数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷_1205浙江省六校联盟2024-2025学年高二期中联考_浙江省六校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

保密★考试结束前 六校联盟2024学年第一学期期中联考 (2024.11) 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求 的，不选、多选、错选均不得分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C C D B A 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要 求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABC 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 14 (5分) 13. 24 (5分) 14. x2y2 3 (5分) 四、解答题(本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19 小题17分；共77分) 15.(13分) (1)连ON ，MN ONOM …………(2分) 1 1 2 1 1 2 OM  OA a，ON  OC OB b c …………(3分) 2 2 3 3 3 3 1 1 2 MN  a b c …………(1分) 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) MN  a b c，所以 MN   a b c …………(2分) 2 3 3 2 3 3 1 2 1 2 4 2 1 2 4  a  b  c  ab ac bc …………(1分) 4 9 9 3 3 9 因为是正四面体，OA4， 2 2 2 所以a b c 16，abacbc8 …………(3分) 2 116 40 76 2 19 MN    .所以 MN  …………(1分) 9 9 9 3 16.(15分) (1)设Px,y，因为 PB 2 PA 所以 x22y2 2 x12y2 …………(2分) 平方化解可得x24xy2 0，即x22y2 4 …………(4分) 六校联盟期中联考【高二数学】答案及评分标准(第1页,共5页) {#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}(2)已知直线l:ykx1与圆C 交于P，Q两点，设Px,y ,Qx ,y  1 1 1 2 2 ykx1  联立 ，得(1k2)x22k4x10 …………(2分)  x22 y2 4  Δ4k22 4  k21  0   2k4  3  所以  x 1 x 2  1k2 ，得k   4 ,  …………(2分)  1   x 1 x 2  1k2 OPOQx x y y   1k2 x x kx x 1 2k24k 23 …………(3分) 1 2 1 2 1 2 1 2 1k2 1 3 1 解得k  或-1，因为k  ，所以k  …………(2分) 3 4 3 17.(15分) (1)在四棱锥中P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， AB平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 所以AB⊥平面PAD， …………(3分) 又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. …………(2分) (2)如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系 A-xyz， …………(1分) 由AB=AP=2，CD= 2 ，PAD=120°，ADC=45°， 则B(2,0,0)，P(0,-1, 3)，设AD=t，则D(0,t,0)，C(1,t-1,0)， …………(2分) 所以CP  1,t, 3 ，CD1,1,0 ①设平面PCD的法向量为nx,y,z，由nCP，nCD，得： xty 3z0  1t  ，可取n1,1,  …………(2分) xy0  3    则有：sin cos n,BP ，BP 2,1, 3 ， 33 211t 即：  44 1t2 413 11 3 化简得：7t230t270 六校联盟期中联考【高二数学】答案及评分标准(第2页,共5页) {#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}9 解得t=3或t  舍， 7 所以AD=3 …………(2分)  4   5 3 因为平面PCD的法向量n  1,1, 3   ，同理可求得平面PBC的法向量n 1    2,1, 3    ……(1分) nn 29 55 设二面角B-PC-D的夹角大小为，则 cos 1  n n 220 1 29 55 所以二面角B-PC-D的夹角的余弦值为 …………(2分) 220 18.(17分) (1)依题意有c=1，a=2，解得b2=a2-c2=3， …………(2分) x2 y2 所以椭圆的方程为  1. …………(1分) 4 3 1 (2)①设l ：x=my+1(m≠0)，A(x ,y )，B(x ,y )，则l ：x y1m0， …………(1分) AB 1 1 2 2 CD m 联立   xmy1 ，故  3m24  y26my90 ， 4m240 ， y y  6m ， 3x24y2 12 1 2 3m24 8 x x my y 2 …………(1分) 1 2 1 2 3m24 m21 由弦长公式可得： AB  1m2 y y 12 2 1 3m24 m21 同理可得： CD 12 ， 4m23  m21 2 1 所以S = AB CD 72 …………(2分) 四边形ABCD 2  3m24  34m2 72 72 288 令tm21t1，则S    …………(2分)  1  1 72 1 1 2 49 49 t2 t  t  2    4 288 当m2=1，S的最小值是 …………(1分) 49 6m 8 ②∵y y  ，x x my y 2 …………(1分) 1 2 3m24 1 2 1 2 3m24  4 3m  1  4m2 3m  ∴M 3m24 , 3m24   ，由 m 代替m，得N  34m2 , 34m2    ， …………(1分) 六校联盟期中联考【高二数学】答案及评分标准(第3页,共5页) {#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}4 4m2 4 4  当 3m24  34m2 ，即m2=1时，l MN ：x 7 ，过点K 7 ,0  . …………(1分) 4 4m2 7m 当  ，即m2≠1时，K  ， 3m24 34m2 MN 4  m21  l MN ：y 3m 3 2 m 4  4  m 7 2 m 1     x 3m2 4 4     m2 1,m0  4  当y=0，经验证直线MN过点K ,0. …………(3分) 7  4  综上，直线MN恒过点K ,0. …………(1分) 7  19.(17分) (1)d(A,B) 11 21 5 …………(2分) OAOB 12 3 10 cos(A,B)cosOA,OB   OA OB 5 2 10 3 10 103 10 eA,B1cosA,B1  …………(3分) 10 10 (2)设N(x,y)，由题意得：d(M,N)|2x||1y|1， 即|x2||y1|1，而|x2||y1|1表示的图形是正方形ABCD， 其中A(2,0)、B(3,1)、C(2,2)、D(1,1)． …………(3分) 即点N在正方形ABCD的边上运动，OM (2,1)，ON (x,y)， 可知：当cos(M,N)cosOM,ON 取到最小值时，OM,ON 最大，相应的e(M,N)有最大 值． …………(1分) 因此，点N有如下两种可能： 4 2 5 ①点N为点A，则ON (2,0)，可得cos(M,N)cosOM,ON   ； 2 5 5 ②点N在线段CD上运动时，此时ON 与DC(1,1)同向，取ON (1,1)， 六校联盟期中联考【高二数学】答案及评分标准(第4页,共5页) {#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}3 3 10 则cos(M,N)cosOM,ON   ． 5 2 10 3 10 2 5 2 5 因为  ，所以e(M,N)的最大值为1 ． …………(3分) 10 5 5 1k (3)易知D(O,P)  ，设P(x,kxk1)，则d(O,P)h(x)|x||kxk1| min k21 当k=0时，d(O,P)h(x)|x||1|，则d(O,P) =1，D(O,P) =1，满足题意； …………(2分) min min k1 当k≠0时，d(O,P)h(x) x  kxk1  x  k  x ， k  k1 由分段函数性质可知d(O,P) min min  h(0),h  k     ， |1k| k1 k1 1k 又h(0)|1k| 且h   恒成立，当且仅当k=1时等号成立． k21  k  k k21 综上，满足条件的直线有且只有两条，l:y=1和y=x． …………(3分) 六校联盟期中联考【高二数学】答案及评分标准(第5页,共5页) {#{QQABCYaEoggAAAAAAAgCAwFyCEKQkgACCSgOAFAEoAAASRNABAA=}#}