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威远中学 2026 届高二下期半期考试
数 学
（命题人：第三小组）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共 58分）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． D．
4．在等比数列{an}中，an>0，且a+a=1，a+a=9，则a+a 的值为（ ）
1 2 3 4 4 5
A．16 B．27 C．36 D．81
5．已知等差数列 的公差 ， ， ，记该数列的前n项和为 ，则 的最大值为
（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
6．已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A．360 B．480 C．960 D．1280f(x)=xx,f' (x)为f(x)的导函数，则f' (1)=（）
8．
A．1 B．-1 C．2 D．-2
二.多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分）
9．已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． 的前n项和为
C． 的前100项和为100 D． 的前30项和为357
10．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B． 的单调递减区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
11．已知数列 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为
C． 为递增数列 D． 的前n项和
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92 分）
三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12．已知数列 的前 项和为 ， ，则 .
13．曲线 上的点到直线 的最短距离是 .
14．设 为数列 的前 项和，已知 ， ，则 .
四、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本小题满分13分）已知曲线 .(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求过点 且与曲线 相切的直线方程.
16.(本小题满分15分）已知数列 的前n项和 ，数列 的前n项和 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 ．
17.(本小题满分15分）已知数列 ，若 ，且 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前项和为 ，求 ．18.(本小题满分17分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题满分17分）已知函数 ，记 ，且 ，
(1)求 ， ；
(2)设 ， ，
（ⅰ）证明：数列 是等差数列；（ⅱ）数列 的前n项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求 的取值范围.威远中学校 2026 届高二下半期考试数学试题参考答案 .
1．D解：由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .故选：D
2．B解：由题意 ，且 ，所以 .故选：B.
3．C解：由题设， 且 ，可得 ，所以 递增区间为 .
故选：C
4．B解：∵a+a=1，a+a=9，∴q2=9.∴q=3（q=-3舍去）∴a+a=（a+a）q=27.故选：B
1 2 3 4 4 5 3 4
5．C解：等差数列 中，公差 ，即数列 是递减等差数列，
显然 ，而 ，且 ，解得 ，则 ，
，由 ，得 ，因此数列 前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以
的最大值为 .故选：C.
6．B解：由图象可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 或 时， ；当 时， ；
而 等价于 ①，或 ②，由①得 或 ，则 ，
由②得 ，则 ，综上， .故选：B.
7．D解：当n为奇数， ， ，当n为偶数， ， ，
因此 ， 的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；
的偶数项是以 为首项，3为公差的等差数列，所以
.故选：D
1
对y=xx两边取对可得：ln y=lnxx =xlnx,对等式左右两边同时求导可得： y' =lnx+1,
y
8. A解：
即y' =(lnx+1)y=xx (lnx+1)f' （1）=1
9．AD解：当 时， ，当 时， ，
两式相减可得： ，所以 ，
显然当 时， 满足 ，故 ，故A正确；由等差数列求和公式知 的前 项和为
，故B错误；令 ， 的前100项和为：
，故C错误；令 ，所以 的前30项和为：
，故D正确.故选：AD.10．BC解：对于A，由 （ ），得 ， ，则 ，所以 在 处
的切线方程为 ，所以A错误，对于B，由 ，得 ， ，所以 的单调递减区间
为 ，所以B正确，对于C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极大值 ，所以C正确，对于D，由C选项可知 的最大值为 ，且当
时， ，当 时， ， 所以函数 与 的交点个数为1，所以
有1个解，所以D错误，故选：BC
11．ABD解：因为 ，所以 +3，所以 ，又因为
，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即 ，故B正确；因为
，因为 ，所以
，所以 ，所以 为递减数列，故C错误； ，则
，故D正确.故选：ABD.
12． 解：当 时， ，当 时， ，
此时 ，不符，故 .故答案为：
13． 解：与 平行的直线和 相切，则斜率为 ，因为 ，所以 ，令 ，解
方程得 ，代入直线方程得切点 ，则点 到直线的距离就是曲线 的点到直线 的最短
距离，
由点到直线的距离公式知 ，故答案为： .
14. 解： ，令 ，则 ，∴又
， ，∴ ；
①， ②，①减②得：，∴ ，∴ .
15．(1) (2) 和 .
解：（1） 当 时， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）设切点坐标为 ，由（1）知切线的斜率为 ，故切线方程为 ，因为切
线过点 ，所以 ，即 ，所以 或 ，故过点 且
与曲线 相切的直线有两条，其方程分别是 和 ，即 和
.
16．(1) ， (2)
解：（1）因为数列 的前n项和 ，所以当 时， ；当 时， ，
此时 满足上式，故 ．因为数列 的前n项和 ，所以当 时， ；当 时，
，此时 满足上式，
故 ．
（2）因为 ，所以
，则 ，两
式相减得 ，
化简得 ．
17．(1)证明见解析， (2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 是以 为首项、 为公比的等比数列，所以 ，则 .
（2）由（1）可得 ，所以 ，
所以 .18．(1) 的单调递减区间为： ；递增区间为： ， 的极大值为 ，无极小值(2)
【详解】
（1）当 时， ， ．令 ，
，故 在R上单调递减，而 ，因此0是 在R上的唯一零点即：0是
在R上的唯一零点当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x 0
0
极大值
的单调递减区间为： ；递增区间为： 的极大值为 ，无极小值
（2）由题意知 ，即 ，即 ，设 ，则
，令 ，解得 ，当 ， ， 单调递增，当
， ， 单调递减，所以 ，
所以
19．(1) ， (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【详解】（1）函数 ， ，
.
（2）（i）由（1）知， ，又 ，可得 ，
而 ，则 ，
所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列，故 ，则 ， ，从而 ，所
以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（ii）由（i）得 ，即有 ， ，
于是 ，两式相减得
，所以 ，
又对任意的 ，满足 ，可得 恒成立，设 ，
则 ，当 时， ，即 ，当
时， ，即 ，
所以可得 的最大值为 ，所以 ，即 即可,
故 的取值范围 .
