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福建泉州市泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟
2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．复数
（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．如图，四边形
是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形
的直观图，其中
，
，
，
．则四边形
的面积是（ ）
A．3
B．
C．6
D．4
3．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
4．在平面直角坐标系
中，
，
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC 中，已知
，
，
，则角C 为（ ）
A．45°
B．105°
C．45°或135°
D．15°或 105°
6．如图，在
中，
，
，且
与
交于点
，设
，则
（ ）
A．-1
B．
C．
D．
7．如图，四边形
是边长为2 的正方形，
，
，
，
都垂直于底面
，且
，点
在线段
上，平面
交线段
于点
，则截面四边形
的周长的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．10
8．在
中，
，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．设
为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数
与
分别表示向量
与
，则表示向量
的复数为
C．若
为虚数，则
也为虚数
D．若复数满足
，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．在
中，
为边
上一点，且
，则
B．对任意向量，，
恒成立
C．非零向量，，，满足
，
，则
D．向量，共线的充要条件是存在实数
，使得
成立
11．如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，动点
在侧面
内（包含边
界），则下列结论正确的是（ ）
A．若
是线段
的中点，则四面体
的体积为
B．若
，则点
的轨迹长度是
C．若存在点
，使
平面
，则
长度的最小值是
D．若
为棱
的中点，三棱锥
的顶点都在球
的表面上，则球
的表面积为
三、填空题
12．若圆台的上下底面半径分别为1 和4，侧面积为
，则圆台的体积为________.
13．如图，测量河对岸塔楼的高度
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
与
，现
测得
，
，
米，在点
测得塔顶
的仰角
，则塔高
为_____________米．
14．已知
三边的垂直平分线交于点
，且
，则
的取值范围是________.
四、解答题
15．已知为虚数单位，复数
．
(1)当实数
取何值时，是纯虚数；
(2)当
时，复数是关于的方程
的一个根，求实数
的值．
16．已知平面向量
．
(1)若
，且
，求的坐标；
(2)若与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
17．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
分别为
，
，
的中点.
(1)求证：点
，
，
，
四点共面
(2)求证：平面
平面
.
(3)在线段
上是否存在一点
，使得
平面
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
18．已知
中，角
所对的边分别为
，满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的最大值；
(3)若
，
为线段
上一点，满足
，求
的面积．
19．设平面内两个非零向量
的夹角为
，定义一种新运算“
”：
.
(1)已知向量
，求
；
(2)设向量
，且
，证明：
；
(3)已知向量
，若
，求
的值.
参考答案
1．A
【详解】
，在第一象限
故选：A
2．A
【详解】根据斜二测画法得出
，
，
，
将直观图
还原，如下图.
四边形
是直角梯形，
上、下底分别为
，
，高
，
所以四边形
的面积
.
故选： A.
3．C
【详解】A：由
，可知
、
可能平行或相交，A 错误；
B：由
，
，可知
、可能平行或异面，B 错误；
C：由
，
，
，可知
，C 正确；
D：由
，
，
，可知
、可能平行或异面，D 错误.
故选：C
4．B
【详解】由平面直角坐标系
中，
，
，可得
，
则
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：B.
5．D
【详解】由正弦定理得
，即
，
所以
，故
或
，
当
时，
，
当
时，
.
故选：D
6．B
【详解】因为
，
，
三点共线，且
，所以
又因为
，
，
三点共线，且
，
所以
，
可得
，解得
，
，
所以
.
7．D
【详解】由题意，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
所以
，同理可得
，
所以四边形
为平行四边形，则周长
，
沿
将相邻两四边形展开，
当
，
，
三点共线时，
最小，最小值为5，
所以周长的最小值为10.
8．B
【详解】在
中，设
，
，
.
根据正弦定理
，
为三角形外接圆半径.
将条件
转化为边的关系：
左边:
，
右边：
，
等式两边相等得：
，化简得
.
结合余弦定理
，
代入上式得:
整理得
.
三角形面积
.
由
，得
，
代入面积公式：
，
由基本不等式
，得
，即
(当且仅当
时取等号)，
此时
取得最大值
，故
.
9．BCD
【详解】对于A，设
，则
，
又
，故
，故A 错误；
对于选项B，由题意可知，
，
所以
，所以表示向量
的复数为
，故B 正确；
对于C，因为
为虚数，
为实数，所以
为虚数，即
也为虚数，故C 正确；
对于选项D，设复数
，若复数满足
，即
，
则复数对应的点
在以原点为圆心半径分别为1 和
的同心圆形成的圆环内，
所以复数对应的点所构成的图形面积为
，故D 正确；
10．AC
【详解】对于A，
，
，
，故A 正确.
对于B，若，不共线，则
，
，
可构成三角形，则
，故B 错误；
对于C，
为非零向量，
当
时，
；
当
时，
，
，则
，故C 正确；
对于D，若
，
，则，共线，但不存在实数
，使得
，故D 错误．
11．ABD
【分析】对于A，当
是线段
的中点，此时点
到平面
的距离为2，
所以
，A 正确.
对于B，若
，又
，且
平面
，
则
，
点的轨迹是正方形
内以点
为圆心，1 为半径的四分之一圆弧，
的轨迹长度为
，
B 选项正确；
对于C，取线段
的中点
，线段
的中点
，
当点
位于线段
上时，
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
，
，
平面
，所以平面
平面
，
平面
，
平面
，
此时有
，
，
，
，
所以
为直角三角形，当
位于点
时，
长度的最小值是
，C 错误.
对于D，因为
平面
，把三棱锥
补成长方体，
则直径长为
，
则球
的表面积为
，D 正确.
12．
【详解】设圆台母线长为，则
，所以
，所以圆台的高为
，
所以圆台的体积为
.
13．
【详解】由题设
，
由正弦定理知
，即
，
所以
米．
故答案为：
．
14．
【详解】如图所示，由题知
是
的外心，取
中点
，连接
，
可得
，故
.
因为
，
所以
，
由
是
的中线，可得
，且
，
故
.
已知
，可得：
，
由
，
，可得
，
将
代入目标式：
，
设
，则
，
为开口向上的二次函数，对称轴为
，
，
当
时，
取最小值
（此时
，三角形存在，最小值可取）；
当
时，
，但
，故
.因此
的取值范围是
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）若复数z 是纯虚数，则
，
解得
， 所以得
.
（2）当
时，
，
把
代入方程
，
得
，
整理得，
，
所以
，解得
.
16．(1)
或
；
(2)
.
【详解】（1）由
，得
，由
，设
，
由
，得
，解得
，
所以的坐标是
或
.
（2）依题意，
，由与
的夹角为锐角，得
，且与
不共
线，
因此
，解得
且
，
所以实数
的取值范围是
.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
.
【详解】（1）证明：
，
分别为
，
的中点，
，
底面
是平行四边形，
.
，所以点
，
，
，
四点共面.
（2）由（1）知
，因为
平面
，
平面
，
平面
.
，
分别为
，
的中点，
，
因为
平面
，
平面
，
平面
.
又
，
，
平面
，所以平面
平面
.
（3）线段
上存在一点
，使得
平面
，且
.
证明如下：取
的中点
，连接
，
，
，
因为
，
，
分别是
，
，
的中点，
，
，
所以
，
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，此时
．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，
所以
．
整理得：
，
即
，
，
而
,故
，又因为
，所以
；
（2）
，
，
由余弦定理可得：
，
即
，
又因为
，当且仅当
时，等号成立；
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
周长
，当且仅当
时，等号成立，
所以
周长的最大值为；
（3）如图所示：
设
，
则
，
在
中，由余弦定理可得：
，
在
中，由余弦定理可得：
，
又因为
与
互补，
所以
，
所以
①，
在
中，由余弦定理可得：
，
整理得
，②
由①②可得：
，
解得
，
所以
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设
的夹角为
，则
，
所以
，
所以
，
故
.
（2）设
的夹角为
，
则
，
所以
，
则
，
于是，
.
（3）由题意，
，
则由（2）的公式可得：
，
又
，则得
，
