文档文本内容
成都外国语学校 2025-2026 学年度下期期中考试
高一数学试卷
考试说明
1．本试卷分第 I 卷（选择题部分）和第 II 卷（非选择题两部分）；
A.
2．本堂考试 120 分钟，满分 150 分；
3．答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡，并用 2B 铅笔准确填涂考号；
4．缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂；
5．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知复数
（其中 为虚数单位），则 的虚部为（
）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数虚部的概念即可得解.
【详解】因为
，
所以 的虚部为
.
故选：
2.
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：
．
3. 要得到函数
的图象，只需将
的图象（
）
向左平移
个单位
B. 向右平移
个单位
C. 向左平移
个单位
D. 向右平移
个单位
【答案】A
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【解析】
【详解】易知
，
故要得到函数
的图象，只需将
的图象向左平移
个单位长度.
4. 已知向量 ， ，满足
，
，
，则 在 方向上的投影向量是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】已知
，
则
，解得
，
在 方向上的投影向量为：
．
5.
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可．
【详解】
．
6. 在
，角
， ，
所对的边分别为 ， ， ．已知
，
，
，则角
为（
）
A.
B.
或
C.
D.
或
【答案】C
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【解析】
【分析】根据正弦定理得
，再由小边对小角得解.
【详解】因为
，
，
，
根据正弦定理
，则
，
得
，
，
所以
或
，
因为
，所以
，
所以
.
故选：C
7. 随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟
类的数量在 3500 及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第 个月，当地湖泊中各种鸟类的数量
可近似
用函数
来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（
）
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可列出不等式，结合余弦函数的性质求解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知
,
令
,
即得
,解得
，
解得
，
结合
，可知当
时，
，即 k 取 6，7，8，9，10，
即一年中是“旺季”的月份有 5 个月，
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故选：C
8. 如图，在
中，
，过点 P 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N．设
，则
的最小值为（
）
A.
B.
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量基本定理得到
，由共线定理的推论得到方程，求出
，
然后根据“1”的代换结合均值不等式求解最小值即可.
【详解】
，
因为
，
，所以
，
又
， ，
三点共线，所以
.
由于
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
故
的最小值为
.
故选：B
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选错或不选得 0 分）
9. 下列命题中，正确的有（
）
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱
B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
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C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合各类空间几何体的定义本质，通过构造反例与性质推导，逐一判断命题的正误.
【详解】对于 A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面，
其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求，
故该多面体不一定是棱柱，A 正确.
对于 B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面，
则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B 正确.
对于 C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质，
可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C 正确.
对于 D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点，
仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点，
因此该多面体不一定为棱台，D 错误.
10. 已知 i 为虚数单位，下列说法正确的有（
）
A.
B. 复数
的共轭复数
C. 复数
的模为 10
D. 已知复数 满足
，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据
化简即可判断选项 A；根据复数的除法运算及共轭复数的定义即可判断选项 B；根据
复数模的计算公式即可判断选项 C；由复数减法的几何意义即可判断选项 D.
【详解】对于 A，
，故选项 A 正确；
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对于 B，复数
，所以 的共轭复数为
，故选项 B
正确；
对于 C，复数
的模为
，故选项 C 错误；
对于 D，由复数减法的几何意义可知：
表示 在复平面内对应的点到点
的距离，
表示
在复平面内对应的点到点
的距离.由
可知则 在复平面内对应的点的轨迹为线段
的垂直平分线，故选项 D 正确.
故选：ABD.
11. 在△ABC 中，内角
， ，
所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（
）
A. 若
，则
B. 若
，则△ABC 为钝角三角形
C. 若
，且
，则△ABC 为直角三角形
D. 在
中，若
，且满足条件
，则动点 经过
△ABC 的垂心
【答案】BD
【解析】
【分析】A.由
判断；B. 由
，结合平方关系，利用正弦定理得到
，再用余弦定理判断；C. 根据
都是单位向量，且
，得到角 A
的角平分线也是高线，再由
得到
判断；D. 由
，得到
，再由
判
断.
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【详解】A. 当
时，满足
，则
，不满足
，故错误；
B. 由
，得
，由正弦定理得
，则
，所以角
为钝角，故正确；
C. 因为
都是单位向量，且
，所以角 A 的角平分线垂直于 BC，所以
且
，则
，所以
是等边三角形，故错误；
D. 由
，得
，
则
，
所以
，即动点 在△ABC 的高线上，所以动点 经过△ABC 的垂心，故正确；
故选：BD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 如图所示，
是用斜二测画法画出的
的直观图，其中
，则
的
面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由直观图得到平面图，求出相应线段长，即可求出三角形的面积.
【详解】由直观图可得如下平面图形，其中
，
，
所以
.
故答案为：
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13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达
处时测得公路右侧一山底
在西偏北
的
方向上；行驶
后到达 处，测得此山底
在西偏北
的方向上，山顶
的仰角为
，则此山的
高度
______
．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 先 求 出
， 在
中 ， 由 正 弦 定 理 得 到
， 从 而 得
到
.
【详解】由题意得
，
故
，
故
中，由正弦定理得
，
即
，解得
，
又在 点测得山顶
的仰角为
，故
，
故
.
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故答案为：
14. 已知
中，角
的对边分别为
，且
，点
在线段
上，且
，
，则
的值为_____
【答案】
##
【解析】
【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合角平分线定理、余弦定理求得
.
【详解】
，由正弦定理得
，则
，
由于
，所以
，而
，所以
．
由题意，
是角平分线，
，设
，则
，
由
，所以
，
，
由
得，
，解得
，
所以
．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分）
15. 已知向量
，
.
（1）若
，求实数 的值；
（2）若
，求实数
的值.
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【答案】（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值；
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
【小问 1 详解】
方法一：由题意得，
，
，
∵
，∴
，
解得
.
方法二：由题意得， ， 不平行，设
，
则
，∴
，解得
.
【小问 2 详解】
由题意得，
，
∵
，∴
，
解得
.
16. 已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）当
时，求函数
的最大值，以及相应 的值.
【答案】（1）
（2）2，
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到
，利用
求出最小正周期；
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（2）
时，
，整体法求出函数的最大值及相应的 的值.
【小问 1 详解】
，
所以最小正周期
；
【小问 2 详解】
因为
，所以
，则
，
的最大值为 2，此时
，即
.
17. 某海域的东西方向上分别有
两个观测点（如图），它们相距
海里，现有一艘轮船在
点发出
求救信号，经探测得知
点位于
点北偏东 45°方向，位于 点北偏西 75°方向，这时位于 点南偏西 45°
方向且与点 相距 80 海里的
点有一救援船，其航行速度为 28 海里/小时.
（1）求 点到
点的距离
；
（2）若接到指示命令
处的救援船立即前往
点营救，求该救援船到达
点需要的最短时间.
【答案】（1）50
（2）2.5
【解析】
【分析】（1）利用已知数据由正弦定理解三角形
就可得到结果；
（2）同理利用余弦定理解三角形
就可得到结果.
【小问 1 详解】
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由题意知：
，
，
，
所以
，
在
中，由正弦定理可得：
即
，
所以
（海里）；
【小问 2 详解】
救援路线是直线时，时间最短.
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得：
，
所以
海里.
需要的最短时间为
（小时）.
18. 在锐角
中，设角
所对的边分别为
，已知
且
．
（1）求角
；
（2）求
周长的取值范围；
（3）求边
上的中线
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换求出
的取值范围进而得出结果；
（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将
的范围转化为
的
范围，再结合锐角三角形以及角
，求得角 的范围，即可得解.
【小问 1 详解】
因为
，
由正弦定理得，
，
又由余弦定理得，
，故
．
【小问 2 详解】
由正弦定理得
，
，
又因为
是锐角三角形，故
，解得
，
，
周长的取值范围为
．
【小问 3 详解】
由余弦定理得，
，即
．
，两边平方得
．
由正弦定理可知，
，故
，
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因此
，
又因为
是锐角三角形，故
，解得
，
故
，
，
，
即
，则
．
19. 已知平面内两个非零向量
，定义一种运算：
，且此运算满足
如下运算律①
；②
；试求解下列问题：
（1）设点
，
，
，求
．
（2）在（1）的条件下，求证
．
（3）其实对任意
，此结论
均成立．设四边形
有外接圆，圆心为 ，半
径为 2，对角线
相互垂直且交点为
交于
分别为
的中
点，求三角形
的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
．
【解析】
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【分析】（1）直接按定义计算即可；
（2）把
与三角形面积公式
联系起来求解；
（3）先利用第 2 问得到
，再借助圆中“垂径定理”和对角线互相垂直，将四边形面积转
化为关于
的式子，最后求最值.
【小问 1 详解】
因为
，所以
可得
.
【小问 2 详解】
，
，
，
，
，
，
.
【小问 3 详解】
由结论
，
可得
．
由垂径定理知
，
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，
当且仅当
时等号成立，
则
，
当且仅当
时等号成立，
综上所述三角形
的面积的最大值为
．
第 16 页/共 16 页
