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福建泉州市四校（泉州外国语、南安华侨、石狮八中、城东中学）2025-
2026学年高二下学期期中联考数学试题
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
2．某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的
合格率分别为 ， ， ，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．设 ， 是一个随机实验中的两个事件，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、
即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不
同的放置方式．
A．12 B．24 C．36 D．48
6．盒中有 个玩具，其中有 个是坏的，现从盒中随机地抽取 个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一
个是好的的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 的导函数 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A． 的解集为
B．函数 有2个极值点
C．函数 的单调递增区间为
D． 是函数 的极小值点
8．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽
中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现
自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
二、多选题
9．下列各式正确的是（ ）
A．已知 ，则 的取值为6或7
B．
C．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
D． 的展开式中 的系数为
10．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件 “出现 点或 点”，则 和
相互独立
B．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
C．甲、乙、丙三人均准备在 个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有 个景点未被选择的条件下，
恰有 个景点未被选择的概率是
D． ，
11．已知函数 ，使得 有三个零点 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．a的取值范围为 B．
C．若 ，则 D．函数 在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0
三、填空题
12．6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者
去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从
这个回答分析，6人的名次排列共可能有__________不同的情况.（用数字作答）
13．已知函数 在 处取得极大值，则实数 的值为__________.
14．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了
一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．
记第n次发出红包的人是乙的概率为 ．则 ______， ______．
四、解答题
15．在①第5项的系数与第3项的系数之比是 ，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．
问题：已知在 的展开式中，__________．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中含 的项．
16．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．17．2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，
抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一
次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，
则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸
取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元.
(1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费
金额打八折的概率；
(2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18．已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，且满足 ，证明： ．
19．某省 年开始将全面实施新高考方案．在 门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始
分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分
为 ， ， ， ， 共 个等级，各等级人数所占比例分别为 、 、 、 和 ，并按给定
的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目
的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
8
原始分 91 90 89 88 85 83 82
7
9
转换分 100 99 97 95 91 88 86
4
人数 1 1 2 1 2 1 1 1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于 分的人数为 ，求 的分布列和数学
期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分 服从正态分布 ．若 ，令 ，则
，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多
少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省 名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记 为被
抽到的原始分不低于 分的学生人数，求 取得最大值时 的值．
附：若 ，则 ， ．参考答案
1．C
【详解】 ，
所以 ，
因为 .
故选： .
2．A
【详解】设任取一件甲产品为事件 ，任取一件乙产品为事件 ，任取一件丙产品为事件 ，设任取一件
是合格品为事件 ，
则 ， ， ， ， ， ，
故 .
3．C
【详解】因为 ，所以 .
又 ，
且 ，所以 ， .
4．C
【详解】依题意， 展开式中含 的项为 ，
所以 .
5．B
【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为 ，
将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为 ，
2个元素排完后会产生 个空位，又因为文心一言和讯飞星火不相邻，
所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ，
所以总方法数为： .
6．C
【详解】记事件 从盒中随机地抽取 个，至少有一个玩具是坏的，
记事件 从盒中随机地抽取 个，恰好为一个是好的，一个是坏的，
则 ， ，
由条件概率公式可得 .
7．D
【详解】对A：由图可得， 在 、 上单调递增，
在 上单调递减，故 的解集为 ，故A错误；
对B、C、D：由图可得，当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 有且仅有一个极小值点 ，故B、C错误，D正确.
8．B
【详解】设中奖的概率为 ，30天中奖的天数为 ，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为 ，
，若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为 ，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
9．ABD
【详解】对于A，因为 ，
所以 或 ，
解得 或 ,故A正确；
对于B，由组合数的性质可知：
，所以 ，
所以
，故B正确；
对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可，
所以共有 种不同放法，故C错误；
对于D，因为 的展开通项为： ，
而 的展开式中 的系数由两部分组成：
第一部分是 与 的展开式中 的系数的积，即 ；
第二部分是 的系数-1与 的展开式中 的系数的积，即 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，故D正确.
10．ABC
【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则 ， ，
而 表示“出现 点”，所以 ，则 ，
故事件 和 相互独立，故A正确；
对于B，因为随机变量 服从正态分布 ，所以正态曲线的对称轴是直线 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，设事件 为至少有 个景点未被选择，事件 为恰有 个景点未被选择，
则 ， ，所以 ，故C正确；对于D， ， ，故D错误．
11．ACD
【详解】对于A，因为 有三个零点，得函数 至少有两个极值点.
因为 ，所以 有两个不相等的实数根.
所以 ，解得 ，所以A正确.
对于B， 的两个不相等的实数根为 .
由 ，且 关于 对称.
∴ ， 与 的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误.
对于C，
，所以 ，所以 ，所以C正确.
对于D，由题得 ，其简图如下：
，
所以 ，
同理 ，
故
．所以D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】第一步：根据约束条件，甲、乙不为第1、6名且相邻，排名可能为 ，共 种排法；
第二步：剩余 名学生全排列，排法数为 种；
第三步：由分步乘法计数原理，总排列数为 ，
综上， 人的名次排列共有 种不同情况.
13．2
【详解】由题意可知， ，
函数的定义域为 ，
求导得 ，
因为函数在 处取得极大值，所以有 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，解得 或 ，
则 在 和 上是单调递增函数；
当 时， ，解得 ，
则 在 上是单调递减函数；
故 在 处取得极小值，不满足题意；
当 时， ，
当 时， ，解得 或 ，
则 在 和 上是单调递增函数；
当 时， ，解得 ，则 在 上是单调递减函数；
故 在 处取得极大值，满足题意；
因此 .
14．
【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件 ， ，
则 ，且 ，
因为 ， ，
由全概率公式可得 ，
即 ，可得 ，
且 ，可知数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，所以 ，
15．(1) ；
(2) .
【详解】（1）若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是 ，
则 ，求得 ，
当二项式系数 最大时， ，即第六项的二项式系数最大，
此项为 ．
若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则 ，
，当二项式系数 最大时， ，即第六项的二项式系数最大，
此项为 ．
若选③， ， ，
当二项式系数 最大时， ，即第六项的二项式系数最大，
此项为 ．
（2）该二项式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，故展开式中含 的项为 ．
16．(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，得 ，
，则 ，
所以切线方程为： ，即 ；
（2）解法一： ，
当 时，因为 ，所以 ， ，所以 ，
则 在 上单调递增， 成立，符合题意；
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 成立，符合题意；
当 时，在区间 上， ；在区间 ， ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
所以在区间 上有 ，不符合题意，
综上所述， 的取值范围是 ．
解法二：当 时， 恒成立，等价于“当 时， 恒成立”，
即 在 上恒成立，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 恒成立，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
17．(1)
(2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球，
选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球，
设甲顾客享受到免单优惠为事件 ，则 ，设乙顾客消费金额打八折为事件 ，则 ，
所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为
（2）若选择方案一，设实际付款金额为 ，则 的可能取值为0，400，640，800.
， ，
， ，
所以 （元）
若选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则 .
由题意知， ，故 .
所以 （元）.
因为 ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
18．(1)极大值为 ，无极小值
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ，
令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；当 时， ，则 在 上单调递减；
在 时取得极大值为 ，无极小值．
（2） ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增，
当 时，若 时， ，则 在 上单调递增；
若 时， ，则 在 上单调递减；
综上可知：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减．
（3）由题意，记 ，那么 ， 是 的两根，
，可转化为 ， 是 的两根，
令 ，求导得 ，
令 ，解得 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨设 ，要证 ，即证 ，只需证 ，
只需证 ①，令 ，求导得：
，
当 时， ， ，
此时 ， 在 上单调递增，
，即①式得证，故命题得证．
19．（1）分布列详见解析，数学期望为 ；（2）①69分；② ．
【详解】（1）随机变量 的所有可能的取值为 .
由题意可得： ， ，
， ，
随机变量 的分布列为
数学期望 ．
（2）①设该划线分为 ，由 得 ，
令 ，则 ，
由题意， ，即 ，
， ， ，
， ，取 ．
②由①讨论及参考数据得
，即每个学生生物统考成绩不低于 分的事件概率约为 ，
， ．
由
即
解得 ，
， ，
