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福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则f (x)的导函数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的极值点为0，则 （ ）
A．0 B． C． D．
4．在空间直角坐标系中， 是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向量为 ， 的面积为
3，且 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．若函数 为减函数，则必有（ ）
A． B．
C． D．
6．某企业的一个产品的月均产量y（单位：百件）与月份数 的关系式为 ，则该
企业这个产品的月均产量的最小值为（ ）
A．56件 B．63件 C．5600件 D．6300件
7．在平行六面体 中， ， ， ， ， ，
则 （ ）A．60° B．90° C． D．
8．函数 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
二、多选题
9．在四面体 中， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若 ，则 的取值可以为（ ）
A．-10 B． C．-4 D．1
11．在空间直角坐标系 中，已知正四面体 的四个顶点的坐标为 ， ，
， ，点 在四面体 外接球的球面上，且 平面ABC，点
在四面体 内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ）
A．
B． 的最大值是最小值的2倍
C．四面体 外接球的体积为
D．当 取得最小值时，点H的坐标为
三、填空题
12．在标准正交基底 下，已知向量 ， ，则向量 在 上的投影长为________．
13．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ，则点A到直线BC的距离为________．
14．若 ，则 的取值范围是________．
四、解答题
15．已知函数 .
(1)求 值；
(2)求 在 上的极值.
16．将正方体 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，且H为AC的中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)求二面角 的正弦值．
17．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性．
18．如图，在四棱锥 中， ，底面 是正方形，E，F分别为 ，
的中点．过点 的直线 与 平行，且 ．(1)证明： 底面 ．
(2)已知平面PAB与平面 的夹角为α．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 是 上的一个动点，直线 与平面 所成的角为 ，证明： ．
19．已知函数 ．
(1)证明：当 ， 时， ．
(2)讨论f (x)的零点个数．
(3)若 ，正数 满足 ，证明： ．参考答案
1．A
【详解】因为 ， ，
所以 .
2．B
【详解】由题意得 ，得到 .
3．C
【详解】 ，
因为 ，所以 ．
当 时，由 得 ，由 得 ，
由 得 ，
所以 的极小值点为0，故 ．
4．A
【详解】因为 ，平面ABC的一个法向量为 ，
所以点 到平面ABC的距离 ，
又 的面积 ，
所以三棱锥 的体积 .
5．C
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数 为减函数，可得 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 .
6．D
【详解】可知 ，
在 时， ，函数y单调递减，
在 时， ，函数y单调递增，
所以当 时，月均产量取得最小值，最小为 件.
7．B
【详解】利用空间向量的线性运算可知 ，
所以 ，
即 ,
由于 ,
所以， ，
所以 ，故 ，即 ，
故平行四边形 为矩形，
8．D
【详解】 .设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 .
令 ， ，则 ，
因为 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，且最小值为0.
故f (x)的最小值为0.
9．AD
【详解】
，故A正确，C错误；
，故B错误，D正确.
10．ABD
【详解】若 ，则 ，
设函数 ，则 ，
，
令 ，得 单调递增，
令 ，得 单调递减．因为 ，当 时， ，
所以 ，
故 ，解得 ．
ABD选项符合题意.
11．ABD
【详解】四面体 的直观图如图所示．设顶点S在底面ABC上的射影为 ，连接 ，
则 平面ABC，连接 并延长，交AB于点E，易得E为AB的中点．
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，则 ，A正确．
设四面体 外接球的球心为 ，则 在 上，设 ，
则 ，解得 ，所以四面体 外接球的半径为3，
四面体 外接球的体积为 ，C错误．
易得四面体 内切球的半径 ，内切球的球心为 ，
则 的最大值为 ，最小值为 ，B正确．
因为 平面ABC，所以 ，
又因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去）， ．当 取得最小值时， ，即 ，
得 ，D正确．
12．9
【详解】由已知， ，
则 的坐标表示为 ， 的坐标表示为 ，
则向量 在 上的投影长为9.
13．
【详解】由题意得 ， ，
，
，
向量 在直线BC上的投影长度为 ，
故点A到直线BC的距离为
14．
【详解】令 （ ），则 ，故 在 上
单调递增.
左边： ；
右边： .由题意 ，所以 .
两边取自然对数得 ，即 ，则 的取值范围为 .
15．(1)
(2)极小值为 ，无极大值
【详解】（1） ，
则 .
（2）当 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，则 在 上单调递减，
令 ，得 ，则 在 上单调递增，
所以 在 上的极小值为 ， 在 上无极大值.
16．(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）
取 的中点M，连接 ， ．易证 ，且 ，
又H为AC的中点，所以 ，且 ，
则四边形 是平行四边形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）以A为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设 ，则 ， ， ， ， ， ，
．
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ．
设二面角 的平面角为α，
则 ，所以二面角 的正弦值为 ．
17．(1)
(2)当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
【详解】（1）当 时， ，可得 ，
则 ，且 ，即切线的斜率为 ，切点为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由函数 ，其定义域为 ，且 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时，令 ，可得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
18．(1)
因为 ， ，所以 ．
因为 底面 底面 ，
所以 底面 ．
(2)（Ⅰ）
（Ⅱ）设 ，得 ，则 ，
因为 ，函数 在 上单调递增，
所以要证 ，只需要证
即证 ．
因为 ，所以 恒成立．故 ．
【详解】（1）略
（2）（Ⅰ）以A为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ，得 ．
易得平面PAB的一个法向量为
则
故 ．
（Ⅱ）略19．(1)当 ， 时， ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ， 在 上单调递增．
又 ，所以当 时， ，即 ．
(2)当 时， 的零点个数为1，当 时， 的零点个数为3
(3)由 ，得 ，即 ．
要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
设 ， ，
则 ．
因为 ，所以 ， ，
所以 ， 在 上单调递增．
又 ，且 ，所以 ，
即 ，故 得证．
【详解】（1）略
（2）因为 ，所以 为 上的奇函数,
，
当 时， ， 在 上单调递增,又 ，所以 的零点个数为1，
当 时，令 ，即 ，
设 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
则当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ， ．
又因为当 时， ， ，当 时， ，所以 的零点个数为
3．
综上，当 时， 的零点个数为1，当 时， 的零点个数为3．
