福建省厦泉五校 2025-2026 学年高二下学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列 为等差数列， 是方程 的两个实数根，则 ( )
{a } a ,a x2−6x+8=0 a =
n 3 11 7
A. 3 B. ±3 C. 4 D. ±4
2.已知曲线 在点 处切线的斜率为 ，则 ( )
f(x)=x4+ax2+1 (−1,f(−1)) 8 f(−1)=
A. 7 B. −4 C. −7 D. 4
3.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ( )
ξ N(μ,σ2) P(ξ<1)=P(ξ≥7)=0.2 P(1<ξ<4)=
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
4.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是( )
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56
5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成
绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”.从以上回答分析，
5人的名次排列有()种不同情况．
A. 9 B. 18 C. 54 D. 108
6.已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则下列
结论正确的是( )
4 1 8
A. E(2X−1)= B. D(X)= C. E(X)=1 D. D(2X−1)=
3 5 5
7.已知函数
{−x2+ax,x<0，在
上单调递增，则 的取值范围是( )
f (x)= R a
ex−ax,x≥0
A. [1,+∞) B. [0,1] C. [−1,1] D. (−∞,1]
8.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两
个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为( )
11 31 5 17
A. B. C. D.
32 96 16 48
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随
机取出一球放入乙口袋，分别以A ，A 和A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙口
1 2 3
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1 1袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. A ，A ，A 是两两互斥的事件 B. 事件A 与事件B相互独立
1 2 3 1
3 2
C. P(B|A )= D. P(B)=
2 11 5
10.已知数列 ， ， ，数列 满足 若在数列 中
{a } a =1 a =2a +1(n∈N∗) {b } b =2log (1+a )−1. {b }
n 1 n+1 n n n 2 n n
去掉{a }的项，余下的项组成数列{c }，则( )
n n
A. a +a +a +a =26 B. b =10
1 2 3 4 5
C. a <b <a D. c +c +…+c =170
4 15 5 1 2 10
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(2x+1)lnx−2x+2，则( )
A. 方程f(x)=0有三个不等实根
1
B. x= 是f(x)的一个极值点
2
C. 不等式f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)
1
D. 当x>0时，f(x)>2− −2x恒成立
x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 的展开式中 的系数为 ，则 ．
(1+ax)(1+x) 5 x2 5 a=
13.已知函数f (x)=x+2sinx，x∈[0,π]，当函数f (x)取最大值时，则x= ．
14.一种游戏规则如下：投掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面分别标注的点数为1，2，3，4，5，6)，
若掷出的点数为6，则游戏终止，否则一直进行投掷，直到掷出的点数为6，规定最多投掷n次游戏强制终
止.记X为投掷骰子的总次数，则X的数学期望E(X)= (用含n的式子表示)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 的图象经过点 ，且 是 的极值点．
f (x)=(x+a)⋅ex+b(a,b∈R) (1,1) x=0 f (x)
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求函数f (x)的单调区间和最值．
16.(本小题15分)
某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到
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2 11 1 1
红灯的概率分别为 ， ， ．
2 3 4
(1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率；
(2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打
卡时间比规定时间晚X秒，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
已知等差数列 满足： ， ．
{a } a =0 a =2a +2
n 3 7 4
求 的通项公式．
(1) {a }
n
2
(2)设c = ，求数列{c }的前n项和S ．
n a a n n
n+3 n+5
18.(本小题17分)
在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种
1
起搏器体积只有传统起搏器的 ，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并
10
发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测
包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指
标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达
99 98 97
标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为 ， ， ，设人工
100 99 98
抽检的综合指标不达标率为p(0<p<1)．
(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为φ(p)，求φ(p)的极大值点p ；
0
(3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以(2)中确定的p 作为p的值，判断该企业是
0
否需对生产工序进行改良．
19.(本小题17分)
洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数F(x),G(x)，当
lim F(x) lim F′ (x)
1
F(x 0 )=0,G(x 0 )=0时，x→x 0 = x→x 0 . 已知函数f (x)= 6 ax3+sinx−x，
G(x) G′ (x)
h(x)=3sinx−xcosx−2x．
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3 1(1)证明：h(x)在区间[0,2π]上单调递减；
(2)对于x∈[0,2π],f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
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4 1参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.C
6.D
7.B
8.A
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.−1
2π
13.
3
5
14.6−5×( ) n−1
6
15.解： 由函数 ，
(1) f (x)=(x+a)⋅ex+b
可得 ，
f ′(x)=(x+a+1)⋅ex
因为函数f (x)过点(1,1)，
且x=0是f (x)的极值点，
可得{f(1)=(1+a)⋅e+b=1
,
f′ (0)=1+a=0
解得a=−1,b=1，
所以函数f (x)的解析式为
．
f (x)=(x−1)⋅ex+1
由 知 ，
(2) (1) f ′(x)=x⋅ex
令f ′(x)>0，解x>0；
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5 1令f ′(x)<0，解x<0，
所以函数f (x)在(0,+∞)上单调递增，
在(−∞,0)上单调递减，
所以当x=0时，
函数f (x)取得最小值，
最小值为f (0)=0，无最大值，
即函数f (x)的增区间为(0,+∞)，减区间为(−∞,0)，
最小值为0，无最大值．
16.解：(1)记A={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯}，
1 2 3 1 1 3 1 2 1 11
P(A)= × × + × × + × × = ．
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
(2)X的可能取值为0,48,96,144，
1 2 3 6 1
P(X=0)= × × = = ，
2 3 4 24 4
1 2 3 1 1 3 1 2 1 11
P(X=48)= × × + × × + × × = ，
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1 1 3 1 2 1 1 1 1 6 1
P(X=96)= × × + × × + × × = =
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 4
1 1 1 1
P(X=144)= × × = ，
2 3 4 24
X的分布列为：
X0 48 96144
1 11 1 1
P4 24 4 24
1 11 1 1
E(X)=0× +48× +96× +144× =52．
4 24 4 24
17.解： 设等差数列 的公差为 ，
(1) {a } d
n
则a =a +2d=0，可得a =−2d，
3 1 1
由 可得 ，
a =2a +2 a +6d=2(a +3d)+2
7 4 1 1
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6 1即4d=2d+2，解得d=1，a =−2，
1
故 ．
a =a +(n−1)d=−2+n−1=n−3
n 1
2 2 1 1
(2)c = = = − ，
n a a n(n+2) n n+2
n+3 n+5
因此， ( 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) 1 1 1
S = 1− + − + − +⋯+ − =1+ − −
n 3 2 4 3 5 n n+2 2 n+1 n+2
3 2n+3
= − ．
2 (n+1)(n+2)
18.解：(1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为P ，P ，
1 2
P ，并记芯片智能检测不达标为事件A．
3
指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，
99 98 97
则有P = ，P = ，P = ，
1 100 2 99 3 98
根据对立事件的性质及事件独立性的定义得，
99 98 97 3
P(A)=1−P P P =1− × × = ，
1 2 3 100 99 98 100
3
所以，每个芯片智能检测不达标的概率为 ．
100
人工抽检 个芯片恰有 个不合格品的概率为 ，
(2) 30 1 φ(p)=C1 p(1−p) 29
30
因此 ，
φ′(p)=C1 [(1−p) 29−29p(1−p) 28 ]=C1 (1−p) 28 (1−30p)
30 30
1
令φ′(p)=0，得p= ．
30
1 1
当p∈(0, )时，φ′(p)>0;当p∈( ,1)时，φ′(p)<0．
30 30
1
所以φ(p)有唯一的极大值点p = ．
0 30
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7 11
(3)由(2)知p=p = ，
0 30
1 29
∴人工抽检的综合指标达标的概率为1− = ，
30 30
∴芯片合格的概率
99 98 97 29
P = × × ×
合格 100 99 98 30
2813
= ≈93.8%
3000
∵93.8%<96%，
∴需要对生产工序进行改良．
19.解：(1)由函数h(x)=3sinx−xcosx−2x，可得h′(x)=2cosx+xsinx−2，
令m(x)=h′(x)=2cosx+xsinx−2，则m′(x)=−sinx+xcosx，
令n(x)=m′(x)=−sinx+xcosx，则n′(x)=−xsinx，
若x∈[0,π]，则n′(x)≤0，n(x)单调递减，可得n(x)≤n(0)=0，m(x)单调递减，
则m(x)≤m(0)=0，所以h(x)在[0,π]上单调递减，
若x∈(π,2π]，则n′(x)≥0，n(x)单调递增，
所以n(π)<n(x)≤n(2π)，即−π<n(x)≤2π，
所以存在唯一 ，使得 ，且在 上， 单调递减，在 上，
x ∈(π,2π) n(x )=0 (π,x ) n(x)<0,m(x) (x ,2π]
0 0 0 0
n(x)>0,m(x)单调递增，且m(π)=−4<0,m(2π)=0，所以m(x)≤0，
所以h(x)在区间(π,2π]上单调递减，且h(x)在[0,2π]上连续，
综上可得，函数h(x)在区间[0,2π]上单调递减．
(2)当x=0时，f (0)=0，所以f (x)≥0恒成立；
1 1 x−sinx
当0<x≤2π时，由f (x)≥0，可得 ax3+sinx−x≥0，即 a≥ ，
6 6 x3
令 x−sinx，可得 3sinx−xcosx−2x h(x)，
g(x)= g′(x)= =
x3 x4 x4
由
(1)
知
h(x)≤h(0)=0
，
g′(x)≤0
，
g(x)
在
(0,2π]
上单调递减，则g(x)<lim g(x)，
x→0
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8 1lim F(x) lim F′ (x)
因为两个函数F(x),G(x)，当F(x 0 )=0,G(x 0 )=0时，x→x 0 = x→x 0 ，
G(x) G′ (x)
lim x−sinx lim 1−cosx lim sinx lim cosx
可得 1，
lim g(x)= x→0 = x→0 = x→0 = x→0 =
x→0
x3 3x2 6x 6 6
1 1
所以 a≥ ，解得a≥1，所以实数a的取值范围为[1,+∞)．
6 6
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9 1
