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2025-2026 学年福建省厦门市外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8 小题，共40 分。
1.已知α，β，γ 是三个不同的平面，m,n,l 是三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若m⊥l,n⊥l,则m∥n
B. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C. 若m⊥α，m∥n,则n⊥α
D. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=4，点E，F 分别为
CC1，AD 的中点，则异面直线EF 和AD1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知复数
，则|z|=（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=6，点E，F 分别为
BC，CC1的中点，点P 在矩形BCC1B1内运动（包括边界），若A1P∥平面
AEF，则动点P 的轨迹长度为（ ）
A.
B.
C.
D. 3
5.在△ABC 中，已知2sinAsinC（cosB-1）+sin2B=0，则△ABC 一定是（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 锐角三角形
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6.在三棱锥P-ABC 中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=4，∠ABC=90°，则下列错误
的是（ ）
A. BC⊥PA
B. 点B 到平面PAC 的距离为
C. PA⊥平面ABC
D. 平面PAB⊥平面PAC
7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D 在棱BB1上，
，点M，E 分
别是棱A1B1，AA1的中点，点N 在棱CC1上，若MN∥平面CDE，则
=
（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，点P 为线段BC1上的动点，Q
为平面ABCD 内的动点，则D1P+PQ 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3 小题，共18 分。
9.已知向量
在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方
形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
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A.
B. 向量
在向量
方向上的投影向量为
C.
D. 若
，则
10.某货轮在A 处时，灯塔B 位于货轮的北偏东75°，距离为
海里，灯塔C 位于货轮的北偏西
30°，距离为
海里.该货轮自A 处向正北方向航行到D 处时，灯塔B 位于货轮的南偏东60°，则下列
说法正确的是（ ）
A. D 处在灯塔B 的西偏北15°
B. A 处与D 处之间的距离是24 海里
C. 灯塔C 与D 处之间的距离是
海里
D. 灯塔C 在D 处的西偏南60°
11.如图，在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P 满足
，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A. 当
时，点P 的轨迹长为
B. 当
时，有且仅有一个点P，使得AP⊥平面A1BD
C. 当
时，不存在点P，使得A1P∥AB
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D. 当
时，三棱锥P-A1BD 的体积为定值
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.若复数z 在复平面对应的点为（2，1），z 的共轭复数为
，则
= .
13.如图，正四棱锥P-ABCD 底面边长和高均为4，点E，F，G，H 分别是其所在棱的中点，则几何体
EFGH-ABCD 的体积为 .
14.在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，
，点P 是平面ABCD 内的动
点，且
，则
= ；若0＜t＜1，则
的最小值为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13 分)
如图，在△ABC 中，点D，E 满足
，
，AC 边上的中线BM 与DE 交于点O.设
，
.
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（1）用向量
，
表示
，
；
（2）设
，求x+y 的值.
16.(本小题15 分)
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a,b,c,且
，
.
（1）求B；
（2）若△ABC 的外接圆半径为
，求△ABC 的周长.
17.(本小题15 分)
如图，多面体ABC-B1C1D 是由直三棱柱ABC-A1B1C1截去一部分后而成，D 是AA1的中点，且AD=AC=1，
BC=2.
（1）若E 为AB 的中点，F 在CC1上，且
，证明：直线EF∥平面B1C1D；
（2）若BC⊥AC，求直线B1C 与平面B1C1D 所成角的正弦值.
18.(本小题17 分)
在平面四边形ABCD 中，AD=CD=4.
（1）如图1，若BC=2，
，且AD⊥AB，求AC；
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（2）如图2，若△ABC 为正三角形，求四边形ABCD 面积S 的最大值；
（3）如图3，若AB=2BC=4，AC 与BD 相交于点O.当四边形ABCD 面积S 取得最大值时，求
的值.
19.(本小题17 分)
如图，在三棱锥D-ABC 中，
，|AC|=7，|BC|=|CD|=5.
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）在线段CD 上是否存在一点E，使得二面角E-AB-C 的正切值为
？若存在，求出
的值，若不
存在，请说明理由；
（3）已知点P 为线段CD 上另一动点，过点P 且与CD 垂直的平面α 将三棱锥D-ABC 分成左右两部分，设
DP=t,当t 为何值时，右侧部分的几何体的体积为
？
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1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】5．
13.【答案】
．
14.【答案】0
2．
15.【答案】
=-
，
=-
+
-
16.【答案】
17.【答案】取B1D 的中点G，连接EG，C1G，
由题意知，四边形ABB1D 是直角梯形，
因为E，G 分别是AB，B1D 的中点，
所以EG∥BB1，EG=
=
=
，
因为F 在CC1上，且
，
所以C1F∥BB1，C1F=
，
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所以EG∥C1F，EG=C1F，
所以四边形EFC1G 是平行四边形，
所以EF∥C1G，
又EF⊄平面B1C1D，C1G⊂平面B1C1D，
所以直线EF∥平面B1C1D
18.【答案】
4
19.【答案】在△ACD 中，cos
，所以
∠CAD=45°．
过点D 作DO⊥AC 于点O，连接BO，
则|DO|=|AD|•sin45°=3，
因为|AD|=|AD|，|BC|=|CD|，AC 为公共边，所以△ABC≌△ADC，
所以|BO|=|OD|=3，且BO⊥AC，
又
，所以|OB|2+|OD|2=|BD|2，所以OD⊥OB，
因为OB，AC⊂平面ABC，OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，
又因为OD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC
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