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福建漳州市2025-2026 学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．记△ABC 的内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．复数
的实部与虚部之和为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知
，
是两个不共线的单位向量，
，
，若与
共线，则
（ ）
A．
B．6
C．
D．
4．用斜二测画法画出的水平放置的正六边形
的直观图如图所示，
是
的中点，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
5．已知点
，
，C 是线段
上最靠近B的一个四等分点，则C的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知单位向量
满足
，则在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．上底面、下底面面积分别为
，
，高为
的棱台容器中装满了水，如图，将棱台容器中的水
全部倒入倒立的底面半径与高均为
的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容器
中的水面高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．台风中心B位于A地（视为质点）正西方向
处，正向北偏东
方向移动，速度的大小为
，
距离台风中心
范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么A地遭受台风影响的持续时间为
（ ）（取
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知复数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在边长为2 的正方形ABCD中，剪去以C为圆心，1 为半径的扇形
后得到的图形如图所示，以
所在的直线为轴，其余边和弧EF旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体的形状为圆柱中挖去1
2个球
B．该几何体的形状为圆柱中挖去1
4 个球
C．该几何体的表面积为
D．该几何体的体积为
11．已知△ABC的内角
的对边分别为
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．△ABC外接圆的半径为
C．
的最大值为4
D．若△ABC的外心为O，则
的最大值为4
三、填空题
12．十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面.
13．已知复数
，
在复平面内对应的点关于虚轴对称，且
在复平面内对应的点位于第一象限，则
在复平面内对应的点不可能位于第_________象限.
14．函数
的最大值为________．
四、解答题
15．已知向量
，
．
(1)求与
夹角的余弦值；
(2)若
，求 ．
16．已知△ABC的内角
的对边分别为
，且
的面积为
．
(1)求A；
(2)若A为钝角，且△ABC的周长为
，求．
17．（1）若
是关于x的方程
的一个根，求
；
（2）若对任意
，关于x的方程
都有纯虚数根，求出该纯虚数根.
18．如图，在梯形ABCD中，
，
分别是边
上不与端点重合的点，
且
.
(1)用
表示
；
(2)若
与EF交于点P，求
；
(3)若
，求
的最小值.
19．已知△ABC的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求B.
(2)已知D为AC边上的一点，且
.
（i）求
；
（ii）若
是线段
上（不与B重合）的一个动点，求
的最小值.
参考答案
1．C
【详解】在△ABC中，因为
，
由正弦定理
，可得
.
2．A
【详解】因为
，所以该复数的实部与虚部之和为
．
3．A
【详解】由向量
与向量
共线，且向量
不共线，
得
，所以
.
4．C
【详解】如图，O为正六边形
的中心，M为边
的中点，
由斜二测画法规则知，
，所以
.
5．B
【详解】由题意，C为线段
上靠近B的四等分点，故
.
已知
，
，则
，
因此
，
即点C的坐标为
.
6．A
【详解】因为
，可得
，解得
，
又因为
都是单位向量，可得
，
所以向量在
上的投影向量为
.
7．B
【详解】上底面、下底面面积分别为
，
，高为
的棱台容器中装满了水，所以水的体积为
，
设圆锥容器中的水面高度为，又因为圆锥的底面半径与高均为
，所以水的截面半径为，
所以
，所以
，所以
.
8．B
【详解】如图，假设台风中心B到达C点时，
.
设
，易得
.
由余弦定理
，得
，得
或
，
所以A地遭受台风影响的持续时间为
.
9．BC
【详解】
，A 错误.
，B 正确.
，C 正确.
，D 错误.
10．AD
【详解】对于A，B，正方形ABCD以
所在的直线为轴旋转一周，形成一个底面半径为2，高为2 的圆
柱；由正方形ABCD得
，则扇形
（圆心角为90°的扇形）绕
所在的直线为轴旋转一周，
形成一个半球（球的半径为1），因此该几何体的形状为圆柱中挖去1
2个球，如图所示，
故A 正确，B 错误；
对于C，圆柱的底面半径
，高
，半球的半径
，则
，
，
，
，得
，故C 错误；
对于D，圆柱的底面半径
，高
，半球的半径
，则
，
，得
，故D 正确.
11．BCD
【详解】对于A：因为
，由正弦定理得
，
又
，
所以
.
因为
，所以
，
所以
，又
，
即
.
又
，所以
，所以
，所以
，
由
，得
，所以
，故A 错误；
对于B：设△ABC外接圆的半径为
，
由
，解得
，故B 正确.
对于C：由余弦定理
，得
，
当且仅当
时，等号成立，所以
的最大值为4，故C 正确；
对于D：因为△ABC的外心为O，
所以
.
因为
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以
，
所以
，
所以
的最大值为4，故D 正确.
12． 20 30 12
【详解】十棱柱的上下底面都是
边形，所以每个底面有
个顶点，因此总顶点数为
，
上下底面各有
条边，再加
条侧棱，因此总棱数为
，
包含2 个底面和
个侧面，因此总面数为12
13．四
【详解】设
（
，
），则
，则
，
在复平面内对应的点为
.
当
时，
位于第三象限，
当
时，
位于第二象限，
当
时，
位于第一象限，
当
时，
位于坐标轴上.
综上，
不可能位于第四象限.
14．
【详解】由
，解得
，∴
的定义域为
，且
.
由柯西不等式得，
，当且仅当
即
时等号成立；
，即
的最大值为
.
15．(1)
(2)
．
【详解】（1）由题意得
，
，
，
所以与
夹角的余弦值为
．
（2）
，
，
因为
，
所以
，
得
．
16．(1)
或
(2)
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
．
由△ABC的面积
，得
．
因为
，所以
或
．
（2）因为A为钝角，由（1）知
．
由余弦定理
，
得
又
，所以
．
17．（1）
；（2）
.
【详解】解：（1）由题意知，
是关于x的方程的一个根，可得方程的另一个根为
，
由韦达定理得
，解得
.
（2）设该方程的纯虚数根为
，且
，
可得
，整理得
，
所以
，因为该方程对任意
都成立，所以
，解得
，
经验证：
适合方程
，所以该方程的纯虚数根为
.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在梯形ABCD中，因为
且
，
可得
，
根据向量的运算法则，可得
.
（2）由
，可得
，
设
，则
，
因为
三点共线，所以
，解得
，
所以
.
（3）设
，则
，
可得
，由
可得
；
则
，
当
时，
取得最小值，且最小值为
.
19．(1)
(2)（i）
；（ii）
【详解】（1）由正弦定理得
，
得
则
.由
，得
，
所以
，则
.
因为
，所以
.
（2）（i）在
中，由正弦定理得
，
；
在
中，由正弦定理得
，
因为
，所以
.
故
.
（ii）由余弦定理
，得
结合
，得
.
如图，作
（点F在BC的下方），
，垂足为F，过点A作
，垂足为G.
，
则
.
故
的最小值为
.
