内江一中2026年春季学期高2027届半期考试
数 学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 项，则这个数列的一个通项公
式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 在 处的导数为 ，则 等于（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
3．已知数列 中， ， ( )，则 等于（ ）
A． B． C． D．2
4．如图是 的导数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在 内 是增函数 B．在 内 是减函数
C．在 时 取得极小值 D．当 时 取得极大值
5．若 在 内单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 表示不超过 的最大整数， ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．673 B．747 C．769 D．821
7．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，若 ，则a的最小值为（ ）．
A．e B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．已知数列 是等差数列，那么数列 一定是等差数列
S S =3,S =8 S =24
B．已知等差数列 的前n项和为 n，若 4 8 ，则 16
S
n
4n+2 a
5
11
= =
C．已知等差数列 与{b }的前 项和分别为S 与T ，若T 3n−1，则b 7
n n n n n 5
a
8 <−1
D．设S 为等差数列 的前 项和，(n+1)S <nS (n∈N¿)，若a ，则 的最小值是S
n n n+1 7 7
11．若点 是函数f（x） 的图象上任意两点，且函数f（x）在点
A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）A．
x
1
<0
B．
0<x
1
<1
C． 最小值为e D．
x
1
x
2最大值为e
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如果某物体做运动方程为 的直线运动（s的单位为m，t的单位为s），那么其在1.2s末的
瞬时速度为______m/s．
{n+1
a =¿ ,n为奇数， ¿¿¿¿
13．设数列{ }的通项公式是 其前 项和为 ，则 =______
n 2
a S S
n n n 30
14．已知函数 与 的图像如下图所示，设函数 .
给出下列四个结论
①函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；
②函数 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减函数；
③函数 有三个极值点；④函数 有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
f (x)=x3 +x−16.
15（本小题13分）已知函数
y=f (x) (2，−6)
（1）求曲线 在点 处的切线的方程；
l y=f (x) l
（2）直线 为曲线 的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点的坐标.
{a } S {b } T
16.（本小题15分）已知等差数列 n 的前n项和为 n，等比数列 n 的前n项和为 n，
a =b =1,a +b =2.
1 1 2 2a +b =3 {b }
（1）若 3 3 ，求 n 的通项公式；
T =21 S
（2）若 3 ，求 3.
17．（本小题15分）已知数列 中， ， .
（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式 ；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18．（本小题17分）已知函数
(1)求函数 的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数 的大致图像；
(3)讨论关于x的方程 的实根个数．
.f (x)=ln(1+x2)+ax(a≤0).
19.（本小题17分）已知函数
f (x)
（1）讨论 的单调性；
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1+ ⋅ 1+ ⋅¿⋅ 1+ <e ¿ ¿
（2）证明： 24 34 n4参考答案
1．A
【详解】设第 幅图中着色的三角形个数为 ，
由图形可得 ， ， ， ，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为 .
故选：A.
2．B
【详解】根据导数的定义可知 .
故选：B
3．D
【详解】由题设 ，知： ， ， ，…，
∴ 是周期为3的数列，而 的余数为1，
∴ .
故选：D.
4．B
【详解】 时， ，此时 在 单调递减
时， ，此时 在 单调递增
时， ，此时 在 单调递减
时， ，此时 在 单调递增
在 处左增右减，故在 时 取得极大值在 处左减右增，故在 时 取得极小值
综上可知：B正确
故选：B
5．C
【详解】 ，由 在 单调递减，
∴ ，∴ ，∴ .
故选：C
6．A
【详解】根据题意分析可得： ， ，
， ，
， ， ， ， ，
所以 ．
故选：A
7．A
【详解】∵
∴
令
则 ，易知 在区间 单调递增， ，
∴ 在区间 单调递增，
又∵
∴ ，即 ，
∴令
则 ，当 时， ，
∴ 在区间 单调递增，
又∵
∴ ，即 ，
∴ ，
综上所述， ， ， 之间的大小关系为 .
故选：A.
8．D
【详解】由函数 ，
因为 ，即 ，即 在 恒成立，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，即为最大值 ，
所以 ，即 ，所以实数 的最小值为 .
故选：D.
9．BC
【详解】对于A，常数的导数为0，故A错误；对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
{a } {a +a }
【详解】若数列 n 是等差数列，则根据等差数列的性质，可知数列 n n+1 一定是等差数列，A正确.
{a } S =4a +6d=3,S =8a +28d=8
在等差数列 n 中，设公差为d，则 4 1 8 1 ，
1 9 9 16×15 1
d= ,a = ，S =16× + × =24,
解得 8 1 16 16 16 2 8 B正确.
S
n
4n+2 a
5
2a
5
a
1
+a
9
S
9
38 19
= = = = = =
在等差数列{a }与{b }中，若T 3n−1，则b 2b b +b T 26 13 ，C错误.
n n n 5 5 1 9 9
n(a +a ) (n+1)(a +a )
由(n+1)S
n
<nS
n+1 ，得
(n+1)
1
2
n
<n
2
1 n+1
，整理得
a
n
<a
n+1 ，
a
8 <−1
所以等差数列{a }是递增数列.又a ，所以a >0,a <0，所以数列{a }的前7项为负值，即S 的
n 7 8 7 n n
S
最小值是 7，D正确.
故选ABD.
11．CD
【详解】因为 ,点
所以因为 在点A和点B处的切线互相垂直
由导数几何意义可知, 在点A和点B处的切线的斜率之积为
所以 时,满足 ,即 .因为 ,所以
所以 ,所以A、B错误;
对于C,可知 ,令 ,
所以
令 ,得
所以当 时, ,则 在 时单调递减
所以 在 时取得极小值,即最小值为 ,所以C正确;
对于D,可知
令 ,
则
令 ,解得
所以当 时, ,则 在 时单调递减
当 时, ,则 在 时单调递增
所以 在 时取得极小值,即最小值为 .
当 时取得最大值, ,所以D正确.当 时,满足 ,即
此方程无解,所以不成立.
综上可知,D为正确选项.
故选:CD
12．
【详解】由 可得 ，
所以在1.2s末的瞬时速度为 m/s，
故答案为： ．
13. 240
S =(a +a +¿⋅¿+a )+(a +a +¿⋅¿+a )
【详解】由题意得 30 1 3 29 2 4 30
15×16
(1+2+¿⋅¿+15)+(1+2+¿⋅¿+15)= ×2=240.
= 2
14．②③④
【详解】由图像可知实的图像在区间 、 、 函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区
间 、 、 分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是
的图像，虚线是 的图像.
所以①错误，②正确；
因为 ，即 ，由图可知 恰有三个零点，故④正确；
又因为 ，
由图像可知 、 、 时， ，即 ，
又在区间 上， 的图像在 的图像的上方，即
在区间 上， 的图像在 的图像的下方，即在区间 上， 的图像在 的图像的上方，即
在区间 上， 的图像在 的图像的下方，即
所以 、 、 分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数 有三个极值点
所以③正确
故答案为②③④
13x−y−32=0 l:13x−y=0 (−2，−26)
15.（1） ；（2） ，切点
∵f, (x)=(x3 +x−16) , =3x2 +1
【详解】（1）
(2，−6) f, (2)=3×22 +1=13
∴在点 处的切线的斜率为 ，
y+6=13(x−2),即13x−y−32=0.
故切线方程为
（方法一）设切点为 (x 0 ,y 0 ), 则直线 l 的斜率为 f, (x 0 )=3x 0 2 +1
y=(3x +1)(x−x )+x +x −16.
∴直线 l 的方程为 0 2 0 0 3 0
l (0,0)，
又直线 过点
∴0=(3x +1)(−x )+x +x −16, x =−2.
0 2 0 0 3 0 解得 0
y =(−2) 3 +(−2)−16=−26,f, (−2)=3×(−2) 2 +1=13.
因此 0
l y=13x (−2，−26).
故直线 的方程为 ，切点坐标为
l y=kx (x ,y ),
（方法二）设直线 的方程为 ，切点为 0 0
y −0
x
3
+x
0
−16
k= 0 = 0 .∵k=f, (x )=3x +1,
则 x −0 x 0 0 2
0 0
x +x −16
3 0
∴ 0 =3x +1,
x 0 2 解得x =−2.
0 0∴y =(−2) 3 +(−2)−16=−26,k=3×(−2) 2 +1=13.
0
l y=13x (−2，−26).
故直线 的方程为 ，切点坐标为
b =2n−1 S =−6或21
16.（1） n ，（2） 3
{a } {b }
q
解析：（1）解：设等差数列 n 的公差为d,等比数列 n 的公比为 .
a =1,b =1,得a =1+d,b =q,a =1+2d,b =q2.
由 1 1 2 2 3 3
a +b =2,a +b =3,则： ¿ {(1+d)+q=2¿¿¿ {d+q=1¿¿¿¿
已知 2 2 3 3 ，化简得
d=1−q, 2(1−q)+q2 =2, q2 −2q=0 q=0 q=2.
由①得 代入②： 即 ，解得 （舍），或
d=−1, b =b qn−1 =2n−1.
则 所以 n 1
{b } T =b +b +b =1+q+q2 =21,
等比数列 n 的前3项和 3 1 2 3 即
q2 +q−20=0, q=4或q =−5.
解得
q=4 a +b =2 (1+d)+4=2 d=−3，S =−6.
当 时，由 2 2 ，得 ，解得 3
q=−5 a +b =2 (1+d)+(−5)=2 d=6，S =21.
当 时，由 2 2 ，得 ，解得 3
S =−6或21
综上， 3
17．(1)答案见解析；(2) .
【详解】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明 是等比数列，并求
的通项公式 ，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是以 为首项，以4为公比的等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2） ，
∴ ①
②
①-②得
∴ .18．(1)极小值为 ，无极大值
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）因为函数 定义域为 ， ，又 恒成立，
当 时， ；当 时， ；
所以， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值.
（2）当 时， ， ，则 恒成立，
图象如下：
（3）方程 的根的个数等价于函数 与 的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 有两个不同交点；
当 时， 与 有且仅有一个交点；当 时， 与 无交点；
综上所述：当 时，方程 有唯一的实数根；
当 时，方程 有两个不同的实数根；
当 时，方程 无实数根.
2x ax2 +2x+a
f, (x)= +a=
19.解：（1） 1+x2 1+x2
2x
f, (x)= >0⇔x>0
当a=0时， 1+x2
∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在(−∞，0)单调递减.
a<0且ax2 +2x+a=0的判别式Δ≤0，
当
a≤−1时，f, (x)≤0对x ∈R恒成立.
即
∴f(x)在R 上单调递减。
−1<a<0时，由f, (x)>0得：ax2 +2x+a>0
当
−1+ √1−a2 −1− √1−a2
<x<
解得： a a
−1− √1−a2 −1+ √1−a2
f, (x)<0可得：x> 或x <
由 a a
[ −1+ √1−a2 −1− √1−a2]
∴f(x)在 , 上单调递增，
a a
−1+ √1−a 2 −1− √1−a 2
在(−∞, ],[ ,+∞)上单调递减.
a a
a=−1时，f(x)在(−∞，+∞)上单调递减.
（2）由（1）当x>0时，f (x)<f (0),∴ln(1+x2)−x<0,即ln(1+x2)<x.
当
[ 1 1 1 ] 1 1 1
( )( ) ( )
∴ln 1+ ⋅ 1+ ⋅¿⋅ 1+ < + +¿⋅¿+
24 34 n4 22 32 n2
1 1 1 ( 1) (1 1) (1 1) 1
¿ + +¿⋅¿+ = 1− + − +¿⋅¿+ − =1− <1
1×2 2×3 n×(n−1) 2 2 3 n−1 n n
1 1 1
( )( ) ( )
∴ 1+ ⋅ 1+ ⋅¿⋅ 1+ <e.
24 34 n4
