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2025-2026学年福建省福州市马尾区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求）
1．（4分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中
存在许多斐波那奖螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）已知三角形的两边长分别为6，11，那么第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（4分）如图，在△ABC中，AC边上的高线是（ ）
A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD
4．（4分）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图
中点A的坐标为（﹣3，2），则其关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
5．（4分）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（ ）
.A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
6．（4分）如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．20°
7．（4分）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．50°或65° C．80°或50° D．65°
8．（4分）如图，某景区有A，B，C三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与
休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则
游客休息厅应建设在（ ）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边垂直平分线的交点
C．△ABC三条高的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
9．（4 分）如图，在各图形中，根据尺规作图痕迹能判断射线 AD 平分∠BAC 的是（ ）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】A．图①和图② B．图①和图③
C．图②和图③ D．图①、图②和图③
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在第一象限内，CO＝CB，且
△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝49°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD的大小
为 °．
12．（4分）空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的 性．
13．（4分）请写出命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ．
14．（4分）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“如图，AC＝AD，BC＝BD，∠C＝
∠D，求证：△ABD≌△ABC”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】15．（4分）如图，三角形纸片ABC，AB＝12，AC＝7，BC＝8，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得
点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，如果点D，E分别为BC，
AB上的动点，那么AD+DE的最小值是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝42°，∠C＝70°，求∠BAC
和∠DAE的度数．
18．（8分）如图，AB∥CD，AB＝DC，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
求证：AE＝DF．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】19．（8分）在平面直角坐标系中，A，B，C的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）写出△A B C 的各顶点坐标A ，B ，C ；
1 1 1 1 1 1
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从
A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°，求从海岛B到灯塔C的距离．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：在AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB，交BC于E，连接CD，AE．（保留作图
痕迹，不写作法）
（2）求证：AE垂直平分CD．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，
BE＝AC，连接AE．
（1）求证：AD是∠EAC的角平分线；
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
23．（10分）综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究．
【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板
ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态．
AO
【提出问题】探究 的值是多少？
DO
老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提
出的问题．
【解决问题】
任务1：若△AOC的面积为6，求△BOC的面积．
AO
任务2：求 的值．
DO
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，射线AP交BC于点E，BD⊥AP，垂足为
D．
（1）求证：∠CAE＝∠DBE；
（2）过点B作AB的垂线与射线AP交于点F，且AE＝2BD，求证：D是EF的中点．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】25．（14分）已知，D，E分别是等边三角形ABC的边BC和边AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交
于点F．
（1）如图1，求证∠AFE＝60°；
（2）过点C作CG∥AD，交BE的延长线于点G，连接AG，CF．
（i）如图2，判断△AFG的形状，并说明理由；
（ii）若△CFG是直角三角形，试探究线段AF和BF的数量关系，并证明你的结论．
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选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A D B B C A D
11.76 12.稳定 13.锐角三角形是等边三角形 14.∠C＝∠D 15.11 16.4.8
选择题、填空题解法提示
10．解：如图，满足条件的点C有四个．
故选：D．
16．解：如图所示，延长AC到点M，使CM＝AC，连接BM，过点M作ME′⊥AB交D′，连接
AD′，点 D′即为使得AD+DE取最小值的点，
由条件可知BC是AM的垂直平分线，AM＝2AC＝6，
∴AD′＝D′M，
∴AD′+D′E′＝MD′+D′E′，
1 1
∴S△ABM = AM•BC= AB•BE′，
2 2
1 1
×6×4= ×5ME′，
2 2
解得ME′＝4.8．
故答案为：4.8．
解答题参考答案
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】17．解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠CAE= ∠BAC＝34°，
2
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣20°＝14°．
18．证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
{∠A=∠D
)
AB=CD ，
∠B=∠C
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴AE＝DF．
19．解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】（2）由图可得，A （2，﹣4），B （1，﹣1），C （3，﹣2）．
1 1 1
故答案为：（2，﹣4）；（1，﹣1）；（3，﹣2）．
1 1 1 9 5
（3）△ABC的面积为 ×(1+2)×3− ×2×1− ×1×2= −1−1= ．
2 2 2 2 2
20．解：由题意得AB＝15×（10﹣8）＝30（海里），
∵∠NBC＝∠C+∠NAC，且∠NAC＝30°，∠NBC＝60°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，
∴∠NAC＝∠C，
∴BC＝AB＝30海里，
答：从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
21．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∵AC＝AD，AE＝AE，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴EC＝DE，
∵AC＝AD，
∴AE垂直平线段CD．
22．（1）证明：∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵BE＝AC，
∴AE＝AC，
∵D是EC的中点，
∴AD是∠EAC的角平分线；
（2）设∠B＝x，
∵AE＝BE，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠BAE＝∠B＝x，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝2x，
∵AE＝AC，
∴∠C＝∠AEC＝2x，
∴x+2x+75°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠B＝35°．
23．解：任务1：∵点O为△ABC的重心，
∴AD，CE，BF是△ABC的中点，
∴AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF，
∵△ACE的边AE上的高与△BCE的边BE上的高相同，
∴S△ACE ＝S△BCE ，
同理得：S△OAE ＝S△OBE ，
∴S△ACE ﹣S△OAE ＝S△BCE ﹣S△OBE ，
∴S△BOC ＝S△AOC ＝6；
任务2：∵△OCD的边CD上的高与△OBD的边BD上的高相同，且BD＝CD，
∴S△OCD ＝S△OBD ，
∴S△BOC ＝2S△OCD ，
由任务1可知：S△AOC ＝S△BOC ，
∴S△AOC ＝2S△OCD ，
∴△AOC的边AO上的高与△OCD的边DO上的高相同，
∴S AO，
△AOC =
S DO
△OCD
∴AO 2S ．
= △OCD=2
DO S
△OCD
24．证明：（1）∵BD⊥AP，
∴∠BDE＝90°，
∵∠CAE＝90°﹣∠AEC，∠DBE＝90°﹣∠BED．∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE．
（2）如图，延长AC，BD交于点G，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】在△ACE与△BCG中，
{∠ACE=∠BCG
)
∠AEC=∠BED ，
AC=BC
∴△ACE≌△BCG（AAS），
∴AE＝BG＝2BD
∴BD＝DG﹣，
∵AD⊥BG，
∴AB＝AG
∴∠1＝∠2，
∵∠ACE＝∠ABF＝90°，
∴∠1+∠AEC＝90°．∠2+∠AFB＝90°．
∴∠AEC＝∠AFB．
∵∠AEC＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF．
∵△BEF是等腰三角形．
∵BD⊥AP，
∴D是EF的中点．
25．（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
{
AB=BC，
)
∠ABD=∠BCE，
BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD+∠ABF＝60°，
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】∴∠AFE＝∠BAD+∠ABF＝60°；
（2）解：（i）△AFG 是等边三角形，理由：
在AD的延长线上截取FH＝FB，连接BH，如图2所示，
∵∠AFG＝∠BFH＝60°，
∴△FBH为等边三角形，
∴∠FBH＝∠H＝∠BFH＝∠AFG＝60°，FB＝BH＝FH，
∵AD∥CG，
∴∠BGC＝∠AFG＝60°，∠ACG＝∠FAC，
在△BDH中，∠DBH+∠H+∠BDH＝180°，
在△ADC 中，∠FAC+∠ACB+∠ADC＝180°，
∵∠H＝∠ACB＝60°，∠BDH＝∠ADC，
∴∠DBH＝∠FAC，
∴∠DBH＝∠ACG，
.∠ABH＝∠ABC+∠DBH＝60°+∠DBH，∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝60°+∠ACG，
∴∠ABH＝∠BCG，
在△ABH 和△BCG中，
{∠ABH=∠BCG
)
∠H=∠BGC ，
AB=BC
∴△ABH≌△BCG（AAS），
∴BH＝CG＝BF，
∵∠ABC＝∠FBH＝60°，
∴∠ABF+∠FBD＝∠FBD+∠DBH，
∴∠ABF＝∠DBH＝∠ACG，
在△BAF和△CAG中，
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AB=AC
)
∠ABF=∠ACG，
BF=CG
∴△BAF≌△CAG（SAS），
∴AF＝AG，
∵∠AFG＝60°，
∴△AFG是等边三角形；
（iⅰ）∵△AFG 是等边三角形，
∴AF＝FG，
当△CFG是直角三角形时，有以下两种情况：
①当∠FCG＝90°时，如图3.1，则∠CFG＝30°，
∴FG＝2CG，
∵AF＝FG，CG＝BF，
∴AF＝2BF；
②如图3.2，当∠GFC＝90°时，则∠FCG＝30°，
∴CG＝2FG，
∴BF＝2AF，
综上所述：当△CFG是直角三角形时，AF＝2BF或BF＝2AF．
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