文档内容
级⾼⼆ ⽉⽉考
2024 12
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将⾃⼰的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪
擦⼲净后，再选涂其它答案标号．
3．答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
4．所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的．
1. 某种细菌在⽣⻓过程中，每10分钟分裂⼀次（由⼀个分裂为两个），经过50分钟后，此细菌可由⼀个分
裂成（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 已知随机变量X服从正态分布 ，则 （ ）
（参考数据： ， ）
A.0.3413 B.0.4772 C.0.6826 D.0.9544
3. 已知数列 满⾜对任意的 ，都有 ．若 ，则 （ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4. 曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A.2 B.1 C. D.
5. 已知随机变量 服从⼆项分布 ，且 ，则 （ ）
A.10 B.16 C.18 D.20
6. 抛掷甲、⼄两枚质地均匀的骰⼦，在已知甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. ⼀植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A.8种 B.48种 C.192种 D.384种
8. 已知数列 满⾜ ， ， ，若数列 的前 项和为 ，
不等式 恒成⽴，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
B. 已知X是随机变量，则
C. 在残差图中，残差点分布的⽔平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越⾼
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
10. 已知 ，若
，则正确的是（ ）
A. B.
C. 除以6所得余数 5 D.
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处的切线⽅程为 B. 的单调递减区间为
C. 的极⼤值为 D. ⽅程 有两个不同的解
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知 为等差数列， ，则 ________．
13. 已知某地市场上供应的⼀种电⼦产品中，甲⼚产品占80%，⼄⼚产品占20%，甲⼚产品的合格率是70%，
⼄⼚产品的合格率是80%，则从该地市场上买到⼀个合格产品的概率是______.
14. 若不等式 （ 是⾃然对数的底数）对任意 恒成⽴，则当 取最⼤值时，实
数 __________.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等⽐数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最⼤值．
16. 某种机械设备随着使⽤年限的增加，它的使⽤功能逐渐减退，使⽤价值逐年减少，通常把它使⽤价值逐
年减少的“量”换算成费⽤，称之为“失效费”．某种机械设备的使⽤年限 （单位：年）与失效费 （单位：
万元）的统计数据如下表所示：
使⽤年限 （单位：年） 2 4 5 6 8
失效费 （单位：万元） 3 4 5 6 7
（1）根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性的强弱．
（已知： ，则认为 与 线性相关性很强； ，则认为与 线性相关性⼀般；
，则认为 与 线性相关性较弱）（ 的结果精确到0.0001）
（2）求 关于 的线性回归⽅程，并估算该种机械设备使⽤10年的失效费．
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司附：样本 的相关系数 ，经验回归⽅程 的
斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为 ， ．
17. 据世界⽥联官⽅⽹站消息，原定于2023年5⽉ ⽇在中国⼴州举办 世界⽥联接⼒赛延期⾄2025
年4⽉⾄5⽉举⾏.据了解，甲､⼄､丙三⽀队伍将会参加2025年4⽉⾄5⽉在⼴州举⾏的 ⽶接⼒的
⻆逐.接⼒赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进⼊决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获
胜的概率分别为 和 ；⼄队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；丙队在预赛和半决赛中获胜的
概率分别为 和 .
（1）甲､⼄､丙三队中，谁进⼊决赛的可能性最⼤；
（2）设甲､⼄､丙三队中进⼊决赛的队伍数为 ，求 的分布列.
18. 已知 （e为⾃然对数的底数）
（1）求曲线 在点 处 切线⽅程；
（2）求证：当 时， 恒成⽴；
（3）已知 ，如果当 时， 恒成⽴，求 的最⼤值.
19. ⻢尔可夫链是因俄国数学家安德烈·⻢尔可夫得名，其过程具备“⽆记忆” 性质，即第 次状态的概
率分布只跟第 次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，⻝堂从开学第⼀天起，每
餐只推出即点即取的⽶饭套餐和⾯⻝套餐．已知某同学每天中午会在⻝堂提供的两种套餐中选择，已知他
第⼀天选择⽶饭套餐的概率为 ，⽽前⼀天选择了⽶饭套餐后⼀天继续选择⽶饭套餐的概率为 ，前⼀天
选择⾯⻝套餐后继续选择⾯⻝套餐的概率为 ，如此往复．
（1）求该同学第⼆天中午选择⽶饭套餐 概率；
（2）记该同学第 天选择⽶饭套餐的概率为 ；
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司①证明： 为等⽐数列；
②当 时， 恒成⽴，求 取值范围．
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司级⾼⼆ ⽉⽉考
2024 12
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将⾃⼰的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪
擦⼲净后，再选涂其它答案标号．
3．答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
4．所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的．
1. 某种细菌在⽣⻓过程中，每10分钟分裂⼀次（由⼀个分裂为两个），经过50分钟后，此细菌可由⼀个分
裂成（ ）
A 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 分钟后共有 个，将 代⼊求解即可.
【详解】由题意可得⼀个细菌10分钟后共有 个，20分钟后共有 个，……，
从⽽得到 分钟后共有 个，
所以经过5次分裂(即50分钟后)，有 个.
故选；D.
2. 已知随机变量X服从正态分布 ，则 （ ）
（参考数据： ， ）
A.0.3413 B.0.4772 C.0.6826 D.0.9544
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质写出 ，再根据正态分布知识即可求解.
第1⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】 随机变量X服从正态分布 ,
,
,
根据正态分布对称性可得
故选：B.
3. 已知数列 满⾜对任意 ，都有 ．若 ，则 （ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件赋值可求得结果.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
4. 曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A.2 B.1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤商的导数来求切线斜率即可.
【详解】求导得： ，
当 时，切线斜率 ，
故选：A.
5. 已知随机变量 服从⼆项分布 ，且 ，则 （ ）
第2⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.10 B.16 C.18 D.20
【答案】D
【解析】
【分析】应⽤⼆项分布的⽅差 ，计算求得 ，结合⼆项分布的期望计算可得结果.
【详解】因为 ，解得 ，
所以 ，则 .
故选：D
6. 抛掷甲、⼄两枚质地均匀的骰⼦，在已知甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点
数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】⾸先确定甲骰⼦的点数为偶数的可能情况和概率，然后求甲骰⼦的点数为偶数的每种情况下⼄骰
⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数可能情况和概率，最后相加即是最后结果.
【详解】设事件A为“甲骰⼦的点数为偶数”，那么点数的可能性为2，4，6，
⽽且每种可能性的概率为 .
当甲骰⼦的点数为2时，要使得⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数，此时⼄骰⼦的点数只能是1，
此种情况概率为 .
当甲骰⼦的点数为4时，要使得⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数，此时⼄骰⼦的点数是1，2，3，
此种情况概率为 .
当甲骰⼦的点数为6时，要使得⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数，此时⼄骰⼦的点数是1，2，3，4，5，
此种情况概率为 .
所以甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数的概率为：
.
第3⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故在已知骰⼦甲骰⼦的点数为偶数的条件下，⼄骰⼦的点数⼩于甲骰⼦的点数的概率为
故选：C.
7. ⼀植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A.8种 B.48种 C.192种 D.384种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，要全部参观并且路线不重复，分为四步，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，若要全部参观并且路线不重复，可得分为四步：
第1步，选择四个“ 环形” 路线中的⼀个，有4种选法，再按顺时针和逆时针⽅向参观有2种选法，共有
；
第2步，选择三个“ 环形” 路线中的⼀个，有3种选法，再按顺时针和逆时针⽅向参观有2种选法，共有
；
第3步，选择两个“ 环形” 路线中的⼀个，有2种选法，再按顺时针和逆时针⽅向参观有2种选法，共有
；
第4步，最后⼀个“ 环形” 路线，按顺时针和逆时针⽅向参观有2种选法，共有 ，
由分步计数原理，则不同的参观路线共有 种不同的路线.
故选：D.
8. 已知数列 满⾜ ， ， ，若数列 的前 项和为 ，
不等式 恒成⽴，则 的取值范围为（ ）
A. B.
第4⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得数列 的通项公式，进⽽可得 ，进⽽分 为偶数与奇数两种情况求
得 ，进⽽可得 ，求解即可．
【详解】因为数列 满⾜ ， ，
所以数列 是以 为⾸项，2为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，记 ，
则 ，即
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
因为不等式 恒成⽴，即 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以解得 ，所以 的取值范围为 ．
故选：D．
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
B. 已知X是随机变量，则
第5⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 在残差图中，残差点分布的⽔平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越⾼
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可判断A，根据⽅差的性质可判断B，根据残差图的性质可判断C，根据相关
系数的性质可判断D．
【详解】对于A，对于等差数列，⽆论项数n为奇数或偶数，中位数均为⾸项与末项的平均数，
根据等差数列的性质可知，⾸项与末项的平均数即为整体的平均数，
所以等差数列的中位数和平均数相等，故A正确；
对于B，由⽅差的性质可知， ，
所以 ，故B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的⽔平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越⾼，故C正确；
对于D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误．
故选：ABC．
10. 已知 ，若
，则正确的是（ ）
A. B.
C. 除以6所得余数为5 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，已知式变为 ，可求得 判断A；
令 ，⼆项式化为 ，可求得 判断B；
,利⽤⼆项式展开式可判断除以6所得余数，判断C；
⼆项式两边都对 求导后令 可求得 ，从⽽判断D．
【详解】令 ，得 ∴ ，所以A正确；
第6⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司令 ∴ ，所以 ，所以B错误；
由A知 ，
所以 ，
所以 除以6的余数为5，C正确；
对于D，由 ，
两边求导可得 ，
令 ，得 ，所以D正确．
故选：ACD
11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处的切线⽅程为 B. 的单调递减区间为
C. 的极⼤值为 D. ⽅程 有两个不同的解
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利⽤导数的⼏何意义求解，对于B，求导后，由导数⼩于零求解，对于C，求导后求极值，
对于D，函数 与 的交点个数判断
【详解】对于A，由 （ ），得 ， ，则 ，所以 在
处的切线⽅程为 ，所以A错误，
对于B，由 ，得 ， ，所以 的单调递减区间为 ，所以B正确，
对于C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，所以当 时，
取得极⼤值 ，所以C正确，
对于D，由C选项可知 的最⼤值为 ，且当 时， ，当 时，
， 所以函数 与 的交点个数为1，所以 有1个解，所以D错误，
故选：BC
第7⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知 为等差数列， ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利⽤等差数列的下标性质求解即可.
【详解】因为 是等差数列且 ，
所以，由等差数列的性质可得 ,故答案为2.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属容易题．等差数列的性质:若 ，则
．
13. 已知某地市场上供应的⼀种电⼦产品中，甲⼚产品占80%，⼄⼚产品占20%，甲⼚产品的合格率是70%，
⼄⼚产品的合格率是80%，则从该地市场上买到⼀个合格产品的概率是______.
【答案】0.72##
【解析】
【分析】利⽤全概率公式求解从该地市场上买到⼀个合格产品的概率，需要先确定不同⼚家产品的概率以
及在各⼚家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果.
【详解】设“买到的产品是甲⼚产品”为事件 ，“买到的产品是⼄⼚产品”为事件 .
已知甲⼚产品占 ，⼄⼚产品占 ，所以 ， .
记“从该地市场上买到⼀个合格产品”为事件 .
因为甲⼚产品 合格率是 ，所以在买到甲⼚产品的条件下，产品合格的概率 ；
⼜因为⼄⼚产品的合格率是 ，所以在买到⼄⼚产品的条件下，产品合格的概率 .
根据全概率公式 .
将 ， ， ， 代⼊上式可得：
故答案为： .
14. 若不等式 （ 是⾃然对数的底数）对任意 恒成⽴，则当 取最⼤值时，实
数 __________.
第8⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令 ，可知当 时符合题意，利⽤导数可得函数 的单
调性和最⼩值 ，其中 ，令最⼩值⼤于或等于0，
进⽽得解.
【详解】由题意可知 ，令 ，
当 时，研究函数 与 的图象，
因为 ，当 时， ，所以函数 单调递减，
当 时， ，所以函数 单调递增，
所以函数 有最⼩值为 ，
⽽ 为单调递减的直线，如图，
此时 不恒成⽴，不符合题意；
当 时， ，
令 ， ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且由于函数 有最⼩值为 ，所以当 时，⽅程 有解，
设解为 ，则 ，且 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
第9⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 的最⼩值为 ，
由题意 恒成⽴，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 .
【点睛】关键点点睛：利⽤导数可知⽅程 有解，设解为 ，则 ，从⽽表示出 的
最⼩值，进⽽求解.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等⽐数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最⼤值．
【答案】（1）
（2）98
【解析】
【分析】（1）利⽤等差数列性质 列⽅程，设公差 求解，舍去 ，再⽤通项公式求 .
（2）先求 ，对 裂项，⽤裂项相消法算 ，根据 解不等式求 最⼤值.
【⼩问1详解】
设 的公差为 ，则
，解得 或 （舍去）
即 的通项公式为 ；
【⼩问2详解】
第10⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司， ，
由 ，即 ，解得
的最⼤值为98．
16. 某种机械设备随着使⽤年限的增加，它的使⽤功能逐渐减退，使⽤价值逐年减少，通常把它使⽤价值逐
年减少的“量”换算成费⽤，称之为“失效费”．某种机械设备的使⽤年限 （单位：年）与失效费 （单位：
万元）的统计数据如下表所示：
使⽤年限 （单位：年） 2 4 5 6 8
失效费 （单位：万元） 3 4 5 6 7
（1）根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 与 的线性相关性的强弱．
（已知： ，则认为 与 线性相关性很强； ，则认为与 线性相关性⼀般；
，则认为 与 线性相关性较弱）（ 的结果精确到0.0001）
（2）求 关于 的线性回归⽅程，并估算该种机械设备使⽤10年的失效费．
附：样本 的相关系数 ，经验回归⽅程 的
斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为 ， ．
【答案】（1） ，线性相关性很强
（2） ，8.5万元
【解析】
【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代⼊公式求得相关系数，并判断相关性强
弱即可；
第11⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）根据第⼀问求得的值，结合线性回归⽅程求解公式求得参数 ，写出回归⽅程，并预测10年的失
效费即可.
【⼩问1详解】
由表知， ， ，
，
， ，
，
故 ，认为 与 线性相关性很强；
【⼩问2详解】
由（1）知， ，
⼜ ， ，
故 关于 的线性回归⽅程为 ，
当 时， ，即估算10年的失效费为8.5万元．
17. 据世界⽥联官⽅⽹站消息，原定于2023年5⽉ ⽇在中国⼴州举办的世界⽥联接⼒赛延期⾄2025
年4⽉⾄5⽉举⾏.据了解，甲､⼄､丙三⽀队伍将会参加2025年4⽉⾄5⽉在⼴州举⾏的 ⽶接⼒的
⻆逐.接⼒赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进⼊决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获
胜的概率分别为 和 ；⼄队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；丙队在预赛和半决赛中获胜的
概率分别为 和 .
（1）甲､⼄､丙三队中，谁进⼊决赛的可能性最⼤；
（2）设甲､⼄､丙三队中进⼊决赛的队伍数为 ，求 的分布列.
【答案】（1）⼄进⼊决赛的可能性最⼤
第12⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据相互独⽴事件同时发⽣的概率公式计算得解；
（2）根据（1）及相互独⽴事件同时发⽣的概率公式计算，列出分布列.
【⼩问1详解】
甲队进⼊决赛的概率为 ，
⼄队进⼊决赛的概率为 ，
丙队进⼊决赛的概率为 ，
显然⼄队进⼊决赛的概率最⼤，所以⼄进⼊决赛的可能性最⼤．
【⼩问2详解】
由（1）可知：甲､⼄､丙三队进⼊决赛的概率分别为 ，
的可能取值为 ，
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
18. 已知 （e为⾃然对数的底数）
（1）求曲线 在点 处的切线⽅程；
第13⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）求证：当 时， 恒成⽴；
（3）已知 ，如果当 时， 恒成⽴，求 的最⼤值.
【答案】（1）
（2）证明⻅解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，然后利⽤导数的⼏何意义求切线⽅程；
（2）将不等式转化为 恒成⽴，构造函数 ， ，然后求其最⼩值即可；
（3）将不等式转化为 恒成⽴，构造函数 ，然后求导研究其最值即可.
【⼩问1详解】
由已知 ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线⽅程为 ；
【⼩问2详解】
，
设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成⽴；
【⼩问3详解】
当 ， 时， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
第14⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司令 ，得 ，令 ，得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成⽴，
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合 恒成⽴，
所以 ，
所以当 时， 恒成⽴， 的最⼤值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明 在 上恒成⽴，然后再设
新函数，利⽤导数得到范围.
19. ⻢尔可夫链是因俄国数学家安德烈·⻢尔可夫得名，其过程具备“⽆记忆” 性质，即第 次状态的概
率分布只跟第 次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，⻝堂从开学第⼀天起，每
餐只推出即点即取的⽶饭套餐和⾯⻝套餐．已知某同学每天中午会在⻝堂提供的两种套餐中选择，已知他
第⼀天选择⽶饭套餐的概率为 ，⽽前⼀天选择了⽶饭套餐后⼀天继续选择⽶饭套餐的概率为 ，前⼀天
选择⾯⻝套餐后继续选择⾯⻝套餐的概率为 ，如此往复．
（1）求该同学第⼆天中午选择⽶饭套餐的概率；
（2）记该同学第 天选择⽶饭套餐的概率为 ；
①证明： 为等⽐数列；
②当 时， 恒成⽴，求 取值范围．
【答案】（1）
（2）①证明⻅解析；②
【解析】
【分析】（1）设 为“第 天选择⽶饭套餐”， 为“第 天选择⽶饭套餐”，根据条件求出
，再利⽤全概率公式，即可求解；
第15⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）①设 为“第 天选择⽶饭套餐”，根据条件得到 ，
，利⽤全概率公式得到 ，即可证明结果；②由①得到 ，再对
分类讨论，利⽤单调性，即可求解.
【⼩问1详解】
设 为“第 天选择⽶饭套餐”， 为“第 天选择⽶饭套餐”，则 为“第1天不选择⽶饭套餐”，
根据题意 ，
由全概率公式得： .
【⼩问2详解】
①设 为“第 天选择⽶饭套餐”，则 ，
根据题意 ，
由全概率公式得： ，
因此 ，因为 ，
所以 是以 为⾸， 为公⽐的等⽐数列．
②由①可得 ，
当 为⼤于 的奇数时，
当 为正偶数时，
因此，当 时， ，所以 ．
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的第①问，利⽤全概率公式得到 ，
即可求解.
第16⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第17⻚/共17⻚
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