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油田高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
2．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的 接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能
站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m
则 （ ）
A． B．1 C． D．
4．若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10的25%分位数为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．已知 ，则 （ ）
A．32 B．31 C． D．1
7．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘
逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏， 能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡， 能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93
8．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得 分，记总得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是 的
事件为（ ）
A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴
C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴
10．已知 ， 分别为随机事件A，B的对立事件， ， ，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
11．对于函数 ，下列说法正确的有（ ）
A． 在 上单调递减，在 上单调递增
B．
C．设 有3个不同的零点，则
D．设 ，若对 ，使 成立，则
三、填空题
12． 的展开式中 的系数为________.13．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ______.
14．设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个
不同的零点，则称 与 在 上是“关联函数”.若 与 在
上是“关联函数”，则a的取值范围为______．
四、解答题
15．2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄
传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多
少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间．
17．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．
三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
18．已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；
19．在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记 为第
个时间步长车辆所在的车道（ ）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记
为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车
道 ，下一时刻变道至车道 的概率为 ；若当前在车道 ，下一时刻变道至车道 的概率为 .
(1)已知 时刻车辆处于车道 的概率为 ，处于车道 的概率为 .
① 直接写出 的值；
② 若 时刻车辆处于车道 ，求 时刻车辆处于车道 的概率.
(2)在第（1）问的初始概率条件下，记 ，求随机变量 的分布列（结果用含 的式子表
示）.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B D C D D AC ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】∵ ， ，
当 时， ，解得 .
2．B
【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，
①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有 种情况；
②当甲不站在第二位时，甲有 个位置可选，此时乙也有 种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共
有 种情况；
综上所述，一共有 种情况，
故选：B.
3．D
【详解】由题可知， ，解得 ，
则 ．
故选：D.
4．B
【详解】由题意可得 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，
由 ，故 .
故选：B.
5．D
【详解】由题意得样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10，则 ， ，又 不是整数，故取数据的第2个数据为 .
故样本数据的25%分位数为 .
6．C
【详解】令 ，则 ；
令 ，则 ，故 .
7．D
【详解】 .
8．D
【详解】设 为正面向上的次数，则 ，
总得分 ,
由于 ， ，
所以
，所以D正确.
9．AC
【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为 ，
因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分
别为 ；
所以恰有1个不是石榴的概率为 ，3个全不是石榴的概率为 ，恰有2个石榴的概率为 ，至少2个
不是石榴的概率为 ，
故选：AC．
10．ACD【详解】因为 ，A正确，B错误；
由独立事件定义，若A，B独立，则 ， ，C正确；
若A，B互斥，则 ， ， ，D正确．
故选：ACD
11．BCD
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
令 ，解得 ，即 ，
当 时， ，故 ， 单调递减；
当 时， ， ，故 ， 单调递减；
当 时， ， ，故 ， 单调递增；
选项A： 不在函数定义域内，故 在 上单调递减表述错误；
选项B：由函数 的单调性可知 上单调递减，在 单调递增，
，且 ， ，故B正确；
选项C：方程 有3个不同的零点，
等价于 有3个不同的实根；
当 时， ， ，此时 单调递减， 单调递增；且 时， ， 时， ；
当 时， 且单调递减， ， 时 ，
时取极小值 ；
当 时， 且单调递增， ， 时 ；
要使 与 有3个交点，直线必须处于 与 之间，且不能低于
极小值 ，
需满足 ，解得 ，故C正确；
选项D：由题意知， 的值域是 在 上值域的子集，
在 上恒成立，故 在 上单调递增，
，即 的值域为 ；
由 单调性可知， 在 处取得极小值， ，且 时，
，
的值域为 ，
要使 ，则需满足 ，故D正确．
12．
【详解】 的展开式的通项公式为 ，令 ，故 的系数为 .
13．0.8/
【详解】由 可得 ，因 ，
由正态曲线对称性，得 ，
则 .
14．
【详解】由题设 在 上有两个不同的解，
故 在 上有两个不同的解，
故设 ，
故直线 与 的图像在 上有两个不同的交点，
而
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ，故可画出大致图形如图所示：结合图形可得 .
15．(1)24
(2)16
(3)144
【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有 种.
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以其余2人观看影片的不同方法有 种.
（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法有 种.
16．(1)
(2)当 时， 的单调递增区间为 ，无递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
【详解】（1）当 时， ，所以 ，即切点坐标为 ，
又因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
所以当 时，因为 ，所以 恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ，
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
17．(1) ；
(2)分布列见解析， .
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
18．(1)极小值 ，无极大值
(2)
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 有极小值 ，无极大值.
（2）因为 恒成立，得 ， ，
令 ， ，则 ，
当 ， ，当 时， ，
即函数 在 上递减，在 上递增，
因此 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
19．(1)① ；②
(2) 的分布列为
0 1
【详解】（1）①由题意，车道转移概率：
当前在车道0时，留在0的概率为 ，变道到1的概率为 ；
当前在车道1时，变道到0的概率为 ，留在1的概率为 ；
因此一步转移的概率矩阵为 .
②设事件 ： 时刻车辆在车道0， ： 时刻车辆在车道1， ： 时刻车辆在车道1，
已知 ， ， ， ，由贝叶斯公式 .
（2）设 ，
由全概率公式得递推关系 ，
则 ，且 ，此时 ，
故 为等比数列且公比为 ，首项为 ，故 .
而 也满足此时， 即 ,
所以 .
故 的分布列为
0 1
