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2015 年内蒙古包头 乌兰察布市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）（2015•包头）在 ，0，﹣1， 这四个实数中，最大的是（ ）
A． B． 0 C． ﹣1 D．
2．（3分）（2015•包头）2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国
投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（ ）
A． 12.8×1010美元 B． 1.28×1011美元
C． 1.28×1012美元 D． 0.128×1013美元
3．（3分）（2015•包头）下列计算结果正确的是（ ）
A．2a3+a3=3a6 B．（﹣a）2•a3=﹣a6 C．（﹣ ）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣1
4．（3分）（2015•包头）在Rt ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，
△
则tanB的值是（ ）
A． B． 3 C． D． 2
5．（3分）（2015•包头）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（
）
A． 2 B． C． 10 D．
6．（3分）（2015•包头）不等式组 的最小整数解是（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
7．（3分）（2015•包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积
为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
8．（3分）（2015•包头）下列说法中正确的是（ ）
A． 掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概
率为B． “对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C． “同位角相等”这一事件是不可能事件
D． “钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事
件
9．（3分）（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A
逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（
）
A． π B． π C． π D． π
10．（3分）（2015•包头）观察下列各数：1，，， ，…，按你发现的规律计算这列
数的第6个数为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2015•包头）已知下列命题：
①在Rt ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A＞sinB；
△
②四条线段a，b，c，d中，若 = ，则ad=bc；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
12．（3分）（2015•包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于
点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括
这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣ ；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（ ）
A． ①③④ B． ①②③ C． ①②④ D． ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）（2015•包头）计算：（ ﹣ ）× = ．
14．（3分）（2015•包头）化简：（a﹣ ）÷ = ．
15．（3分）（2015•包头）已知关于x的一元二次方程x2+ x﹣1=0有两个不相
等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．（3分）（2015•包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白
球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是
红球的概率为 ，则n= ．
17．（3分）（2015•包头）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）和C（3，y ）都在反比例函
1 2 3
数y= 的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为 ．（用“＜”连接）
1 2 3
18．（3分）（2015•包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O
的半径是4，sinB= ，则线段AC的长为 ．19．（3分）（2015•包头）如图，在边长为 +1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F
分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD
于点M，则EG的长为 ．
20．（3分）（2015•包头）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交
DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若 = ，则3S =13S ．
BDG DGF
△ △
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过
程写出）
21．（8分）（2015•包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名
男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为 人，扇形统计图中“良
好”所对应的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；
（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良
好”的人数．
22．（8分）（2015•包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公
益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌
立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°
和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）23．（10分）（2015•包头）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼
苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为
85%和90%．
（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？
（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？
（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．
24．（10分）（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是 上一点，且
∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O
的半径．25．（12分）（2015•包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，
AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，
动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点
Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．
①t为何值时，l经过点C？
②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．
26．（12分）（2015•包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与
y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S ，S 和S ，
1 2 3
用等式表示S ，S ，S 之间的数量关系，并说明理由；
1 2 3
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC
于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和
此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
2015 年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）（2015•包头）在 ，0，﹣1， 这四个实数中，最大的是（ ）
A． B． 0 C． ﹣1 D．
考点： 实数大小比较．版权所有
分析： 利用任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正
实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
解答： 解：∵正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
0＜ ＜1，1＜ ＜2，
∴﹣1＜0＜ ＜ ，
故选D．点评： 本题主要考查了比较实数的大小，掌握任意两个实数都可以比较大小，正
实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，是解答此题的关键．
2．（3分）（2015•包头）2014年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国
投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（ ）
A． 12.8×1010美元 B． 1.28×1011美元
C． 1.28×1012美元 D． 0.128×1013美元
考点： 科学记数法—表示较大的数．版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：1280亿=128000000000=1.28×1011，
故选：B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2015•包头）下列计算结果正确的是（ ）
A． 2a3+a3=3a6 B． （﹣a）2•a3=﹣a6 C． （﹣ ）﹣2=4 D． （﹣2）0=﹣1
考点： 同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指
数幂．版权所有
分析： 根据同底数幂的乘法的性质，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项的法
则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、2a3+a3=3a3，故错误；
B、（﹣a）2•a3=a5，故错误；
C、正确；
D、（﹣2）0=1，故错误；
故选：C．点评： 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，理清
指数的变化是解题的关键．
4．（3分）（2015•包头）在Rt ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，
△
则tanB的值是（ ）
A． B． 3 C． D． 2
考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．版权所有
分析： 设BC=x，则AB=3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出
tanB．
解答： 解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=2 x，
tanB= = =2 ，
故选：D．
点评： 本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求
出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．
5．（3分）（2015•包头）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（
）
A． 2 B． C． 10 D．
考点： 方差；算术平均数．版权所有
分析： 根据平均数的公式求出x的值，根据方差公式求出方差．
解答： 解：由题意得， （5+2+x+6+4）=4，
解得，x=3，
s2= [（5﹣4）2+（2﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2
]
=2，故选：A．
点评： 本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解
题的关键．方差S2= [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ．
1 2 n
]
6．（3分）（2015•包头）不等式组 的最小整数解是（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
考点： 一元一次不等式组的整数解．版权所有
分析： 先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．
解答： 解： ，
解①得x＞﹣1，
解②得x≤3，
不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
不等式组的最小整数解为0，
故选B．
点评： 本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循
以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．（3分）（2015•包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积
为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
考点： 正多边形和圆．版权所有分析： 作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等
边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD= ∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出
AD、BC，△ABC的面积= BC•AD，即可得出结果．
解答： 解：如图所示：[来源:学#科#网Z#X#X#K]
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD= ∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD= ，
∴BC=2 ，
∴△ABC的面积= BC•AD= ×2 ×3=3 ；
故选：B．
点评： 本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；
熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8．（3分）（2015•包头）下列说法中正确的是（ ）A． 掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概
率为
B． “对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C． “同位角相等”这一事件是不可能事件
D． “钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事
件
考点： 随机事件；列表法与树状图法．版权所有
分析： 根据概率的意义，可判断A；根据必然事件，可判断B、D；根据随机事件，
可判断C．
解答： 解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生
的概率为 ，故A错误；
B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故
B正确；
C、同位角相等是随机事件，故C错误；
D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，
故D错误；
故选：B．
点评： 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随
机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一
定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
9．（3分）（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A
逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（
）A． π B． π C． π D． π
考点： 扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．版权所有
分析： 根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋
转的性质得到△AED的面积= ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的
面积，根据扇形面积公式计算即可．
△
解答： 解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积= ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积= AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积
△
∴阴影部分的面积=扇形ADB的△面积= = ，
故选：A．
点评： 本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图
形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．
10．（3分）（2015•包头）观察下列各数：1，，， ，…，按你发现的规律计算这列
数的第6个数为（ ）
A． B． C． D．
考点： 规律型：数字的变化类．版权所有分析： 观察数据，发现第n个数为 ，再将n=6代入计算即可求解．
解答： 解：观察该组数发现：1， ， ， ，…，
第n个数为 ，
当n=6时， = = ．
故选C．
点评： 本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数
为 ．
11．（3分）（2015•包头）已知下列命题：
①在Rt ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A＞sinB；
△
②四条线段a，b，c，d中，若 = ，则ad=bc；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
考点： 命题与定理．版权所有
分析： 先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命
题的真假即可．解答： 解：①在Rt ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sin∠A＞sinB，原命题为真
△
命题，
逆命题是：在Rt ABC中，∠C=90°，若sin∠A＞sinB，则∠A＞∠B，逆命题为真命
△
题；
②四条线段a，b，c，d中，若 = ，则ad=bc，原命题为真命题，
逆命题是：四条线段a，b，c，d中，若ad=bc，则 = ，逆命题为真命题；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1），原命题为真命题，
逆命题是：若a（m2+1）＞b（m2+1），则a＞b，逆命题为真命题；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0，原命题为假命题，
逆命题是：若x≥0，则|﹣x|=﹣x，逆命题为假命题．
故选A．
点评： 主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如
果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题
的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（3分）（2015•包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于
点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括
这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣ ；④4ac﹣b2＞8a；
其中正确的结论是（ ）[来源:学科网]
A． ①③④ B． ①②③ C． ①②④ D． ①②③④考点： 二次函数图象与系数的关系．版权所有
分析： ①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从
而可知当x＞3时，y＜0；
②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x=﹣ =1，可知：2a+b=0，从而可知
3a+b=0+a=a＜0；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣
3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣
b2＞8a得c﹣2＜0与题意不符．
解答： 解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，
0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x=﹣ =1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，
令x=0得：y=﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣ ，故③正确；
④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方
向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）（2015•包头）计算：（ ﹣ ）× = 8 ．
考点： 二次根式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式= ﹣ =9﹣1=8，
故答案为：8
点评： 此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）（2015•包头）化简：（a﹣ ）÷ = ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分即可得到结果．解答： 解：原式= • = • = ，
故答案为：
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）（2015•包头）已知关于x的一元二次方程x2+ x﹣1=0有两个不相
等的实数根，则k的取值范围是 k≥ 1 ．
考点： 根的判别式．版权所有
分析： 根据二次根式有意义的条件和△的意义得到 ，然后解不等式
组即可得到k的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+ x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．
点评： 此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式
△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相
等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．
16．（3分）（2015•包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白
球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是
红球的概率为 ，则n= 1 ．考点： 概率公式．版权所有
分析： 由一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜
色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率
为 ，即可得方程： = ，解此分式方程即可求得答案．
解答： 解：根据题意得： = ，
解得：n=1，
经检验：n=1是原分式方程的解．
故答案为：1．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
17．（3分）（2015•包头）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）和C（3，y ）都在反比例函
1 2 3
数y= 的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为 y ＜ y ＜ y ．（用“＜”连接）
1 2 3 2 1 3
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有
分析： 先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据
各点横坐标的特点即可得出结论．
解答： 解：∵反比例函数y= 中k=3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减
小．
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）位于第三象限，且0＞y ＞y ．
1 2 1 2
∵3＞0，∴点C（3，y ）位于第一象限，
3
∴y ＞0，
3
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．（3分）（2015•包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O
的半径是4，sinB= ，则线段AC的长为 2 ．
考点： 圆周角定理；解直角三角形．版权所有
专题： 计算题．
分析： 连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=
，然后在Rt ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
△
解答： 解：连结CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B，∴sinD=sinB= ，
在Rt ACD中，∵sinD= = ，
△
∴AC= AD= ×8=2．
故答案为2．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
[来源:学科网ZXXK]
19．（3分）（2015•包头）如图，在边长为 +1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F
分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD
于点M，则EG的长为 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．版权所有
分析： 首先连接AC，再根据余弦定理，求出AC的长度是多少；然后根据菱形的
性质，判断出AC⊥BD，再根据EG⊥BD，可得EG∥AC，所以 ，据此求出
EG的长为多少即可．解答： 解：如图1，连接AC， ，
∵菱形ABCD的边长是 ，∠A=60°，
∴AC= =3 ，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG=AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵EG⊥BD，
∴EG∥AC，
∴ ，
又∵EG=AE，
∴ ，
解得EG= ，
∴EG的长为 ．
故答案为： ．
点评： （1）此题主要考查了翻折变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线
互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对
称轴，分别是两条对角线所在直线．
20．（3分）（2015•包头）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交
DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若 = ，则3S =13S ．
BDG DGF
△ △
其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
考点： 四边形综合题．版权所有
分析： 先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角
形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再
求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②
错误；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣
∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD= = ，求得S = ×
BDG
△
= ，过G作GM⊥CF于M，求得S = •DF•GM= = ，故④
DGF
△
正确．
解答： 解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠AEB=45°，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
故①正确；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，
故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，
故③正确；
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠EGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∵BD= = ，∴BG=DG= ，
∴S = × =
BDG
△
∴3S = ，
BDG
△
过G作GM⊥CF于M，
∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=1，
∴GM= CF= ，
∴S = •DF•GM= = ，
DGF
△
∴13S = ，
DGF
△
∴3S =13S ，
BDG DGF
△ △
故④正确．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题
的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过
程写出）
21．（8分）（2015•包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名
男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为 4 0 人，扇形统计图中“良好”所对
应的圆心角的度数为 162 ° ；
（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；
（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良
好”的人数．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有
分析： （1）合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的
人数除以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数；
（2）用40﹣2﹣8﹣18即可；
（3）用480乘以良好所占的百分比即可．
解答： 解：（1）8÷20%=40（人），
18÷40×360°=162°；
（2）“优秀”的人数=40﹣2﹣8﹣18=12，
如图，
（3）“良好”的男生人数： ×480=216（人），
答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人．点评： 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（8分）（2015•包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公
益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌
立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°
和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．版权所有
分析： （1）根据已知和tan∠ADC= ，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据
AB=AC﹣BC求出AB；
（2）根据cos∠ADC= ，求出AD，根据cos∠BDC= ，求出BD．
解答： 解：（1）在Rt ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
△
∵tan∠ADC= ，∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt BDC中，∵∠BDC=45°，[来源:学科网]
△
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=（3 ﹣3）米．
（2）在Rt ADC中，∵cos∠ADC= ，
△
∴AD= = =6米，
在Rt BDC中，∵cos∠BDC= ，
△
∴BD= = =3 米．
点评： 本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的
概念是解题的关键．
23．（10分）（2015•包头）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼
苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为
85%和90%．
（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？
（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？
（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．版权
所有
分析： （1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意列一元一次方程组求
解即可；[来源:学,科,网]（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，根据题意列不等式求出解集即
可；
（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，列出w与x之间的函数关系
式，运用一次函数的性质解决问题．
解答： 解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意可得：
，
解得： ．
答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾．
（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，列不等式得：
85%z+90%（700﹣z）≥700×88%，
解得：z≤280．
答：甲种鱼苗至多购买280尾．
（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，则
w=3m+5（700﹣m）=﹣2m+3500，
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵0＜m≤280，
∴当m=280时，w有最小值，w的最小值=3500﹣2×280=2940（元），
∴700﹣m=420．
答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2940元．
点评： 本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数应用问
题，审清题意，找到等量或不等关系是解决问题的关键．24．（10分）（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是 上一点，且
∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O
的半径．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．版权所有
分析： （1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出
∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出 = ，然后根据已知条件得出 = =
= ，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出 = ，设OA=x，则PA=x，
PO=2x，得出 = ，解得OA=2 ．解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE， = ，
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴ = ，
∴DE2=DF•DB；
（3）解：连接DA、DO，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∵∠EBD=∠OBD，
∴∠EBD=∠ODB，
∴OD∥BE，
∴ = ，
∵PA=AO，
∴PA=AO=OB，
∴ =
∴ = ，
∴ = ，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，
∴ = ，
设OA=x，
∴PA=x，PO=2x，
∴ = ，
∴2x2=16，x=2 ，
∴OA=2 ．
点评： 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线
已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（12分）（2015•包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，
AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，
动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点
Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．
①t为何值时，l经过点C？
②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．考点： 四边形综合题．版权所有
分析： （1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；
（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解；
（3）①当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答；
②当PQ的垂直平分线l经过点D时进行分析解答．
解答： 解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=1，DE=AB=3，
∴EC=BC﹣BE=4，
在Rt DEC中，DE2+EC2=DC2，
∴ △ 厘米；
（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，
且0＜t≤2.5，
作QH⊥BC于点H，
∴DE∥QH，
∴∠DEC=∠QHC，
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△QHC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
分两种情况讨论：
①当S ：S =1：3时， ，
PQC 四边形ABCD
△
即t2﹣5t+5=0，
解得： （舍去）；
②S
PQC
：S
四边形ABCD
=2：3时， ，
△
即t2﹣5t+10=0，
∵△＜0，∴方程无解，
∴当t为 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分；
（3）如图2，
①当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC=QC，
∴5﹣t=2t，
∴3t=5，
∴t= ，
∴当t= 秒时，直线l经过点C；
②如图3，
当PQ的垂直平分线l经过点D时，
可知DQ=DP，
连接DP，则在Rt DEP中，DP2=DE2+EP2，
∴DQ2=DE2+EP2，△
∴（5﹣2t）2=32+（t﹣1）2，∴t =1，t =5（舍去），
1 2
∴BP=1厘米，
∴当t=1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合；
如图4，连接FQ，
∵直线l是△DPQ的对称轴，
∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，
设EF=x厘米，则QF=x厘米，FC=（4﹣x）厘米，
在Rt FQC中，FQ2+QC2=FC2，
x2+22=（4﹣x）2，
△
∴x= ，
∴EF= 厘米，
在Rt DEF中，DE2+EF2=DF2，
∴ △ ，
∴DF= 厘米，
在Rt DEF中，EG⊥DF，
△
∴ ，∴EG= ，
∴EG= 厘米，
∴PQ=2EG= 厘米．
点评： 此题考查了四边形的综合题，能够根据勾股定理、解直角三角形的知识、
三角形的面积公式进行分析讨论．
26．（12分）（2015•包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与
y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S ，S 和S ，
1 2 3
用等式表示S ，S ，S 之间的数量关系，并说明理由；
1 2 3
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC
于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和
此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．版权所有
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式
求出点D的坐标；
（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断
△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比
例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出
BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为：（1，﹣4）；
（2）S +S =S ，
1 3 2
过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，
由题意得，CD= ，BD=2 ，BC=3 ，
CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
S = ×OA×OC= ，
1
S = ×OB×OC=
2
S ，= ×CD×BC=3，
3
∴S +S =S ；
1 3 2（3）存在点M使∠AMN=∠ACM，
设点M的坐标为（m，0），
∵﹣1＜m＜3，
∴MA=m+1，AC= ，
∵MN∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得，AN= （m+1），
∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，
∴△AMN∽△ACM，
∴ = ，即（m+1）2= • （m+1），
解得，m = ，m =﹣1（舍去），
1 2
∴点M的坐标为（ ，0），
设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，
，解得 ，
则BC的解析式为y=x﹣3，又MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（ ，0）代入得，
b=﹣ ，
∴直线MN的解析式为y=x﹣ ．点评： 本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵
活运用待定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方
程的解法和勾股定理逆定理的运用．
