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山东日照市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知等差数列 的首项 ,公差 ,则
A．5 B．7 C．9 D．11
2．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．0
3．函数 定义在区间 ，则 “ 在 上恒成立” 是 “ 在区间 单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件
4．设函数 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．5．记数列 的前 项和 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
7．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则满足 的正整数 的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．若 使得不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
二、多选题
9．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A． B． 和 的等比中项为4
C． 取最大值时， 的值为2或3 D．若 ， 的最大值为5
10．已知函数 ，则（ ）
A．
B．函数 有两个极值点
C．方程 有两个不同的根D．若函数 在定义域内为增函数，则
11．已知数列 的通项公式为 ， ，将 按从小到大的顺序排列起来
构成数列 ， .数列 中落在区间 内项的个数记为数列 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
12．设函数 ，则 __________.
13．已知函数 在 处有极小值，则 __________.
14．已知 是各项均为正整数的数列，且 ， ，对 ， 与 有且
仅有一个成立，则 的最小值为__________.
四、解答题
15．已知数列 是各项均为正数的等差数列， 为其前 项和， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 数列 的前 项和为 ，求 ．
16．已知函数 ， .
(1)若函数 在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；(2)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
17．已知函数 的一个极值点是 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设 ， ，若存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围.
18．已知数列 满足 ， ，设 ，将数列 的项按照如下规律分群 ，
， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设第 个群中所有项的和为 ，求 ；
(3)在（2）的条件下，设数列 满足 ， 时， ，若 ， ，求
实数 的取值范围.
19．已知函数 和 ，直线 与两条曲线 和 均相交.
(1)若直线 与两条曲线共有2个不同的交点，求实数 的取值范围；
(2)求同时与曲线 和 相切的直线条数；
(3)若直线 与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为 ， ， ， ，
是否存在 ，使得 ， ， ， 依次成等比数列？请说明理由.
（注： ， ）参考答案
1．C
2．A
3．A
4．B5．C
6．D
7．D
8．C
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．4
13．
14．25
15．（1）设数列 的公差为 ．因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）可得，
所以
．
16．（1）由题 ， ，因为 在 处的切线为 ，所以
，
代入 得切点为 ，切点在切线上，则 .
（2）由题 ，求导得 ，由 在 上单调递增，得 在 上恒成立，
当 时， ，因此 在 上恒成立，又 ，则
17．（1） （ ），
，
因为函数 的一个极值点是 ，
，即 ，则有 ，
则 （ ），
当 时，令 得 或 ，列表如下：
2
－ 0 ＋ 0 －
减 增 减
满足 是函数 的极值点；
综上：当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减．
（2）由（1）知， ，且 ，
在 单调递增，在 单调递减，
又 ， ，
在 上的最大值为 ，最小值为 ，
又 时函数 在 单调递增，
在 上的最大值为 ，最小值为 ，因为存在 ， ，使得 成立，
即存在 ， ，使得 成立，
则 ，
又 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
18．（1）由 ，两边取倒数得 .
由 ，得 .又 ，故 .
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.
故 .
（2）分群规律：第 个群 项，第 个群 项， ，第 个群有 项.
前 群共有项数： .
所以第 群首项为 ，末项为 .
,
项数为 ，则
.
（3） 时， ，.
时 也满足，故 .
由 ，得 .
令 . .
又 ， .
时 ， 时 .
故 最小值为 .
所以 ，实数 取值范围为 .
19．（1）函数 和 的定义域分别为 和 ，
又 ， ，
令 得 ，令 得 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，当 时， ；当 时， ；当 时， ， ，
又 ，
如图，因为直线 与两条曲线 和 共有2个不同的交点，
所以t的取值范围为 .
（2）设函数 和 在点 和 处的切线分别为 和
，
即 和 ，
由题意可得 ， ，
由于 ，消去 可得 ，即 ，
令 ， ，
由 和 可知 ，
则 ，
当 时， ， ，则 ；当 时， ，
则 在 上单调递增，此时 ，
所以当 时， ，
当 时， ，当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ， ，
当 时， ，由零点存在定理，存在 ，使得 ，
故 存在两个零点 和 ，则与这两条曲线都相切的直线条数为2．
（3）由（1）可知 且 ，
再由 可知 ，而 ，
函数 在 上递减，因此 ，
同理可得 ，
又 ，于是 ，从而有 ，
要使 ， ， ， 依次成等比数列，只需保证 ，即 ，
利用 ， 可得 ， ，则 ，故 ，
于是 ，
即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 在 单调递增，
又 ， ，故存在 使得 ，
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，则 ，
而 ， ，
故 在 上存在两个零点 ， 且 ，
当 时，由 可知 ，
两边同时减去 整理得 ，
令 ，则 ，故 在 单调递减，
因为 ，而 ，由 在 单调递增可知 ，
即 ，故 ，则 ，
再由 可知 ，与 矛盾，
所以区间 上满足题意的 是唯一的，即 ，此时 的值也是唯一的，
故存在唯一的t，使得 ， ， ， 依次成等比数列．
