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福建厦泉五校2025-2026 学年高一下学期期中联考数学试题
一、单选题
1．
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
2．
中，角
所对的边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
3．如图，四边形
的斜二测画法的直观图为等腰梯形
，已知
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的面积为
D．四边形
的周长为
4．如图，D 是
的边AC 的中点，点E 在BD 上，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知直三棱柱
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知正六边形
的边长为2，对称中心为
，以
为圆心作半径为1 的圆，点
为圆
上任意一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类
比赵爽弦图，用3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边
，若
，则AC＝
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
二、多选题
9．已知
都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，则
C．若
，则
是实数
D．若
，则
10．
的内角：
所对边分别为
，下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是等腰三角形
C．若
，则
是锐角三角形
D．若
，则
是等腰直角三角形
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量
，
，且
，则
B．向量
，
，则“
的夹角为锐角”是“
”的充要条件
C．若
，
、
分别表示
、
的面积，则
D．在
中，向量
与
满足
，且
，则
为等边三角形
三、填空题
12．已知向量
的夹角为
，
，
，则
________．
13．在一个底面圆直径和高都是2 的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点
是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________.
14．已知在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，点O 为其外接圆的圆心，已知
，则当角C 取到最大值时△ABC 的面积为___________.
四、解答题
15．知复数
，复数
在复平面内对应的点为
(1)若复数
是关于
的方程
的一个根，
，求
的值：
(2)若复数
满足
，求复数
的共轭复数
.
16．已知
，
，
是同一平面内的三个不同向量，其中
.
(1)若
，且
，求
；
(2)若
，且
，求
的最小值，并求出此时
与
夹角的余弦值.
17．在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并解答.
问题：
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知______.
(1)求
；
(2)若
为
的中点，
，
，求
的面积.
18．如图
是在沿海海面上相距
海里的两个哨所，
位于
的正南方向.
哨所在凌晨1 点发现
其南偏东
方向处有一艘走私船，同时，
哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前
往拦截，缉私艇位于
点南偏西
的
点，且
与
相距
海里，试求：
(1)刚发现走私船时，走私船与哨所
的距离；
(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
(3)若缉私艇得知走私船以
海里/时的速度从
向北偏东
方向逃窜，立即以30 海里/时的速度进行追
截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥
，下部是正四棱柱
（如图所示），且正四棱柱的高
是正四棱锥的高
的4 倍.
(1)若
，
，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧棱长为
，
，
（i）求正四棱锥
的侧面积.
（ii）若
，
分别是线段
，
上的动点，求
的最小值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
D
D
C
C
B
ACD
AD
题号
11
答案
ACD
1．C
根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C.
2．A
由正弦定理可得
，再由边角关系确定角的大小即可.
【详解】由题意，在
中
，则
，所以
，
因为
，所以
或
，又
，所以
．
故选：A
3．D
根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A、B，由题设易得
，原平面图如下
，
，
，故A、B 错误；
对于C，四边形
的面积为：
，即C 错误．
对于D，在原图形中，过
作
交
于点
，则
，
由勾股定理得
，
故四边形
的周长为：
，即D 正确；
4．D
根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意，
.
故选：D
5．D
根据题意求得
，根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由题意可得：
，则
，
所以向量
在向量
方向上的投影向量为
.
故选：D.
6．C
【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC 为过底面ABC 的截面
圆的直径．取BC 中点D，则OD⊥底面ABC，则O 在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，
所以2R＝
＝13，即R＝
7．C
解法一 连接
，
，设
，根据向量的线性运算用
，
表示出
，然后结合三角
函数的性质即可求得结果．
解法二 以
为坐标原点建立平面直角坐标系，设
，根据数量积的坐标表示得到
，
再结合三角函数的性质即可求得结果．
解法三 借助向量投影的知识将
转化，找到取得最值时点
的位置，即可求得结果．
【详解】解法一 ：如图所示：
连接
，设
，连接
，依题意得
，
，
，
，
则
，
．
因为
，所以
，（三角函数的有界性）
所以
．
故选：C．
解法二 如图，
以
为坐标原点，以直线
为
轴，过
且和
垂直的直线为
轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得
，
，
，
因为圆
的半径为1，所以可设
，
所以
，
，所以
，
又
，（三角函数的有界性）
所以
．
故选：C．
解法三 如图所示：
设
，则
．
可看成是
在
上的投影，
当点
与
重合时
最小，最小值为
，
当点
与
重合时
最大，最大值为0，
故
．
故选：C．
8．B
在
中，设
，根据题意利用正弦定理可得
，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】在
中，
，设
，则
，
由正弦定理可知，
，即
，则
，
在
中，
，
，又
，则
，故
，
故选：B.
9．ACD
根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解.
【详解】若
，则
或
，故A 正确；
若
，
，满足
，但
，故B 错误；
若
，则
是实数，故C 正确；
若
，则
，得
或
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
10．AD
【详解】对于A，因为在
中，由正弦定理可得
等价于
，又因三角形中大边对大角，
故
等价于
，选项A 正确；
对于B，因为
，所以
或
，即
或
，
是等腰三角形或
直角三角形，选项B 错误；
对于C，由
可以确定
是锐角，但不能确定
和
的大小，所以不能判断
是锐
角三角形，选项C 错误；
对于D，由正弦定理
，结合条件
，
得
，
，
，
，
，
，又
，
，
所以
，
，所以
是等腰直角三角形，选项D 正确.
11．ACD
由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形
重心的性质即可判断CD.
【详解】对于A，由
，故
，故
，故A 正确；
对于B，由
的夹角为锐角，得
，且
不共线，则
，
解得
且
，所以“
，
的夹角为锐角”是“
”的充分不必要条件，
故B 错误；
对于C，如图
设
，
，由
得
，
取
的中点
，连接
，则有
，所以
，即
，则点
为
的重心，
设
，
，
的面积分别为
，则
，
，
的面积分别为
，
由重心的性质可知
，
所以
，则
，故C 正确；
对于D，如图，作
的内角平分线
与
相交于点
，
因为
为
的单位方向向量，
为
的单位方向向量，所以
，
所以
，
所以
.即
，所以
为等腰三角形，又因为
，且
，所以
，
即
为等边三角形，故D 正确.
故选：ACD.
12．
根据题意可得
，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可.
【详解】因为向量
的夹角为
，
，
，
则
，
可得
，
所以
.
故答案为：
.
13．
先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体
的表面积.
【详解】解：挖去圆锥的母线长为
，则圆锥的侧面积为
，
圆柱的侧面积为
，圆柱的一个底面积为
，
故几何体的表面积为
.
故答案为：
.
14．
取AC 的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到
，用余弦定理和基本不等式得到
的
最小值，从而得到角C 取到最大值时
，再使用三角形面积公式进行求解出结果.
【详解】设AC 的中点为D，因为点O 为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：
OD⊥AC，则
即
，所以
，由
知，角C 为锐角，故
，
因为
，所以由基本不等式得：
，当且仅当
，即
时
等号成立，此时角C 取到最大值，
，
，
△ABC 的面积为
.
故答案为：
15．(1)20
(2)
（1）将
代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【详解】（1）由题意得
，
因为复数
是关于
的方程
的一个根，
所以
，
，
，
解得
，所以
.
（2）
，
.
16．(1)
或
(2)
，此时
（1）先设
,根据坐标求模公式，即可求解.
(2) 根据题意，条件可化简为
，再根据基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为
，且
，所以设
，
所以
，
解得
，
所以
或
.
（2）由
，得
，
所以
，
因为
，
，可得
，
因为
，所以
，
当且仅当
，
时取等号.
所以
.
设
与
夹角为
，则此时
.
17．(1)
(2)
（1）根据所选条件，利用正弦定理将边化角，再利用和（差）角公式及同角三角函数的基本关系计算可
得；
（2）依题意可得
，将两边平方根据数量积的运算律求出
，再利用面积公式计算可得；
【详解】（1）解：若选①
，
由正弦定理可得
，因为
，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，则
.
若选②
，则
，
由正弦定理可得
，又
，
所以
，即
，因为
，所以
.
若选③
，则
，
由正弦定理可得
，
即
，
所以
，
所以
，又
，
所以
，因为
，所以
.
（2）解：因为
为
的中点，所以
，因为
，
所以
，
即
，解得
或
（舍去），
所以
.
18．(1)
(2)走私船距缉私艇30 海里，在缉私艇的北偏东
方向上
(3)
小时
（1）在
中根据正弦定理可得结果；
（2）在
中根据余弦定理可得结果；
（3）在
中由余弦定理可得结果.
【详解】（1）由
在
的南偏东
，在
的东北偏方向，在
中，
，由正弦定理得
，
，
代入上式得：
海里．
答：走私船
与观测点
的距离为
海里；
（2）在
中，
海里，
海里，
，
．
，
，解得
海里，
又
，
且
，所以
，
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30 海里，在缉私艇的北偏东
方向上．
（3）设小时后缉私艇在
处追上走私船，则
，
又
，
，
在
中，由余弦定理得
，
，化简得
解得
．故缉私艇至少需要
小时追上走私船．
19．(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）
【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高
，
所以正四棱柱的体积为
，
三棱锥
的体积为
，
所以该几何体的体积为
；
（2）（ⅰ）
，所以
，
正四棱锥
侧面的高为
，
所以正四棱锥的侧面积为
；
（ⅱ）如图，将长方形
，
和
展开在一个平面，
，
，设
，
，
，所以
，
所以
，
，
当
四点共线时，
最短，
所以
所以
的最小值为
.
