相垂直，垂足为D． 若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝ r，
⊙ ① ②
若△AOC为正三角形，则CD＝ r， 若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝
③
r， 无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的
序号④为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|1﹣ |﹣ × + ﹣（ ）﹣2；
（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组： ．
18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，
BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，
请说明理由．
第4页（共27页）19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向
航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
20．（6分）已知自变量x与因变量y 的对应关系如表呈现的规律．
1
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 12 11 10 9 8 …
1
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比例函数y ＝ （k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标
1
原点且S△AOB ＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y
2
）与（a，y
1
）分别在反比例函
数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y 与y 的大小关系．
2 1
21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，
注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通
过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．
跳绳的次数 频数
60≤x＜ 4
≤x＜ 6
≤x＜ 11
第5页（共27页）≤x＜ 22
≤x＜ 10
≤x＜ 4
≤x＜
（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据
补充完整；
（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别
写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本
思维方式，例如：解方程x﹣ ＝0，就可以利用该思维方式，设 ＝y，将原方程转化为：
y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．
请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足 ，求x2+y2的值．
23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现
多处出现著名的黄金分割比 ≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA
与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分
图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证： ，且其比值k＝ ；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
第6页（共27页）24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且
每小时可获得利润60（﹣3t+ +1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得
的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说
明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可
生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此
最大利润．
第7页（共27页）2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．【分析】根据总成语数＝5天数据记录结果的和+6×5，即可求解．
【解答】解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，
∴这5天他共背诵汉语成语38个，
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键．
3．【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法
则判断即可．
【解答】解：A、 ，故选项错误；
B、（ab2）3＝a3b6，故选项错误；
C、
＝
＝
＝（x+y）2，故选项正确；
第8页（共27页）D、 ，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法
法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则．
4．【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工
作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．
【解答】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为＝0.75，
故选：A．
【点评】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题，用到的知识点为：电流能正常通过的
概率＝1﹣电流不能正常通过的概率．
5．【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路
程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论．
【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走
的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得：x＝6．
32x＝192，
6+192＝198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
6．【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关
系得出结果．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
第9页（共27页）当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则 ，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为 ，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键
是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
7．【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式
化为顶点式，即可判断B；求出当x＝2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函
数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D．
【解答】解：A、将二次函数 向上平移10个单位，再
向左平移2个单位后，
表达式为： ，
若过点（4，5），
则 ，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵ ，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值
大25，故选项错误；
D、△＝ ，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程 有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交
点，故选项正确，
故选：C．
第10页（共27页）【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键
是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系．
8．【分析】 设 、、 中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时矛盾，并
且说明有①一个α锐β角γ的情况存在即可； 利用中位线的性质和矩形的判定可判断； 根据
评分规则和中位数、方差的意义判断②． ③
【解答】解： 设 、 、 中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角①，假设α 、β γ为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C＝A+180°α＜18β0°，
∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设A＜45°，B＜45°，则 ＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命α题 正确；
如图，菱形ABCD中，点E①、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
②∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，故命题 正确；
②
去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
③但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题 错误；
综上：③错误的命题个数为1，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理，涉及到三角形内角和，菱形的性质与矩形的判定，中位数
第11页（共27页）和方差，解题时要根据所学知识逐一判定，同时要会运用反证法．
9．【分析】根据题意得出k 和k 异号，再分别判断各项即可．
1 2
【解答】解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象没有交点，
1
若k ＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
1
则k ＜0，
2
若k ＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
1
则k ＞0，
2
综上：k 和k 异号，
1 2
∵k 和k 的绝对值的大小未知，故k +k ≤0不一定成立，故 错误；
1 2 1 2
①|k
1
+k
2
|＝||k
1
|﹣|k
2
||＜|k
1
|或|k
1
+k
2
|＝||k
1
|﹣|k
2
||＜|k
2
|，故 正确；①
②|k
1
+k
2
|＝||k
1
|﹣|k
2
||＜||k
1
|+|k
2
||＝|k
1
﹣k
2
|，故 正确；②
③∵k
1
和k
2
异号，则k
1
k
2
＜0，故 正确；③
④故正确的有3个， ④
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到k
1
和k 异号．
2
10．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积
为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝ x，由S△D′PH ＝ A′P•D′H，可解得x＝
，分别求出PE和PH，从而得出AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，
∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，
∴∠A′PE＝∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2，
∴A′P：D′H＝2：1，
第12页（共27页）∵A′P＝x，
∴D′H＝ x，
∵S△D′PH ＝ D′P•D′H＝ A′P•D′H，即 ，
∴x＝ （负根舍弃），
∴AB＝CD＝ ，D′H＝DH＝ ，D′P＝A′P＝CD＝ ，A′E＝2D′P＝ ，
∴PE＝ ，PH＝ ，
∴AD＝ ＝ ，
即矩形ABCD的长为 ，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的
横线上，不需要解答过程）
11．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形
面积公式计算．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝ BC＝2，DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面
积公式是解题的关键．
12．【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
第13页（共27页）半圆柱的直径为2，高为2，
故其表面积为： ×12+（ +2）×2＝3 +4，
故答案为：3 +4π． π π
【点评】本题π考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何
体的形状，难度不大．
13．【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式 与 的最简公分母是x（x﹣2），
方程 ，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解为：x＝﹣4．
【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
14．【分析】利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左
右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价﹣
进价＝利润”列方程解答．
【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加
这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1﹣0.1＝0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x﹣3×10000＝12000，
解得x＝ ≈4.7，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为
4.7元，
故答案为：0.9，4.7．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情
况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键．
第14页（共27页）15．【分析】首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日分别为
星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4× ＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
故答案为：112；五、六、日．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类和推理与论证，根据题意分别得出5月30
日时所有的可能是解题关键．
16．【分析】 过点O作OE⊥AC，垂足为E，求出∠CAD＝30°，得到CD＝ AC，再说明OE
①
＝ r，利用∠OCA≠∠COE，得到CE≠OE，即可判断； 过点A作AE⊥OC，垂足为E，
②
证明四边形AECD为矩形，即可判断； 画出图形，证明四边形AOCD为矩形，即可判断；
过点C作CE⊥AO，垂足为E，证明③△ADC≌△AEC，从而说明AC垂直平分DE，得到
④点D和点E关于AC对称，即可判断．
【解答】解： ∵∠AOC＝120°，
∴∠CAO＝∠①ACO＝30°，
∵CD和圆O相切，AD⊥CD，
∴∠OCD＝90°，AD∥CO，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，
∴CD＝ AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
则CE＝AE＝ AC＝CD，
第15页（共27页）而OE＝ OC＝ r，∠OCA≠∠COE，∴CE≠OE，
∴CD≠ r，故 错误；
①
若△AOC为正三角形，
②∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝ AO，AE＝ AO＝ r，
过点A作AE⊥OC，垂足为E，
∴四边形AECD为矩形，
∴CD＝AE＝ r，故 正确；
②
若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，
③∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°
第16页（共27页）∴∠DAO＝90°，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD＝AO＝r，故 正确；
③
过点C作CE⊥AO，垂足为E，
④∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠CAD＝∠CAO，
∴CD＝CE，
在△ADC和△AEC中，
∠D＝∠AEC，CD＝CE，AC＝AC，
∴△ADC≌△AEC（HL），
∴AD＝AE，
∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，
即点D一定落在直径 上，故 正确．
④
第17页（共27页）故正确的序号为： ，
故答案为： ②．③④
【点评】本题②考③查④了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，
切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定
理进行推导．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）先分别化简各项，再作加减法；
（2）分别解两个不等式得到x＞﹣2，x＞4﹣6m，再根据m的范围得出4﹣6m＞0＞﹣2，最
后得到到解集．
【解答】解：（1）原式＝
＝ ；
（2） ，
解不等式 得：x＞﹣2，
解不等式①得：x＞4﹣6m，
∵m是小于②0的常数，
∴4﹣6m＞0＞﹣2，
∴不等式组的解集为：x＞4﹣6m．
【点评】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握运算法则
和解法．
18．【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，从而得到AF＝DE，AE＝BF，可得结果；
（2）若要四边形BFDE是平行四边形，则DE＝BF，则∠BAF＝45°，再证明∠BAF≠45°即
第18页（共27页）可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形BFDE不能是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的
关键是找到三角形全等的条件．
19．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，过B作BE⊥AC
于E，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得：
∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，
第19页（共27页）过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，
∴AE＝BE＝ AB＝19 ，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝ ，
∴CE＝ ＝ ，
∴AC＝AE+CE＝19 +
∴A，C两港之间的距离为（19 + ）km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等
知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．【分析】（1）根据表格发现x和y 的关系，从而得出解析式，再求出与x轴和y轴交点坐标，
1
即可得到结果；
（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），利用S△AOB ＝S△AOM ﹣S△OBM 得出n﹣m＝6，再联立一
次函数和反比例函数解析式，得到x2﹣10x+k＝0，利用根与系数的关系求出k值即可，解
方程x2﹣10x+16＝0 得到点A和点B坐标，再根据图象比较y 与y 的大小．
2 1
【解答】解：（1）根据表格中数据发现：
y 和x的和为10，
1
第20页（共27页）∴y ＝10﹣x，
1
且当x＝0时，y ＝10，
1
令y ＝0，x＝10，
1
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图象上，
∴S△AOB ＝S△AOM ﹣S△OBM
＝ ×10×（10﹣m）﹣ ×10×（10﹣n）
＝30，
化简得：n﹣m＝6，
联立 ，得：x2﹣10x+k＝0，
∴m+n＝10，mn＝k，
∴n﹣m＝ ，
则 ，解得：k＝16，
∴反比例函数解析式为： ，
解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵（a，y ）在反比例函数 上，（a，y ）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8
2 1
时，y ＜y ；
2 1
当0＜a＜2或a＞8时，y ＞y ；
2 1
当a＝2或8时，y ＝y ．
2 1
第21页（共27页）【点评】本题考查了反比例函数和一次函数综合，涉及到解一元二次方程，根与系数的关
系，解题时要根据图象利用数形结合思想解题．
21．【分析】（1）根据最大值和最小值以及组距可填表，再求出最后一组的频数，补充表格即
可；
（2）用全校人数乘以成绩最好一组成绩的人数所占样本人总数的比值即可；
（3）根据题意求出平均数和众数，再进行分析得出结论．
【解答】解：（1）由题意：最小的数是60，最大的数是198，组距是20，可得分组，
60﹣（4+6+11+22+10+4）＝3，
补充表格如下：
第22页（共27页）（2）∵全校有2100名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为3，
∴2100× ＝105人，
故全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人；
（3）由题意可得：
70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人，170
次的有4人，190次的有3人，
则样本平均数＝（4×70+6×90+11×110+22×130+10×150+4×170+3×190）÷60≈127，
众数为130，
从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个；
从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多．
【点评】本题考查了频数分布表，样本估计总体，平均数与众数，解题的关键是利用统计表
获取信息，同时必须认真观察、分析、研究，才能作出正确的判断和解决问题．
22．【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都
有x2y2和x+y，因此可以令xy＝a，x+y＝b，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出x2+y2
第23页（共27页）的值．
【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得： ，
﹣ 得：11a2＝275，
②解得：①a2＝25，代入 可得：b＝4，
②
∴方程组的解为： 或 ，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．
【点评】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将
高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．
23．【分析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE＝∠BAC＝36°，
即AM＝BM，再求出∠BNA＝72°＝∠BAD，得出结论；
（2）证明△BAM∽△BEA，得到 设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN
＝x，证明 ，得到 ，设 ＝t，求出t值即可；
（3）根据题意求出∠MAH＝∠NAH＝ ∠MAN＝18°，再根据sin∠MAH＝ ，将
代入，即可求值．
【解答】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝ ∠AOE＝36°，
同理∠BAC＝ ×72°＝36°，
第24页（共27页）∴AM＝BM，
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，
∴∠BAD＝ ∠BOD＝72°，
∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝ ∠AOB＝36°＝∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴ ，而AB＝BN，
∴ ，
设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，
∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴ ，即 ，则y2＝x2﹣xy，
两边同时除以x2，得： ，设 ＝t，
则t2+t﹣1＝0，解得：t＝ 或 （舍），
∴ ＝ ；
（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝ ∠MAN＝18°，
而AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
＝
＝ ．
第25页（共27页）【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方
程，有一定难度，解题的关键是算出相应角度，找到合适的相似三角形．
24．【分析】（1）将y＝60（﹣3t+ +1）看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分别根
据两函数的增减性说明即可；
（2）根据题意得关于t的一元二次方程，解出t的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（3）根据题意得生产680千克该产品获得的利润为y＝680t×60（﹣3t+ +1），将其整理成
一般式，再按照二次函数的性质即可得出t取何值时y有最大值即可．
【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y＝60（﹣3t+ +1），当t＝1时，y＝180，
∵当0.1＜t≤1时， 随t的增大而减小，﹣3t也随t的增大而减小，
∴﹣3t+ 的值随t的增大而减小，
∴y＝60（﹣3t+ +1）随t的增大而减小，
∴当t＝1时，y取最小，
∴他的结论正确．
（2）由题意得：60（﹣3t+ +1）×2＝1800，
整理得：﹣3t2﹣14t+5＝0，
解得：t ＝ ，t ＝﹣5（舍），
1 2
即以 小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷ ＝24千
第26页（共27页）克．
∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y＝680t×60（﹣3t+ +1），
整理得：y＝40800（﹣3t2+t+5），
∴当t＝ 时，y最大，且最大值为207400元．
∴该厂应该选取 小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的性质及一元二次方程和二次函数
在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．
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