文档文本内容
浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题
一、单选题
1．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．“ ”是“关于 的不等式 的解集是空集”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 ，则函数 的极大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
6．从0，2，4中任取2个数字，从3，5中任取1个数字，一共可以组成没有重复数字的三位偶数的个数
为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．18
7．已知盒子中有3个黑球和 个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为 ，
则随着 的增大，下列说法正确的是（ ）
A． 增大， 增大 B． 增大， 减小
C． 减小， 增大 D． 减小， 减小8．已知定义在 上的函数 满足 ，正数 满足 ，则下列选项
不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：
“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人
言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老
虎呢？
假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是
否选择说出实情相互独立．用 表示事件“第 人说看见一只老虎在集市上”， ，用 表示事件
“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的值域为B．若 ，且 恒成立，则实数 的取值范围为
C．若 ，且对任意实数 ，总存在 满足 成立，则实数 的取值范围为
D．若 ，且 在定义域内存在零点，则实数 的取值范围为
三、填空题
12．随机变量 ，且 ，则 __________．
13．已知 展开式的各二项式系数和为32，且 ，则
__________．
14．我们把含有限个元素的集合 叫做有限集，用 来表示有限集合 中元素的个数．已知集合
，集合 为集合 的子集，且 ， ，则
符合要求的有序集合对 的个数为__________．
四、解答题
15．已知 的展开式中只有第四项的二项式系数最大．
(1)求 的值；
(2)求该展开式中的常数项．
16．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；(2)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围．
17．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机不放回地逐个取出，
并将第 次取出的球放入编号为 的抽屉里．
(1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率；
(2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总个数为 ，求 的分布列及数学期望 ．
18．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有两个相异零点 ，
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求证： ．
19．某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通
过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．
他们实施试验的步骤如下：
第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数；
第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数．
重复以上两个步骤共计10轮，用 表示在第 轮中10名成员的记录相加所得的总次数， ．
(1)若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？
(2)整个试验所得的10个总次数记录如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
36 36 48 36 41 44 42 37 35
3
用 表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为 ，则 的取值应使事件
发生的概率尽可能大．
（i）请写出事件 发生的概率 的表达式；（ii）当 取最大值时，求 的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果
，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠）
参考答案
1．A
【详解】在全集 中，满足 的元素是 ，因此 ，
补集是指在全集 中，不属于集合 的所有元素构成的集合，所以 ．
2．C
【详解】因为命题 为全称量词命题，其否定为 ．3．D
【详解】选项A：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，正数一定大于负数，即 ，故A错
误；
选项B：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，正数一定大于负数，即 ，故B错误；
选项C：仅知道 ，无法确定 与 的大小关系，
例如：若 ，则 ；若 ，则 ，故C不一定正确；
选项D：用作差法验证： ，
因为 ，所以 ，若 且 （成立，因为 ），则分母 ，
因此，差 ，即 ，可得 ，故D一定正确．
4．A
【详解】由不等式 的解集是空集等价于判别式 ：
，解得： ．
若 成立，则一定满足 ，故充分性成立；
若 成立（比如 ），不一定满足 ，故必要性不成立．
因此，“ ”是“不等式 的解集是空集”的充分不必要条件．
5．D
【详解】由 ， ，则 ，
又 ，
故 ，即 ， ，
则 ， ，则当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 的极大值为 .
6．B
【详解】情况1：从 中取出的偶数不含 ：
取数：选2个非0偶数，只能是 ，共 种；再从 中选1个奇数，有 种．
排列：3个数字 组成三位偶数，末位必须是2或4，有2种选择，剩下2个数字全排列： 种．
总数： 个．
情况2：从 中取出的偶数含 ：
取数：选 和另一个偶数（2或4），共 种；再从 中选1个奇数，有 种．
排列：3个数字 组成三位偶数，分两类：
末位为 ：剩下2个数字全排列，有 种；
末位为非0偶数：末位固定，首位不能为 ，有1种选择，中间位排剩下的数，有1种选择，共1种．
故每组数字有 种排列，总数： 个．
两种情况相加： ．
7．B
【详解】随机变量 服从两点分布，其分布列为： ，
，
当 增大时， 减小，因此 增大，
两点分布的方差公式为 ，其中 ，故：，
由对勾函数性质，当 时， 随 增大而递增，因此分母 增大， 减小．
综上， 增大， 减小．
8．D
【详解】设 ，求导得 ，
当 时， ，且 ，则 .
故 在 上单调递增．
设 ，由 可得 ．
又由 可得 ， ．
下证： ．
要证 ，只需证 ，即需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则
则 时， 单调递增， ，即 ，
则函数 在 上单调递增，故 ，即 .
取 ，可得 ，故有 .
由于 在 上单调递增，则由 可得 ，即 .
故 D 项中 不可能成立.若取 ，则由 解得 ，由 解得 ，
易得 ，由单调性可得 ，即得 ，A项成立；
若取 ，则由 解得 ，由 解得 ，
显然 ，由单调性可得 ，即得 ，B项成立；
若取 ，则由 解得 ，由 解得 ，
显然 ，由单调性可得 ，即得 ，C项成立；
综上分析，只有 D 项一定不成立．
9．BC
【详解】对于A， ，所以A错；
对于B， ，所以B正确；
对于C， ，所以C正确；
对于D， ，所以D错.
10．ABC
【详解】设事件 表示“真有老虎在集市上”，则 ， ，
设事件 表示“第 人说看见一只老虎在集市上”， ，
， ．
选项A： ，A正确；选项B：由全概率公式： ，B正确；
选项C： ，C正确；
选项D： ， ，
，
，D错误．
11．BCD
【详解】选项A：若 ，则 ， ，
则 ，令 ，得 ，
则当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增，
又 ， ， ，所以 的值域为 ，故A错误；
选项B：若 ，有 对 恒成立，即 ，
当 时， 恒成立；当 时， ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
则当 时， ，
即当 时， ，故 ，
又 ，所以 在 单调递减，则当 时， ，所以 ，故B正确；
选项C：若 ，则 ， ，
要使对任意 ，总存在 使 ，即求 的最大值的最小值（即函数 的极差的一
半），
令 ， ，则 ，
又 在 上单调递增，且 ，
即当 时， ，即 在 上单调递减，
所以当 时， ， ，
所以 ，则 的最大值的最小值为 ，
故 ，即 ，故C正确；
选项D：若 在定义域内存在零点，即 在 上有解，即 在 上有解，
将 代入 ，得 ， ，
整理得 ，则 ， ，
显然 ，则 时， ，即当 时， 取得最大值，即 ，
将 看成是关于 的一次函数，
由 ，则 ，则 随着 的增大而增大，
令 ， ，则 ，令 ，解得 ，或 （舍去），
所以当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减，
则 ，所以 ，
所以 的范围为 ，故D正确．
12．0.3/
【详解】因为随机变量 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：0.3
13．243
【详解】二项式系数和为 ，由题意 ，解得 ，
由 ，得 ，故 ，
．
14．150
【详解】令全集 ，集合 ，
已知条件如下： ，且 ； ；
； ．
对于 ，其归属情况有三种互斥状态：
状态 1： ；状态 2： ；状态 3： ．设 分别为 中处于上述三种状态的元素个数，则 ．
由条件转化为对 的约束：
； ； ．
问题转化为求满足 且 的整数解对应的分配方案数，
这是一个将 5 个不同元素放入 3 个不同盒子且无空盒的问题．
总分配方案数（无约束）： ；
排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 2 或 3，方案数 ；
排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 1 或 3，方案数 ；
排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 1 或 2，方案数 ；
加回同时不满足两个条件的情况：
全选状态 3，方案数 ；
全选状态 2，方案数 ；
全选状态 1，方案数 ；
减去同时不满足三个条件的情况：不可能（ ）；
由容斥原理： ．
15．(1)6
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以只有 最大，所以 ．
（2）因为 ，令 ，解得 ，
所以常数项为 ．
16．(1)单增区间为 ，单减区间为 ；
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，定义域为 ．
因为 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，即 ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以函数 的单增区间为 和 ，单减区间为 ．
（2）因为函数 在区间 上单调递减，
所以 对 恒成立．
因为 ，
所以 对 恒成立， ，
设 ，
在 上单调递增，故 ，
因此，要使 恒成立，需 ，所以实数 的取值范围是 ．
17．(1) ；
(2)
1 2 3 4
【详解】（1）法一：
将7个除颜色外完全相同的球逐个取出依次放入编号为1～7的抽屉里，等价于将这7个球（4白3黑）全
排列，总的方法数为 ．
若编号为2的抽屉里放的是黑球，等价于将剩下6个球（4白2黑）全排列，方法数为 ．
由古典概率模型，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为 ．
法二：
若第一次取出的是白球，概率为 ，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为 ；
若第一次取出的是黑球，概率为 ，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为 ；
由全概率公式，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为 ．
（2） ，
， ，
， ，
所以 的分布列为：1 2 3 4
所以 ．
18．(1) ；
(2)（i） ；（ii）证明见解析．
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
（2）（i）因为 有两个相异零点 ，
所以方程 有两个不相等的实根 ．
设 ，因为 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此函数 在 处的极小值，也是最小值，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以实数 的取值范围为 ．
（ii）不妨设 ，由（i）知， ．
设 ，
因为 ，令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，所以 ，即 ．
因为 ，令 ，所以 ．
设 ，
因为 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ．
因为 ，令 ，所以 ．
所以 ，得证．
19．(1)4；
(2)（i） ；（ii） ，可靠．
【详解】（1）法一：
设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为 ，
则 ，
所以 ．
令
即
化简得 解得 ．所以 ，
即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大．
法二：
设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为 ，则 ．
因为 不是整数，
所以当 时， 是唯一的最大值，
即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大．
（2）（i）设所有10名成员在第 轮的共100次试验中出现钉尖朝上的次数为 ，
则 ，
所以 ．
因为
（ii）法一：
设函数 ，
所以
，令 ，解得 ．
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 取最大值时， ．
因为 ，所以查阅资料所得的概率数据可靠．
法二：
设函数 ，
令 ，
所以 ，
令 ，解得 ．
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 取最大值时， ．
因为 ，所以查阅资料所得的概率数据可靠．
