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广东茂名市2025-2026学年高二下学期5月期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．若1， ， ， ，4成等比数列，则 （ ）
A．16 B．8 C． D．
4．曲线 （其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点 处的切线的斜率为
A．2 B．3 C． D．
5． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．一个小球作简谐振动，其运动方程为 ，其中 (单位： 是小球相对于平衡点
的位移， (单位： )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， （ ）
A．1 B． C． D．8．已知等比数列 满足 若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10．如图，过原点斜率为 的直线与曲线 交于两点 以下结论中正确的有（ ）
A． 的取值范围是
B．函数 有两个极值点
C．当时 先减后增且恒为负
D．
11．某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有 共7个节目，则
下列结论正确的是（ ）
A．若节目 与节目 相邻，则共有1440种不同的安排方法
B．若节目 与节目 不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C．若节目 在节目 之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法D．若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方
法
三、填空题
12．若 ，则 ________
13．已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和等于 .
14．已知函数 的定义域为 ， ，对任意 ，则 的解集为
____________．
四、解答题
15．已知函数
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若方程 恰有一个实数解，求实数 的取值范围.
16．随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁
公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（ ）
乘坐站数
票价（元） 2 4 6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．
(1)若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
17．在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 满足
．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
18．若数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证： 是等比数列；
(2)求 的通项公式；
(3)求 的前 项和 .
19．已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)设函数 ．
①若 时，函数 单调递增，求 的取值范围；
②若函数 无零点，求 的取值范围．参考答案
1．D
【详解】函数 的定义域为 ， .
.
2．A
【详解】由组合数性质 ，
得 ，
．
故选：A．
3．B
【详解】因为1， ， ， ，4成等比数列，
，
，(负不合题意，奇数项符号相同)，
则 ，
故选：B.
4．A
【详解】试题分析： ，故选A
5．A
【详解】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
6．D
【详解】由 得 ，解得 .故选：D.
7．D
【详解】小球的瞬时速度为 ， ， ，
因此首次达到最大值时， ．
故选：D．
8．A
【详解】构造函数 （ ），则 ，
令 ，解得 ； 令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以函数在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以等比数列的公比 ，
若 ，则 ，
此时 ，这与 矛盾；
若 ， ， ，
，即 .
故选：A
9．AD
【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列
问题．
故选：AD10．ACD
【分析】构造 ，利用导数去确定 的单调区间，再判断每个选项的正确性.
【详解】由题意， 与 交于两点，即方程 有两个正根，等价于 有两个解.
令 ，则 ，令 ， .
极大值
又 ， ， 的取值范围 ，A选项正确.
， ，令 ，得 ，故 只有一个极值点 ，B选项错
误.
由 ，得 .
当 ， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.
是交点， ，且 ，故 时， 先减后增，且 ，C正确.
在 递增，在 递减， ，又 .
， ，同理 ， .
，D正确.
11．ABC
【详解】若节目 与节目 相邻，共有 种不同的安排方法，故 正确；
若节目 与节目 不相邻，共有 种不同的安排方法，故B正确；因为节目 在节目 之前表演与节目 在节目 之前表演的情况是一样的，
所以共有 种不同的安排方法，故C正确；
添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况，
共有 种不同的安排方法，故D错误.
故选： .
12．10
【详解】根据组合数的性质
所以
故答案为:10
13．
【详解】由题意， ，解得 或者 ，
而数列 是递增的等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
因而数列 的前 项和 ，故答案为 .
14． .
【详解】设 ，可得 ，
因为对任意 ，所以 ，所以 在 为单调递增函数，
又由 ，可得 ，
所以当 时， ，即不等式 的解集为 .
故答案为： .15．(1) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ， 的极大值为 ，
的极小值为
(2) .
【详解】（1） ， .
令 ，解得 或 .
递增 极大值 递减 极小值 递增
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
的极大值为 ， 的极小值为 .
（2）由（1）可知 的极大值为 ， 的极小值为 .
当 ， ，作出 的大致图象如下：
要使 恰有一个实数解，则 的图象与 的图象有且仅有一个交点，
由图象可得 的取值范围为 .
16．(1)40种.(2)34种．
【详解】（1）若甲、乙两人共付车费6元，则其中一人乘坐地铁站数不超过4站，另外一人乘坐地铁站数
超过4站且不超过9站，共有 （种），
故甲、乙下地铁的方案共有40种.
（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过4站，乙乘地铁站数超过9站且不超过15站，有 （种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过4站且不超过9站，记地铁第五站至第九站分别为 ， ， ， ，
，易知甲比乙先下地铁有以下四种情形：
①甲 站下，乙下地铁方式有 种；
②甲 站下，乙下地铁方式有 种；
③甲 站下，乙下地铁方式有 种；
④甲 站下，乙只能从 下地铁，共有1种方式，
共有10（种），
依据分类加法计数原理，得24+10=34（种），
故甲比乙先下地铁的方案共有34种．
17．(1) ,
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，且 ，
因为 ，且 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 (舍)，
所以 ；数列 的前n项和 满足 ①，
所以当 时， ，
当 时， ②，
所以由① ②得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ③，
④，
由③ ④得
，
.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）已知 ，则 ，整理得： ，
即 ，又因为首项 ，
因此 是首项为 、公比为 的等比数列，得证.
（2）由（1）的结论可知，等比数列通项为： ，
整理得： .
（3）由（2）可知， ，
所以 ， ，
相加整理得： .
19．(1)证明见解析
(2)① ；②
【详解】（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以 在 处取得极大值，即最大值，最大值为 .
所以 ；
（2）函数 的定义域为 ，
.①若 时，函数 单调递增，则 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，即 在 上恒成立.
令 ，则 恒成立，
所以 是增函数，所以 .
所以 的取值范围是 ；
②当 时， ，所以 在定义域 上无零点；
当 时， ，
若 ，则 ， ；
若 ，则 ，则 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 在 处取得极大值，即最大值，最大值为 .
若函数 无零点，则 ，所以 .
当 时，由 ，得 ；
又 ，所以 恒成立， 无零点.
