文档内容
2020年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题
卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（3分） + 的计算结果是（ ）
A．5 B． C．3 D．4+
2．（3分）2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，
全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为
（ ）
A．0.9348×108 B．9.348×107 C．9.348×108 D．93.48×106
3．（3分）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的
值为（ ）
A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1
4．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+ ＝ D．a÷b• ＝
5．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度
数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．75°
6．（3分）如图，将小立方块 从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何
体（ ） ①
A．主视图改变，左视图改变
第1页（共26页）B．俯视图不变，左视图改变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图不变，左视图不变
7．（3分）两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，
则这组新数据的众数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点
E．若AC＝2，BC＝2 ，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，AB是 O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：
∠DOB＝2：7：11，⊙CD＝4，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
π π π
10．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．若分式 的值为0，则x的值为±2
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C．若b＞a＞0，则 ＞
D．若c≥2，则一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C
第2页（共26页）是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC ：S△CDA ＝4：
1，若双曲线y＝ （x＞0）经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在
AB的上方）；
（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；
（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．重足为F，
交AD于点G．
下列结论：
CD＝2GF；
①BD2﹣CD2＝AC2；
②S△BOE ＝2S△AOG ；
③若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．
④其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第3页（共26页）二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）分式方程 + ＝1的解是 ．
15．（3分）计算：（ + ）（ ﹣ ）2＝ ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接
CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
17．（3分）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1
张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概
率为 ．
18．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E
恰好在边AD上，▱则BE2+CE2的值为 ．
19．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有
交点，则n的最小值为 ．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝
30°，则tan∠DEC的值为 ．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答
第4页（共26页）题卡的对应位置．
21．（8分）我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该
产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：
83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59
66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88
整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满
意度评分是 分；
（3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度平分 低于60分 60分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．
22．（8分）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏
东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地，发现电视塔P在
他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
第5页（共26页）23．（10分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，
2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超过7800元．
已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种
商品全部售出后总获利最多？
24．（10分）如图，AB是 O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为 O的切线，A是切点，
D是OA上一点，CD⊙的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF⊙的延长线交 O于点
G，连接AC，AG，已知 O的半径为3，CE＝ ，5BF﹣5AD＝4． ⊙
（I）求AE的长； ⊙
（2）求cos∠CAG的值及CG的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方
向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
求证：AD＝BD；
①
求 的值；
②
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于
点M，求 的值．
第6页（共26页）26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交
于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣ x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D
（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线
段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点
E的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共26页）2020年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题
卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．【分析】先化简 ，再加减．
【解答】解：原式＝2 +
＝3 ．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减．化简 是解决本题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9348万＝93480000＝9.348×107，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据绝对值的意义，列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，
|2a+1|＝3，
解得，a＝1或a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查绝对值的意义，利用方程求解是常用的方法．
4．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式＝（﹣bc）2＝b2c2，不符合题意；
C、原式＝ ，不符合题意；
D、原式＝ ，符合题意．
故选：D．
第8页（共26页）【点评】此题考查了分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
5．【分析】先根据平角求出∠ACE，再根据平行线的性质得出∠A＝∠ACE，代入求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，能求出∠A＝∠ACE是解此题的
关键．
6．【分析】根据三视图观察的角度得出新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图
没有发生改变，左视图和俯视图都发生了变化．
【解答】解：观察图形可知，将小立方块 从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移
走后，所得几何体主视图不变，左视图和①俯视图都改变．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据立体图形得出其三视图是解题关键，
注意三种视图的观察角度．
7．【分析】根据平均数的意义，求出a、b的值，进而确定两组数据，再合并成一组，找出出现
次数最多的数据即可．
【解答】解：由题意得，
，
解得 ，
这两组数据为：3、3、1、5和3、4、2，这两组数合并成一组新数据，
在这组新数据中，出现次数最多的是3，因此众数是3，
故选：B．
【点评】本题考查平均数、众数的意义和计算方法，二元一次方程组的应用，理解平均数、
众数的意义和计算方法是得出正确答案的前提．
8．【分析】方法1：根据勾股定理可求AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求
出BD，CD的长，设DE＝x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程可求x，进一步求出
BE的长．
第9页（共26页）方法2：由AC，BC易求三角形ABC的面积，由D是AB中点，从而得到△BCD的面积是
△ABC面积的一半，从而得到BE．
【解答】解：方法1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2 ，
由勾股定理得AB＝ ＝ ＝2 ，
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD＝ ，
设DE＝x，
由勾股定理得（ ）2﹣x2＝（2 ）2﹣（ +x）2，
解得x＝ ，
∴在Rt△BED中，BE＝ ＝ ＝ ．
方法2：三角形ABC的面积＝ ×AC×BC＝ ×2×2 ＝2 ，
∵D是AB中点，
∴△BCD的面积＝△ABC面积× ＝ ，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2 ，
由勾股定理得AB＝ ＝ ＝2 ，
∵D是AB的中点，
∴CD＝ ，
∴BE＝ ×2÷ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确的理解题意是解题的关键．
9．【分析】根据平角定义和已知求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，求出∠COD
＝90°，解直角三角形求出半径OD，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，
∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝ ×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
第10页（共26页）∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2 ，
∴ 的长是 ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形和弧长公式，能求出半径OD的长是解此题的关键．
10．【分析】利用分式有意义的条件、算术平方根的意义、分式的性质，根的判别式分别判断后
即可确定正确的选项．
【解答】解：A、若分式 的值为0，则x值为﹣2，故错误；
B、一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故错误；
C、若b＞a＞0，则 ＜ ，故错误；
D、若c≥2，则一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根，正确，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解分式有意义的条件、算术平方
根、一元二次方程等知识，属于基础题，难度不大．
11．【分析】根据直线y＝﹣ x+3可求出与x轴、y轴交点A和点B的坐标，即求出OA、OB的
长，再根据相似三角形可得对应边的比为1：2，设未知数，表示出长方形ODCE的面积，即
求出k的值．
【解答】解：∵直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），即：OA＝2，OB＝3；
∵S△BEC ：S△CDA ＝4：1，又△BEC∽△CDA，
∴ ＝ ＝ ，
设EC＝a＝OD，CD＝b＝OE，则AD＝ a，BE＝2b，
有，OA＝2＝a+ a，解得，a＝ ，
OB＝3＝3b，解得，b＝1，
第11页（共26页）∴k＝ab＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的图象上点的坐标特征，求出点的坐标和线段的
长是正确求解的关键．
12．【分析】 根据作图过程可得，四边形ADBE是菱形，再根据三角形中位线定理即可判断；
根据菱①形的四个边都相等，再根据勾股定理即可判断；
②根据三角形一边的中线分两个三角形面积相等即可判断；
③根据勾股定理先求出OF的长，再求出AD的长，进而可以得四边形ADBE的周长为
④25，进而即可判断．
【解答】解：根据作图过程可知：
DE⊥AB，AO＝BO，OE＝OD，
∴四边形ADBE是菱形，
∵OF⊥AC，BC⊥AC，
∴OF⊥BC，
又AO＝BO，
∴AF＝CF，AG＝GD，
∴CD＝2FG．
∴ 正确；
∵①四边形ADBE是菱形，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2﹣CD2＝AC2，
∴BD2﹣CD2＝AC2．
第12页（共26页）∴ 正确；
∵②点G是AD的中点，
∴S△AOD ＝2S△AOG ，
∵S△AOD ＝S△BOE ，
S△BOE ＝2S△AOG ；
∴ 正确；
③
∵AF＝ AC＝ 6＝3，
又OF+OA＝9，
∴OA＝9﹣OF，
在Rt△AFO中，根据勾股定理，得
（9﹣OF）2＝OF2+32，
解得OF＝4，
∴OA＝5，
∴AB＝10，
∴BC＝8，
∴BD+DC＝AD+DC＝8，
∴CD＝8﹣AD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2＝62+（8﹣AD）2，
解得AD＝ ，
∴菱形ADBE的周长为4AD＝25．
∴ 正确．
综④上所述： ．
故选：D．①②③④
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键
是综合运用以上知识．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
第13页（共26页）故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：分式方程 + ＝1，
去分母得：3﹣x﹣x＝x﹣2，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解．
故答案为：x＝ ．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[（ + ）（ ﹣ ）]（ ﹣ ）
＝（3﹣2）（ ﹣ ）
＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是
解本题的关键．
16．【分析】根据正方形的性质，即可得到∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，依据全等三角形的对应
角相等，即可得到∠DCE＝∠DAF＝34°，再根据三角形外角性质，即可得到∠CEF的度数．
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
第14页（共26页）∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形
的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“第2张数字大于第1张数字”
的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中“第2张数字大于第1张数字”的有3种，
∴P（出现）＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一
种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
18．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝DE＝CD＝2，∠BEC＝
90°，可得BC＝AD＝2+2＝4，再根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2 ，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
第15页（共26页）∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝2，
同理可证 DE＝DC＝2，
∴DE+AE＝AD＝4，
∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝16．
故答案为：16．
【点评】此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和
勾股定理解答．
19．【分析】根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然
后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得
以解决．
【解答】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴ ，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没
有交点，
∴n的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几
何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．【分析】过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，易证△ABE≌△CDF（AAS），从而可求出
AE＝CF＝ ，BE＝FD＝1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
第16页（共26页）∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠BAE＝30°，
∴AE＝CF＝ ，BE＝FD＝1，
∵∠BAE＝∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴EF＝4﹣2×1＝2，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30°角直角三
角形的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答
题卡的对应位置．
21．【分析】（1）分别统计各组的频数，即可补全频数分布直方图；
（2）利用中位数的意义，找出中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
（3）样本估计总体，样本中“非常满意”的占调查人数的 ，因此估计1500户的 是
“非常满意”的．
【解答】解：（1）将样本数据分别统计各组的频数如下表：
频数分布直方图如图所示：
第17页（共26页）（2）将调查数据从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 ＝74，因此中位
数是74，
故答案为：74；
（3）1500× ＝200（户），
答：使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的有200户．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解各个数据之间的
关系是正确解答的关键．
22．【分析】（1）过B作BD⊥AP于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得AD、BD的长，
然后在直角△PCD中利用三角函数求得BP、PD的长；
（2）过C作CE⊥BP于点E，利用三角函数求得BE的长，即可得到PE＝BE，然后根据线
段垂直平分线的性质定理求得PC＝BC＝6．
【解答】解：（1）过B作BD⊥AP于D．
依题意∠BAD＝45°，则∠ABD＝45°，
在Rt△ABD中，AD＝BD＝ AB＝ ×3 ＝3，
∵∠PBN＝75°，
∴∠APB＝∠PBN﹣∠PAB＝30°，
∴PD＝cot30°•BD＝ •BD＝3 ，PB＝2BD＝6，
∴AP＝AD+PD＝3+3 ；
∴A地与电视塔P的距离为（3+3 ）km；
（2）过C作CE⊥BP于点E，
∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，
∴∠CBE＝60°，
∴BE＝cos60°•BC＝ ＝3，
第18页（共26页）∵PB＝6，
∴PE＝PB﹣BE＝3，
∴PE＝BE，
∵CE⊥PB，
∴PC＝BC＝6．
∴C地与电视塔P的距离6km．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解
直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
23．【分析】（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元，根据A种商品的
销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为
820元列方程组，解出即可解答；
（2）根据不等量关系：A种商品总进价+B种商品总进价≤7800，列不等式，解出即可解答．
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种商品的销售单价是140元，B种商品的销售单价是180元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（60﹣a）件，设总获利为w元，
根据题意得：110a+140（60﹣a）≤7800，
解得：a≥20，
w＝（140﹣110）a+（180﹣140）（60﹣a）＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝20时，w有最大值；
第19页（共26页）答：商店购进A种商品20件，购进B种商品40件时，总获利最多．
【点评】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式的综合运用，重点掌
握解应用题的步骤．难点是正确列出相等关系和不等量关系．
24．【分析】（1）延长CO交 O于T，过点E作EH⊥CT于H．首先证明四边形AEHO是矩形，
利用勾股定理求出CH，⊙OH即可．
（2）利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG＝∠CTG，求出
cos∠CTG即可解决问题．
【解答】解：（1）延长CO交 O于T，过点E作EH⊥CT于H．
∵直线l是 O的切线， ⊙
∴AE⊥OD，⊙
∵OC⊥AB，
∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，
∴四边形AEHO是矩形，
∴EH＝OA＝3，AE＝OH，
∵CH＝ ＝ ＝5，
∴AE＝OH＝CH﹣CO＝5﹣3＝2．
（2）∵AE∥OC，
∴ ＝ ＝ ，
∴AD＝ OA＝ ，
∵5BF﹣5AD＝4，
∴BF＝2，
∴OF＝OB﹣BF＝1，AF＝AO+OF＝4，CF＝ ＝ ＝ ，
∵∠FAC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
第20页（共26页）∴FG＝ ，
∴CG＝FG+CF＝ ，
∵CT是直径，
∴∠CGT＝90°，
∴GT＝ ＝ ＝ ，
∴cos∠CTG＝ ＝ ＝ ，
∵∠CAG＝∠CTG，
∴cos∠CAG＝ ．
【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
25．【分析】（1） 由平行线的性质和旋转性质得∴∠B′A′C＝∠A′CA＝∠BAC，得CD
＝AD，再证明①CD＝BD便可得结论；
证明△BEC∽△ACB得CE与CD的关系，进而得S△ACE 与S△ADE 的关系，由D是AB的
②中点得S△ABE ＝2S△ADE ，进而结果；
（2）证明CN∥AB得△MCN∽△MAD，得 ，应用面积法求得CD，进而求得AD，再
解直角三角形求得CN，便可求得结果．
【解答】解：（1） ∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A①′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
第21页（共26页）∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
②
∴AB＝ ，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴CE＝ ，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝ AB＝ ，
∴CE＝ CD，
∴S△ACE ＝ S△ADE ，
∵AD＝BD，
∴S△ABE ＝2S△ADE ，
∴ ＝ ；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
第22页（共26页）∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AD＝ ，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD•tan∠CDN＝CD•tanA＝CD• ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题主要考查了三角形图形的旋转性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形
的性质，平行线分线段成比例性质，第（2）题关键是利用面积法求得CD．
26．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式为y＝﹣ x+n．把点M的坐标代入求出n，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，构建方程组求出点H的
坐标，证明DH＝HM，推出∠DMC＝45°可得结论．
（3）如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．证明∠EFA＝∠BAO，由
题意∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝ ＝ ＝ ，推出tan∠GFH＝tan∠EFK＝ ，由
GH∥EK，推出 ＝ ＝ ，设GH＝4k，EK＝3k，构建方程求出k即可解决问题．
【解答】（1）解：对于抛物线y＝ x2﹣2x，令y＝0，得到 x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，
∴A（6，0），
第23页（共26页）∵直线y＝﹣ x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3，
∵y＝ x2﹣2x＝ （x﹣3）2﹣3，
∴M（3，﹣3）．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣ x+n．
∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3＝﹣ +n，
∴n＝﹣ ，
∴平移后的直线的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，
由 ，解得 ，
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH＝ ＝ ，HM＝ ＝ ，
∴DH＝HM．
第24页（共26页）∴∠DMC＝45°，
∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
（3）解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．
∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，
∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝ ，
∵GH∥EK，
∴ ＝ ＝ ，设GH＝4k，EK＝3k，
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，
∴OF＝AF＝12k＝3，
∴k＝ ，
∴OF＝3，FK＝AK＝ ，EK＝ ，
∴OK＝ ，
∴E（ ， ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线
段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角
形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2020/8/18 22:05:46；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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