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福建福州市台江区九校2025-2026学年高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．曲线 在 处的切线如图所示，则 ＝（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－1
2．某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同
种类的选法有（ ）
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
3．若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的
概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率
4．已知随机变量 的分布列如下表，且 ．
1 2 3
若 ，则 （ ）A． B． C． D．
5．已知 ，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．12
6．若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（ ）
A． B． C． D．
7．若 ， 均为非负整数，在做 的加法时各位均不进位（例如， ），则称 为
“简单的”有序对，而 称为有序数对 的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是
A．100 B．150 C．200 D．300
8．若函数 是区间 上的单调函数，则实数m的值一定不是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．设一组样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8
B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有 种不同的放法；
C．用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数
D．已知随机变量 的概率分布为 ，则实数 的值为
10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再
从乙罐中随机取出一球． 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，
表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A． 为对立事件B．
C．
D．
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 上单调递减，在 上单调递增
B．
C．若 ，则实数 的取值范围是
D．当 时，若方程 有且只有一个根，则
三、填空题
12．若 ，则正整数 的值为_____.
13．若函数 在 处有极小值，则 等于______．
14．将4个相同的小球摆放在 的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在
的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________．
四、解答题
15．在 的展开式中，求：
(1)求常数项、及此项的二项式系数；
(2)求系数绝对值最大的项．
16．已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 平行.
(1)求 的值；(2)求 的极值.
17．对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，
具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共
8联）中随机取出4联（上联或下联）.
(1)求这4联可以凑成甲对联的概率；
(2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望
18．现有外表相同，编号依次为 的袋子，里面均装有 个除颜色外其他无区别的小球，第
个袋中有 个红球， 个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.
(1)当 时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；
(2)记第三次取到白球的概率为 ，证明： .
19．已知函数 .
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 ，求 与 的数量关系；
(3)设 ， 是 的两个极值点，证明： .参考答案
1．C
【详解】设曲线 在 处的切线方程为 ，
则 解得
所以曲线 在 处的切线方程为 ，则切线斜率为1，
所以 ，
因此， ．
故选：C.
2．B
【详解】先从 5 种课外书中选 2 种给甲有 种，再从剩下的3 种书中选 2 种给乙有 种，
根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有 种.
3．A
【详解】由题意可知：
表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率， 表示在事件B不发生的条件下，事件A
发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.
故选：A.
4．A
【详解】由 ，
因 ，则 ，
解得： ．
故选：A.
5．C
【详解】令 ，则 ，
故 ，中 得系数为 ， 中 得系数为 ，
所以 ，
故选：C.
6．A
【详解】设圆柱母线长为 ，底面半径为 ，则 ，
而圆柱体积 ，其中
故 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 ，
故选：A.
7．D
【详解】根据题意可得，1942为两个数的和（加法时各位均不进位），其中一个数确定，另一个数也确定，
所以首位有0,1两种方法，第二位有0，1，2，3，4，5，6,7,8,9 共10种方法，第三位有0,1,2,3,4共5种方
法，个位有0,1,2有3种方法，采用分步计数原理，所以共有 个，故选D.
8．B
【详解】因为 ，由 ，得到 ，
由 ，得到 或 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ， ，又 在区间 上单调，
则 或 或 ，解得 或 ，结合选项知，实数m的值一定不是 .
9．ACD【详解】对于A，由方差的性质，新数据的方差为 ，A正确；
对于B，每个小球有3种方法，则不同的放法种数为 种，B错误；
对于C，组成无重复数字的三位数，百位9种选法，十位有9种选法，个位有8种选法，
由分步乘法计数原理，无重复数字的三位数有 个，C正确；
对于D， ，
则 ， 因此 ，D正确.
10．ABD
【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即 ，
所以 为对立事件，故A正确；
对于B，当 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 ，故B正确；
对于C，当 发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 ，
所以 ，故C不正确；
对于D， ，故D正确，
故选：ABD．
11．BC
【详解】对A： ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误；
对B：因 ，由 ，及 在 上单调递增，
可得 ，故B正确；
对C： ，令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，故C正确；
对D：令 ，即 ，
由C知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ， ，
，
若方程 有且只有一个根，则 或 ，故D错误.
12．5或7
【详解】由组合数的性质 ，可得 ，
则 ，可得 或 ，
解得 或 .
故答案为：5或7.13．108
【详解】 ，
因为 在 处有极小值，所以 ，
即 ，解得 或 ，
若 ，则 ，
当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取极大值，不合题意，
若 ，则 ，
当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取极小值，合题意，
所以 ，则 .
故答案为：108.
14．29
【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，
即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点），
可以把 的方格分为 两类，
小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况，
将四个角的方格设成 类方格，以保证 类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格，
剩余4个小格为 类方格，如图所示：（1）4个小球若占用4个A类方格，有 种；
（2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有 种；
（3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格，
此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有 种；
（4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍.
（5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍.
因此，共有 种．
15．(1)常数项为 ，此项的二项式系数为 ；
(2) .
【详解】（1） 展开式的通项公式为 ，
由 ，得 ，
所以展开式中的常数项为 ，其二项式系数为 .
（2）令 的系数绝对值最大，则 ，即 ，
整理得 ，解得 ，由 ，得 ，
所以系数绝对值最大的项为 .
16．(1)
(2) 的极小值为 无极大值【详解】（1）由 ，可得
又曲线 在点 处的切线与直线 平行，故 ，
即 ，得 .
（2）由（1）可知 ，且 .令 ，可得 ，
由 ，可得 .由 ，得 .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
可知当 时， 极小值为 ， 无极大值.
17．(1)
(2)
【详解】（1）8联中随机取出4联，有 种取法，
取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有 种取法，
所以这4联可以凑成甲对联的概率为 .
（2） 的所有取值可能为0，1，2.
， ， .
的分布列为
X 0 1 2
P
.
18．(1)① ；②(2)证明见解析
【详解】（1）① 时，第二个袋中有2白2红，共4个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回），
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率为 ；
②设选出的是第 个袋，连续三次取球的方法数为 ，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），若 则，取法数为 ，
若 或 或 ，取法数为 ，也满足关系 ，
故取（白，白，白）的取法可表示为 ，
同理（白，红，白），取法数为 ，
（红，白，白），取法数为 ，
（红，红，白），取法数为 ，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第 个袋子中第三次取出的是白球的概率 ，
则在第 个袋子中第三次取出的是白球的概率 ，
而选到第 个袋子的概率为 ，故所求概率为：
，所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为 ；
（2）设选出的是第 个袋，连续三次取球的方法数为 ，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为 ，
（白，红，白），取法数为 ，
（红，白，白），取法数为 ，
（红，红，白），取法数为 ，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第 个袋子中第三次取出的是白球的概率 ，
而选到第 个袋子的概率为 ，
所以 ．
19．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1） ， ，
令 ，由 ，得 ，
此时 ， 在 上单调递增；当 ，即 时，方程 的两根为 ， ；
当 时， ，所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调
递增；
当 时， 在 上单调递增.
（2） ，即 ，
令 ， ，
， ，
若 ，则存在 ，使得当 时， ，
即 在 上单调递增，而 ，所以 ，不符合题意，
若 ，则存在 ，使得当 时，，即 在 上单调递减，而 ，
所以 ，不符合题意，
若 ，即 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，符合题意；
综上， 与 的数量关系为 .
（3）证明：结合（1）可得，当 有两个极值点时， ，
且 ， ， ，
令 ，由于 ，则 ，则 ，
则 ，
设 ，
则 ，
因为 ，则 ，则 恒成立，所以 在 上单调递减，
则 时， 且小于 ，所以 ，
