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2018年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项
1．（3分）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
2．（3分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字
表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
4．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
5．（3分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
6．（3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（ ）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，
交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
第1页（共28页）8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝
90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程
的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）已知下列命题：
若a3＞b3，则a2＞b2；
①若点A（x
1
，y
1
）和点B（x
2
，y
2
）在二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x
1
＜x
2
＜1，则
②y ＞y ＞﹣2；
1 2
在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
③周长相等的所有等腰直角三角形全等．
④其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣ x+1与x轴，y轴分别交于点A和点
1
B，直线l ：y＝kx（k≠0）与直线l 在第一象限交于点C．若∠BOC＝∠BCO，则k的值为（
2 1
）
A． B． C． D．2
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，
AE与BD相交于点F．若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为（ ）
第2页（共28页）A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．（3分）若a﹣3b＝2，3a﹣b＝6，则b﹣a的值为 ．
14．（3分）不等式组 的非负整数解有 个．
15．（3分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是
．
16．（3分）化简： ÷（ ﹣1）＝ ．
17．（3分）如图，AB是 O的直径，点C在 O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，
点E在 上（不与点⊙B，C重合），连接⊙BE，CE．若∠D＝40°，则∠BEC＝ 度．
18．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC
相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF ＝1，则S△ADF 的值为 ．
19．（3分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y＝ （x＞0）经过点D，
则OB•BE的值为 ．
第3页（共28页）20．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B
重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，
连接AE．下列结论：
△ACE≌△BCD；
①若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
②DE2＝2CF•CA；
③
若AB＝3 ，AD＝2BD，则AF＝ ．
④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程
21．（8分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满
分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分
甲 90 88
乙 84 92
丙 x 90
丁 88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，连接BD，点E在AB上，
第4页（共28页）且∠BDE＝15°，DE＝4 ，DC＝2 ．
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．（10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400
元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，
销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的
利润是多少元？
24．（10分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点
D，BA的延长线交 A于点E，连接CE，CD，F是 A上一点，点F与点C位于BE两侧，
且∠FAB＝∠ABC，⊙连接BF． ⊙
（1）求证：∠BCD＝∠BEC；
（2）若BC＝2，BD＝1，求CE的长及sin∠ABF的值．
25．（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，E 是 AD 上的一个动点．
第5页（共28页）（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE＝DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当
BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC
上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝1．
求 的值；
①
连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．
②
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．
当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝
∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共28页）2018年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项
1．【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣2﹣3＝﹣5，
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第
2列只有前排2个正方形，据此可得．
【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方
形，第2列只有前排2个正方形，
所以其主视图为：
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0，
解得x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
第7页（共28页）故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．
5．【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后
代入求值．
【解答】解：∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，
∴a+1＝2，b﹣1＝1，
解得a＝1，b＝2．
∴ ＝ ．
故选：A．
【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母
的指数也相同，是解答本题的关键．
6．【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本
题．
【解答】解：数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，
，
则 ＝
2，
故选：B．
【点评】本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差．
7．【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB＝2，∠ABC＝30°，即可得出AE＝ AB＝1，再根据
公式即可得到，阴影部分的面积是 ×4×1﹣ ＝2﹣ ．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴AE＝ AB＝1，
又∵BC＝4，
∴阴影部分的面积是 ×4×1﹣ ＝2﹣ ，
第8页（共28页）故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转
化为规则图形的面积，常用的方法： 直接用公式法； 和差法； 割补法．
8．【分析】由AB＝AC知∠B＝∠C，据此得①2∠C+∠BAC＝1②80°，结合∠C③+∠BAC＝145°可知
∠C＝35°，根据∠DAE＝90°、AD＝AE知∠AED＝45°，利用∠EDC＝∠AED﹣∠C可得答
案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，
又∵∠C+∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠AED＝45°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形
的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
9．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程
的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m＝2或3．
∴2+3＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实
数根”是解题的关键．
第9页（共28页）10．【分析】依据a，b的符号以及绝对值，即可得到a2＞b2不一定成立；依据二次函数y＝x2﹣
2x﹣1图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得y ＞y ＞﹣2；依据a∥b，b⊥c，即可得
1 2
到a∥c；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等．
【解答】解： 若a3＞b3，则a2＞b2不一定成立，故错误；
若点A（x
1
，①y
1
）和点B（x
2
，y
2
）在二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x
1
＜x
2
＜1，则
②y ＞y ＞﹣2，故正确；
1 2
在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；
③周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确．
④故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，
一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．【分析】利用直线l ：y＝﹣ x+1，即可得到A（2 ，0）B（0，1），AB＝ ＝3，
1
过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD＝ AO＝ ，CD＝ BO＝ ，进而得到
C（ ， ），代入直线l ：y＝kx，可得k＝ ．
2
【解答】解：直线l ：y＝﹣ x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2 ，
1
即A（2 ，0）B（0，1），
∴Rt△AOB中，AB＝ ＝3，
如图，过C作CD⊥OA于D，
∵∠BOC＝∠BCO，
∴CB＝BO＝1，AC＝2，
∵CD∥BO，
∴OD＝ AO＝ ，CD＝ BO＝ ，
即C（ ， ），
把C（ ， ）代入直线l ：y＝kx，可得
2
第10页（共28页）＝ k，
即k＝ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直
线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
12．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出
DE＝BE＝2，即：∠BDE＝∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB＝3，即可得出结论．
【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠DBC＝30°，
∴BD＝2 ，
连接DE，
∵∠BDC＝90°，点E是BC中点，
∴DE＝BE＝CE＝ BC＝2，
∵∠DCB＝30°，
∴∠BDE＝∠DBC＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2 ，
∴AB＝3，
第11页（共28页）∴ ，
∴ ，
∴DF＝ BD＝ ×2 ＝ ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平
分线的定义，判断出DE∥AB是解本题的关键．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．【分析】将两方程相加可得4a﹣4b＝8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定
义或等式的性质即可得出答案．
【解答】解：由题意知 ，
+ ，得：4a﹣4b＝8，
①则a﹣②b＝2，
∴b﹣a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用
及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
14．【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．
【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，
解不等式 x﹣ ≤ ，得：x≤8，
则不等式组的解集为x＜4，
所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第12页（共28页）15．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4小于2的结果数，根据概率公式
计算可得．
【解答】解：列表如下：
﹣2 ﹣1 1 2
﹣2 2 ﹣2 ﹣4
﹣1 2 ﹣1 ﹣2
1 ﹣2 ﹣1 2
2 ﹣4 ﹣2 2
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，
∴积为大于﹣4小于2的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
17．【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
【解答】解：
连接OC，
第13页（共28页）∵DC切 O于C，
∴∠DCO⊙＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠COB＝∠D+∠DCO＝130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°﹣130°＝230°，
∴∠BEC＝ ＝115°，
故答案为：115．
【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解
此题的关键．
18．【分析】由3AE＝2EB可设AE＝2a、BE＝3a，根据EF∥BC得 ＝（ ）2＝ ，结
合S△AEF ＝1知S△ADC ＝S△ABC ＝ ，再由 ＝ ＝ 知 ＝ ，继而根据S△ADF ＝
S△ADC 可得答案．
【解答】解：∵3AE＝2EB，
∴可设AE＝2a、BE＝3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S△AEF ＝1，
∴S△ABC ＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC ＝S△ABC ＝ ，
∵EF∥BC，
第14页（共28页）∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴S△ADF ＝ S△ADC ＝ × ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及
性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．
19．【分析】由双曲线y＝ （x＞0）经过点D知S△ODF ＝ k＝ ，由矩形性质知S△AOB ＝
2S△ODF ＝ ，据此可得OA•BE＝3，根据OA＝OB可得答案．
【解答】解：如图，
∵双曲线y＝ （x＞0）经过点D，
∴S△ODF ＝ k＝ ，
则S△AOB ＝2S△ODF ＝ ，即 OA•BE＝ ，
∴OA•BE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴OB•BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数
第15页（共28页）系数k的几何意义及矩形的性质．
20．【分析】先判断出∠BCD＝∠ACE，即可判断出 正确；
先求出∠BDC＝110°，进而得出∠AEC＝110°，即①可判断出 正确；
先判断出∠CAE＝∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得②出CE2＝CF•AC，最后用勾股
定理即可得出 正确；
③
先求出BC＝AC＝3，再求出BD＝ ，进而求出CE＝CD＝ ，求出CF＝ ，即可判断出
错误．
④【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中， ，
∴△BCD≌△ACE，故 正确；
①
∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠B＝45°
∵∠BCD＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BDC＝110°，
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠CED＝45°，
则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故 正确；
②
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴ ，
第16页（共28页）∴CE2＝CF•AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故 正确；
③
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB＝3 ，
∴AC＝BC＝3，
∵AD＝2BD，
∴BD＝ AB＝ ，
∴DG＝BG＝1，
∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD＝ ＝ ，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE＝ ，
∵CE2＝CF•AC，
∴CF＝ ＝ ，
∴AF＝AC﹣CF＝3﹣ ＝ ，故 错误，
④
故答案为： ．
①②③
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角
形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题
的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程
21．【分析】（1）根据中位数的概念计算；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩，比较即可．
第17页（共28页）【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为： ＝89（分）；
（2）由题意得，x×60%+90×40%＝87.6
解得，x＝86，
答：表中x的值为86；
（3）甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%＝89.2（分），
乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%＝87.2（分），
丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%＝87.2（分），
∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．
【点评】本题考查的是中位数、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是
解题的关键．
22．【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；
【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠ADE＝30°，
在Rt△ADE中，AE＝DE×sin30＝2 ，AD＝DE•cos30°＝6，
∴AB＝AD＝6，
∴BE＝6﹣2 ．
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝6，DF＝AB＝6，
在Rt△DFC中，FC＝ ＝4 ，
∴BC＝6+4 ，
第18页（共28页）∴S四边形DEBC ＝S△DEB +S△BCD ＝ ×（6﹣2 ）×6+ （6+4 ）×6＝36+6 ．
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据数量＝总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解
之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一
元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润＝每件的利润×销售数量，
即可求出结论．
【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x
元，
根据题意得： ＝ ﹣30，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得：（40﹣y）× ＝900，
解得：y＝25，
∴（40×0.9﹣25）× ＝990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE＝4，DE＝3，利用勾股定理求出CD，
CE，再判断出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，
再用勾股定理求出BF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
第19页（共28页）∵DE是 A的直径，
∴∠DCE⊙＝90°，
∴∠BEC+∠CDE＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠CDE＝∠ACD，
∴∠BCD＝∠BEC，
（2）∵∠BCD＝∠BEC，∠EBC＝∠EBC，
∴△BDC∽△BCE，
∴ ，
∵BC＝2，BD＝1，
∴BE＝4，EC＝2CD，
∴DE＝BE﹣BD＝3，
在Rt△DCE中，DE2＝CD2+CE2＝9，
∴CD＝ ，CE＝ ，
过点F作FM⊥AB于M，
∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，
∴△AFM∽△BAC，
∴ ，
∵DE＝3，
∴AD＝AF＝AC＝ ，AB＝ ，
∴FM＝ ，
过点F作FN⊥BC于N，
∴∠FNC＝90°，
∵∠FAB＝∠ABC，
∴FA∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB＝90°，
∴四边形FNCA是矩形，
第20页（共28页）∴FN＝AC＝ ，NC＝AF＝ ，
∴BN＝ ，
在Rt△FBN中，BF＝ ，
在Rt△FBM中，sin∠ABF＝ ．
【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股
定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
25．【分析】（1）先求出BD，进而求出OD＝OB＝OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结
论；
（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF＝1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK
＝GK＝ ，最后用勾股定理即可得出结论；
（3） 先求出EC＝5，再求出D'C＝1，根据勾股定理求出DH＝ ，CH＝ ，再判断出
①
△EMN∽△EHD，的粗 ，△ED'M∽△ECH，得出 ，进而得出
，即可得出结论；
先判断出∠MD'H＝∠NED'，进而判断出∠MD'H＝∠ECB，即可得出 ，即
②
可．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD＝90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝ ，
∵O是BD中点，
第21页（共28页）∴OD＝OB＝OA＝ ，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OE＝DE，
∴∠EOD＝∠ODE，
∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴ ，∴DO2＝DE•DA，
∴设AE＝x，
∴DE＝5﹣x，
∴（ ）2＝5（5﹣x），
∴x＝ ，
即：AE＝ ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AE＝CD＝3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠CED＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠CED＝∠AFE，
∵∠D＝∠A＝90°，
第22页（共28页）∴△AEF≌△DCE，
∴AF＝DE＝2，
∴BF＝AB﹣AF＝1，
过点G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC＝∠BGK＝45°，
∴BK＝GK，∠ABC＝∠GKC＝90°，
∵∠KCG＝∠BCF，
∴△CKG∽△CBF，
∴ ，
设BK＝GK＝y，
∴CK＝5﹣y，
∴y＝ ，
∴BK＝GK＝ ，
在Rt△GKB中，BG＝ ；
（3） 在矩形ABCD中，∠D＝90°，
∵AE＝①1，AD＝5，
∴DE＝4，
∵DC＝3，
∴EC＝5，
由折叠知，ED'＝ED＝4，D'H＝DH，∠ED'H＝∠D＝90°，
∴D'C＝1，
设D'H＝DH＝z，
∴HC＝3﹣z，
根据勾股定理得，（3﹣z）2＝1+z2，
∴z＝ ，
∴DH＝ ，CH＝ ，
第23页（共28页）∵D'N⊥AD，
∴∠AND'＝∠D＝90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴ ，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M＝∠ECH，
∵∠MED'＝∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
相似，理由：由折叠知，∠EHD'＝∠EHD，∠ED'H＝∠D＝90°，
②∴∠MD'H+∠ED'N＝90°，
∵∠END'＝90°，
∴∠ED'N+∠NED'＝90°，
∴∠MD'H＝∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD＝∠D'MH，
∴∠EHD'＝∠D'MH，
∴D'M＝D'H，
∵AD∥BC，
∴∠NED'＝∠ECB，
∴∠MD'H＝∠ECB，
∵CE＝CB＝5，
第24页（共28页）∴ ，
∴△D'MH∽△CBE．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定
理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．
26．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l
的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC＝∠OCB，然后根
据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ x2+ x﹣2，
∴当y＝0时，得x ＝1，x ＝﹣4，当x＝0时，y＝﹣2，
1 2
∵抛物线y＝ x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y＝kx+b，
，得 ，
即直线l的函数解析式为y＝ ；
（2）直线ED与x轴交于点F，如右图1所示，
由（1）可得，
AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
第25页（共28页）∴AC＝2 ，
∴OD＝ ，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD＝∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴ ，
即 ，得AD＝ ，
∵EF⊥x轴，∠ADC＝90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴ ，
解得，AF＝ ，DF＝ ，
∴OF＝4﹣ ＝ ，
∴m＝﹣ ，
当m＝﹣ 时，y＝ ×（ ）2+ ×（﹣ ）﹣2＝﹣ ，
∴EF＝ ，
∴DE＝EF﹣FD＝ ；
（3）存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，
理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如右图2所示，
∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，
∴tan∠OAC＝ ，tan∠OCB＝ ，AC＝2 ，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，∠GAM＝∠OAC﹣∠BAG，
∴∠BAP＝∠GAM，
第26页（共28页）∵点G（0，﹣1），AC＝2 ，OA＝4，
∴OG＝1，GC＝1，
∴AG＝ ， ，即 ，
解得，GM＝ ，
∴AM＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠GAM＝ ＝ ，
∴tan∠PAN＝ ，
设点P的坐标为（n， n2+ n﹣2），
∴AN＝4+n，PN＝ n2+ n﹣2，
∴ ，
解得，n ＝ ，n ＝﹣4（舍去），
1 2
当n＝ 时， n2+ n﹣2＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ），
即存在点P（ ， ），使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG．
第27页（共28页）【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找
出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．
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日期：2020/8/18 22:06:18；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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