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广东省茂名市信宜市2025-2026学年高二上学期11月期中
数学试题
一、单选题
1．为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学
生被抽到的可能性为（ ）
A． B． C． D．
2．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ）
A．32 B．33 C．48 D．49
4．已知数据3，7，4，7， ，6的平均数是5，则这组数据的方差为（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．将直线 ： 绕其与 轴的交点旋转 得到直线 ，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 ： ， ： ，若 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D．
7．如图，三个自动开关 ， ， 正常工作的概率都是 ，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电
路不发生故障的概率是（ ）
A． B． C． D．8．已知 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A． 与 互斥不对立 B． 与 对立
C． 与 相互独立 D． 与 既互斥又独立
二、多选题
9．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年
12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．图中前三个数据的平均值为49.9%
B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大
C．图中PMI指数的极差为3.8%
D．2023年PMI指数的众数为49.0
11．如图，在棱长为2的正方体 中， 是线段 的中点，点 ， 满足 ，
，其中 ， ，则（ ）A．当 ， 时，点 到直线 的距离为
B．当 取最小值时，
C．存在 ， ，使得
D．当 ， 时，过 ， ， 三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为
三、填空题
12．已知向量 ， ，则
13．经过 ， 两点的直线的方向向量为 ，则 的值为
14．已知 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则 的最小值是
四、解答题
15．一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球.
(1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率；
(2)从盒中任取一球，记下该球的编号 ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号 ，求事件“
”发生的概率.
16．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， .(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)求证：平面 平面
17．一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ，
，…， ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间
中点值作代表）；
(2)全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用
上述数据计算全班学生的平均分 ，总方差 .
18．如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ， ， .
(1)求平面 与平面 夹角的余弦值；(2)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ?若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由.
19．在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有
失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进
行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，
胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，
其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛
制：假设四支队伍分别为 ， ， ， ，其中 对阵其他三个队伍时获胜的概率均为 ，另外
三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为 ，最初分组时， ， 同组， ， 同组.
(1)若 ，在传统的淘汰赛赛制下， ， 获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下 获得冠军的概率（用 表示），并根据 获得冠军的概率简单分析一下双败赛制
下是否对强队更有利？参考答案
1．A
【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为 ,
故选：A
2．B
【详解】设直线 的倾斜角为 ，且 ，
则 ，所以 .
故选：B
3．B
【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53，
因为 ，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数 .
故选：B.
4．A
【详解】由条件可知， ，得 ，
这组数据的方差 .
故选：A
5．B
【详解】由条件可知， 与 轴的交点为 ，且斜率为 ，因为 ，所以直线 的斜率为 ，所以
直线 的方程是 ，整理为 .
故选：B
6．D
【详解】因为直线 ： ， ： ，且 ，
所以 ，解得 ，
故选：D7．D
【详解】记“三个元件 ， ， 正常工作”分别为事件 ， ， ，则 ， ，
.
不发生故障的事件为 ，
∴不发生故障的概率为 .
故选：D
8．C
【详解】由 可得 ，
因为 ，则 与 不互斥，不对立，
由 可得 ，
因为 ，所以 与 相互独立
故选：C
9．ACD
【详解】向量 ， ， ，
因为 ，所以 ，A选项正确；
易知不存在实数 使得 ，所以 不平行，B选项错误；
显然 ，所以 ，C选项正确；
易知 ，D选项正确；
故选：ACD.
10．ABD【详解】对于A，前三个数据为 ， ， ，所以前三个数据的平均值为
，故A选项正确；
对于B，从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大，稳定性最差，所
以方差最大，故B选项正确；
对于C，图中PMI指数的最大值为 %，最小值为 %，故极差为 %，C选项错误；
对于D，2023年PMI指数中，49.0出现两次，其他的出现一次，故2023年PMI指数的众数为49.0,故D选
项正确.
故选：ABD
11．ABD
【详解】以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示空间直角
坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， .
选项A：当 时， ， ， ， ，
取 ， ，
点 到直线 的距离为 ， A正确.
选项B： 最小时， 是 ， 的公垂线段， ， ，，
，解得 ， B正确.
选项C： ，
，
若 ，则 ,即 ，
因为 ， ，显然 ，所以 不成立，C错误；
选项D：当 ， 时，在 取靠近 点的三等分点 ，连接 并延长交 于点 ，易得点
是靠近 点的三等分点，取靠近 点的三等分点 ，如图所示，
因为 三点共线，点 分别是 的中点，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 四点共面，
又 ，所以 共面
所以过 ， ， 三点的平面截正方体得到的截面多边形为四边形 ，
则 ，且 ，又因为 平面 ，所以 ，即 ，
则四边形 为矩形， ， ，求得面积为 ，D正确.
故选：ABD12．24
【详解】 ，
所以 .
故答案为：
13．
【详解】由条件可知直线 的斜率为2，所以 ，得 .
故答案为：
14． /
【详解】法一：
根据正方体的性质，可不妨设 在下底面的棱上动点，又设 中点为 ，
则
当 与 中点 重合时， 取到最小值 ，
当 为底面对角线的顶点时， 取到最大值 ，
所以当 为底面中心， 为底面对角线的顶点时, 取到最小值 ；
法二、如图建立空间直角坐标系，设 ， ， ，其中 ， ， .
则 ， .
则
，
当 在正方体同一面上时，则当 ， ， 时， 取得最小值，
，
即当 为正方体一面的对角线， 为对角线中点时， 取得最小值 ；
当 、 、 不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设 ， ， 不同时为0，
此时
；
因为 ， ， ，则 ，
所以 ，
综上， 的最小值是 .15．(1)
(2)
【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：
， ， ， ， ， ，共6个，
记取出的两球编号之和大于5的事件为 ，
则事件 包含， ， 共2个等可能基本事件
所以 ；
所以取出的两球编号之和大于5的概率为 .
（2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， 共16个，
记 的事件为 ，
则事件 包含 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10个等可能基
本事件，
所以 ，
所以事件“ ”发生的概率为 .
16．(1)
(2)证明见解析【详解】（1）
依题意，以点 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的 空间直
角坐标系.
则 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ， ，
则 ，即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
， ，
设 与平面 所成角为 ，则
（2）由（1）知 为平面 的一个法向量
设平面 的法向量 ，又向量 ， ，
则 ，即 ，
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
因为 ，所以 .
所以平面 平面 .
17．(1) ，众数为75，平均数为72，第80百分位数为85
(2)平均分73，总方差26【详解】（1） 各组小矩形的面积之和为1，
所以
解得 .
由频率分布直方图可知：众数为75，
平均数为 .
设第80百分位数为 ，成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为
所以 ， ，
解得
故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80百分位数为85.
（2）依题意，得两组成绩合并后的总平均数为 ，
总方差 .
故全班学生的平均分73，总方差26.
18．(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为 ， ， ，所以 ，即 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
以 为坐标原点，直线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，则 ，
易知平面 的法向量为 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（2）假设线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ，
由（1）知， ，设 ， ，
所以 ，则 ，
由（1）知平面 的法向量为 ， ，所以点 到平面 的距离为 ，解得 ，
所以当 时，存在点 满足题意.
19．(1) 获得冠军概率为 ， 获得冠军的概率为
(2)传统的淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率为 ，双败赛制下， 获得冠军的概率为 ，双败赛
制对强队更有利.
【详解】（1）在传统的淘汰赛赛制下， 获得冠军： 组 获胜，再由 与 组胜者决赛并胜出，
则 获得冠军的概率为 .
依题意， 获得冠军： 组 获胜，再由 与 组胜者决赛并胜出，
则 获得冠军的概率为 .
所以在传统的淘汰赛赛制下 获得冠军概率为 ， 获得冠军的概率为 .
（2）在传统的淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率为 ，
在双败赛制下，讨论 进入胜者组、败者组两种情况，
当 进入胜者组，若在胜者组 失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组 胜利，
后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为 ；
当 进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时 获得冠军的概率为 ，
因此 获得冠军的概率为 ，
，
由 ，得 ， ，若 为强队，则 ，此时 ，
即 ，因此 ， 获得冠军的概率更大，
