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福建泉州市四校（泉州外国语、南安华侨、石狮八中、城东中学）2025-
2026 学年高一下学期期中联考数学试题
一、单选题
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．已知
，是两条不同的直线，
，
，
是三个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．一个圆台的母线长为
，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，
，
，
，则
边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，正四棱柱
中，
，若直线
与直线
所成的角为
，则直线
与平
面
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在
中，
，
，
为
上一点，且满足
，若
，
，则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知四面体
的各顶点均在球O 的球面上，
平面
，
，
，三角形
的
外接圆半径是
，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，
，
，
，D 是BC 的中点，
，AD 与CE 交于点F.
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知复数
（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．的共轭复数
D．复数在复平面内对应的点位于第四象限
10．如图，已知正方体
的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线
与
为异面直线
B．
平面
C．三棱锥
的体积为
D．平面
过点
且
平面
，则平面
截正方体
所得截面的图形的周长为
11．在
中，角
，
，
所对的边分别为，，，且
，则下列命题正确的是
（ ）
A．若
，则
的外接圆的面积为
B．若
且
有两解，则的取值范围为
C．若
且
为锐角三角形，则的取值范围为
D．若
且
，
为
的内心，则
的面积为
三、填空题
12．已知
，
，与夹角为
，则在方向上的投影向量为_________．（用表示）
13．在正四棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为_____.
14．如图，已知圆锥的母线长为2，高为
，
为底面圆心，且
，
为线段
上靠近点
的
四等分点，则在此圆锥的侧面上，从
到
的最短路径长度为__________.
四、解答题
15．已知向量
．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求向量与夹角的大小．
16．设复数
.
(1)若
是实数，求m 的值；
(2)若
是纯虚数，求复数z 的共轭复数
.
17．已知
分别为
的内角
所对的边，
且
.
(1)求
；
(2)已知
是边
的中点，求
的最大值.
18．如图，在三棱锥
中，
，
分别为棱
，
的中点，
，
，
，
，
．
(1)若平面
平面
，求证：
；
(2)在（1）的条件下，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若
，
为线段
上一动点，求
的最小值．
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设
为多面体
的一个顶点，定义多面体
在点
处的离散
曲率为
，其中
为多面体
的
所有与点
相邻的顶点，且平面
，平面
，…，平面
和平面
为多面体
的所有以
为公共点的面．已知三棱锥
如图所示．
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若
平面
，三棱锥
在顶点
处的离散曲率为
，求点
到平面
的距离．
参考答案
1．A
【详解】因为
，
所以
.
2．C
【详解】对于A，若
，
，则
与可能相交、平行或异面，故A 错误；
在B 中，若
，
，则α 与β 可能相交或平行，故B 错误；
在C 中，若
，
，则由线面垂直的性质定理得
，故C 正确；
在D 中，若
，
，则α 与β 可能相交或平行，故D 错误．
3．A
【详解】取上下底面的圆心，则
即为圆台的高，如图所示，
在
中，
，
根据勾股定理可得
.
所以圆台的体积为
.
故选：A.
4．D
【详解】在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
则
．设
边上的高为，由等面积法可得
，
则
．
5．A
【详解】连接
与
交于点
，
，所以
即为直线
与直线
所成的角，即
．该几何体为正四棱柱，
，可得
，所以
．
连接
，易得
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以
即为直线
与平面
所成的角，
，所以
．
故选：A.
6．D
【详解】由条件可知，
，
则
，即
，则
，
，
所以
，
.
故选：D
7．C
【详解】
的中点为
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，又
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，故
为直角三角形，且
为斜边，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，故
为直角三角形，且
为斜边，
所以
，所以
，
所以四面体
的外接球的球心为
，故点
与点
重合，
由已知
，
，所以
，
所以球
的半径
，
所以球O 的表面积
.
8．D
【详解】由
，则
，
且
，得
，
又
是
的中点，即
是中线，则
，
则
，得
，
所以
故选：D．
9．AB
【详解】由
，
对于A，所以的虚部为
，故A 正确；
对于B，所以
，故B 正确；
对于C，所以的共轭复数
，故C 错误；
对于D，所以复数在复平面内对应的点的坐标为
，位于第三象限，故D 错误．
10．ABD
【详解】对于A，因为
平面
，
平面
，
，所以直线
与
为异
面直线，A 正确；
对于B，因为在正方体
中，
，
平面
，
平面
，所以
平面
，B 正确；
对于C，则由正方体的性质可得
为等腰直角三角形，所以
的面积为2，故三棱锥
的
体积为
，C 错误；
对于D，连接
,则平面
即为平面
，截面图形
为等边三角形，所以平面
截正方体
所得截面的图形的周长为
，D 正确.
11．BCD
【详解】因为
，所以由正弦定理，得
，
即
，
因为
，所以
，且
，所以
.
选项A：若
，则
，所以
的外接圆的直径
，
所以
，
所以
的外接圆的面积为
，故选项A 错误；
选项B：由正弦定理可得
，
故
，因为
有两解，且
，所以
，
故
，即b 的取值范围为
，故选项B 正确；
选项C：由正弦定理，得
，即
，
因为
，所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，所以
，
所以
，故选项C 正确；
选项D：因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以由正弦定理
，得
，即
，
所以
，
即
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，故
，
，解得
，
因为
，所以
，
即
是直角三角形，所以内切圆的半径为
，
所以
的面积为
，故选项D 正确.
故选：BCD.
12．
【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为
.
故答案为：
.
13．
【详解】连接
，
正四棱柱
中，
有
且
，四边形
为平行四边形，
则有
，
则
就是异面直线
与
所成的角．
设
，则
，
中，由余弦定理得
．
故答案为：
14．
/
【详解】圆锥的底面半径为
，
由于
，
所以
为钝角，且
，所以
.
圆锥的侧面展开图如图，
沿母线
展开的圆锥的侧面展开图中弧
所对的圆心角为
，
连接
，可得从
到
的最短路径长度为：
.
故答案为：
15．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【详解】解：（Ⅰ）因为
，所以
，
由
，可得
，
即
，解得
，即
，
所以
；
（Ⅱ）依题意
，
可得
，即
，
所以
，
因为
，
所以与
的夹角大小是
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题知
若
是实数，则
，解得
；
（2）由题知
若
是纯虚数，则
，解得
，所以
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得：
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，所以
．
（2）因为
，
，所以
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立．所以
的最大值为
．
18．(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）由
，
为
的中点，
则
，
又平面
平面
，平面
平面
，
则
平面
，
又
平面
，
所以
．
（2）由
，平面
平面
，平面
平面
，
则
平面
，所以
是直线
与平面
所成的角，
在
中，
由
，
，
则
，
，
又
，
，
则由余弦定理有
，
即
，解得
，
又
平面
，
平面
，则
，
所以
，
所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
（3）如图，连接
．
当
时，由
为
的中点，则
，
由（2）知，
，
，则
，
所以
，
又
是
的中点，则
，
又由（2）知，
，则
，且
，
则
，
又
，所以
，
如图，将
绕直线
旋转得到
，使
与
在同一平面内，且点
在
内，
则当
，
，
三点共线时，
最小，即
的最小值为
．
在
中，
，
，
，
则
，
则
，
所以在
中，
由余弦定理得
，
即
的最小值为
．
19．(1)
(2)
【详解】（1）根据离散曲率的定义得
，
，
，
又因为
，
所以
；
（2）因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，即
所以
，所以
，过点
作
于点
，
由
平面
，
平面
，得
，
又
，
，
平面
，则
平面
，
因此点
到平面
的距离为线段
的长，
在
△
中，
，
