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2025-2026 学年高二下学期期中教学质量评价
数学试题
一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.
1. 设 是等差数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由 是等差数列 的前n项和，则 成等差数列，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：A.
2. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
【答案】C
解析：依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路
正常工作，
所以不同方法种数为 .
故选：C.
3. 公差不为零的等差数列 的首项为 ，则 的公差为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
解析：因为等差数列 的首项为 ，
所以 的公差为 ，
故选：C.4. 某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁
以下教职工的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由题意，抽到35岁以下教职工的概率为 .
故选：B.
5. 已知函数 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由已知 ，
所以 ，
故选：B.
6. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：依题意， ，
令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以 .
故选：B.
7. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
解析：当 时， ， ，故选A.
8. 已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：设 ，则 对任意 恒成立，
设 ，则 ，且 ，
设 ，则 ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 ，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 ，
所以 .
故选：D．
二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选
对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列 ， ， ，则（ ）
A. 数列 是等比数列
B. 数列 的前 和是
C. 数列 是等差数列
D. 数列 的前10项和是
【答案】AC解析：由题可得 ，
则 ，所以数列 是等比数列，故A正确； ，故B不正确；
已知 ，
，故 是等差数列，故C正确；
则 ，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种
B. 某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种
C. 两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种
D. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种
【答案】AC
解析：对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，
不同的选法有 种,故A正确；
对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，
不同的选法有 种，故B错误；
对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，
两人乘坐车厢的方法共有 种，故C正确；
对于D，先排列丙、丁、戊有 种排法，再让甲、乙去插空位，
有 种排法，则甲乙不相邻的排法有 种,故D错误.
故选：AC.
11. 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有6项 B. 各二项式系数之和为64
C. 展开式中 项的系数为 D. 展开式中系数最大的项为70x
【答案】BC
解析：对于A，由二项式展开式的性质可得，展开式共有7项，故A错误；
对于B，各二项式系数之和为 ，故B正确；对于C，通项为 ，
令 ，代入可得展开式中 项的系数为 ，故C正确；
对于D，由通项可得，当 时， ，故D错误；
故选：BC.
三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.
12. __________.
【答案】
解析： .
故答案为： .
13. 若数列 为等比数列，且 ， 是方程 的两个根，则 _____.
【答案】
解析：由题意得， ， ，故 ， ，
因为 为等比数列，所以 ，解得 ，
又因为 ， ，所以 与 同号，即 ，
故 .
故答案为： .
14. 设函数 的导函数 ，则 的极值点是__________．
【答案】
解析：令 ，
解得：
由于在 附近导函数符号不变，
所以 不是极值点；
由于在 附近导函数符号由负变正，
所以 是极值点，即 的极值点是 .
故答案为： .
四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.
15. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A
类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等．
（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；
（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列．
解：（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则 ，
所以小张在三类中各选1个项目的概率为 ．
（2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，
则 ， ，
， ，
， ．
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9
P
16. 已知数列 的前n项和为 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求 ．
解：（1）因为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，整理得 ，
所以数列 是以3为首项，公比为3的等比数列，所以数列 的通项公式为 ;
（2）因为 ，
由题意得： ，即 ，
所以 .
17. 已知函数 在 处取得极值 ．
（1）求 的值；
（2）求曲线 在点 处的切线方程；
（3）求函数 在 上的最值．
解：（1） ， 在 处取得极值 ，
，解得： ；
当 ， 时， ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
是 的极小值点，满足题意；
综上所述： ， .
（2）由（1）得： ， ， ， ，
在点 处的切线方程为： ，即 .
（3）由（1）知： 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
，
又 ， ， ，
在 上的最大值为 ，最小值为 .
18. 已 知 正 项 数 列 的 首 项 为 7 ， 且 ， 数 列 满 足 ，
．（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）设 ， 为数列 的前n项和，若对任意 ， 恒成立，求出
与实数m的取值范围．
解：（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，即 ．
又 ，所以 是首项为7，公差为3的等差数列．
因为 ，①
所以当 时， ，②
①-②得 也满足 ．
故 的通项公式为 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，所以
（3）因为 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值 ．
因为对任意 恒成立，所以 ，
整理得 ，解得 ．
19. 已知函数 在 处取得极值 .
（1）求实数 的值；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.（3）若方程 有三个不同的实数根，求实数 的取值范围.
解：（1） ，则 ，
因函数 在 处取得极值 ，
则 ，得 ，
此时 ， ，
得 或 ， 得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极小值，故 .
（2）由（1）可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减，而
，
则 在区间 上的最大值为 和最小值 .
（3）令 ，则 ，
则 与 单调性相同，
因方程 有三个不同的实数根，
则 ，得 ，
