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福建省泉州市泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟
2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题
一、单选题
1．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．集合 ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ）
A． 或1 B． 或2 C．1 D．
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
5．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
7．函数图象的渐近线是指曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，M到某一条直线的距离无限趋近于零，
那么这条直线称为该曲线的渐近线，如函数 的两条渐近线分别是x轴与y轴.则直线y=3x是以下哪个
函数图象的一条渐近线（ ）
A． B． C． D．
8．定义在 上的奇函数 满足： ，且 ， ，若 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．当 时，幂函数 在 上单调递增
B．函数 的值域为
C．函数 的最小值是1
D．在同一坐标系中函数 与 的图象关于 轴对称
10．已知 ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．11．分别用 ， 表示 ， 中的最小者和最大者，记为 ，
.若 ， ，则（ ）
A．
B．函数 有2个零点
C．函数 的图象关于 轴对称
D．关于 的方程 的所有解的乘积为
三、填空题
12．已知 ， ，则 .
13．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ．
14．已知函数 ， ，若方程 有且仅有 个不相等的解，则
的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知全集 ，集合 ，
(1)若 ，求
(2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
16．已知函数 定义域为 ．
(1)判断并证明 在 上的单调性；(2)求不等式 的解集．
17．如图，在平面直角坐标系中，有一个半径为2的半圆，直径 在x轴上， 中点为坐标原点O，等
腰梯形 的上底 的端点在圆周上．
(1)当 时，记梯形 位于直线 ）左侧的图形的面积为 ，请写出函数 的解
析式．
(2)记线段 的长度为x，线段 与 的长度之和为y，求y的最大值．
18．已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 ．（ ）
(1)求 ， 的解析式；
(2)令函数 ，求函数 的值域；
(3)存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围．
19．设函数 在区间 上有定义，若对任意 ，都存在 使得： ，则称函数
在区间 上具有性质 .
(1)判断函数 在 上是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若函数 在区间 上具有性质 ，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若存在唯一的实数 ，使得函数 在 上具有性质 ，求实数 的值.参考答案
1．B
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
2．D
【详解】由题意可知 ，
∴ ，
故选：D
3．C
【详解】因为幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，
所以 ，解得 ．
故选：C.
4．A
【详解】对于A，取 ，由 ，可得 ，A错误，
对于B，因为 ，故 ，又 ，
所以 ，B正确，
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，C正确，
对于D，因为 ，
所以 ，
所以 ，D正确，
故选：A.5．C
【详解】根据题意，解不等式 ，即 ，
解得 ，即不等式的解集为 ，
若“ ”是“ ”的必要不充分条件，
则集合 是集合 的真子集，所以 .
故选：C
6．D
【详解】对于函数 ，定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数，故B，C错误，
当 时， ，
又 在 上单调递增， 在 上单调递减，
故 在 上单调递增，故A错误，D正确．
故选：D．
7．B
【详解】 的渐近线也是x轴与y轴.故A错误.
对于选项B：当x很大时， 趋向于0．
故函数 的图象与直线 无限接近，故B正确.
类似的，C选项中的 的渐近线为直线 与y轴．
D选项当x很大时， 趋向于3，故它的渐近线为直线 与 ．故选：B．
8．D
【详解】因为 ，且 ， ，
所以 ，
设 ，
则 ， ，且 ，，
根据单调性的定义可得， 在 上单调递增，
因为 在R上为奇函数，
所以 ，
所以 在R上为奇函数，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 的解集为 ，
所以 的解集为 .
故选：D
9．CD
【详解】对于A，当 时，函数定义域为 ，选项A错误；
对于B， ，函数 值域为 ，选项B错误；对于C， 函数 的最小值是1，故命题C正确；
对于D，在同一坐标系中，函数 与 的图象关于y轴对称，命题D正确．
故选:CD
10．BCD
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故A错误；
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故B正确
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：BCD
11．ACD
【详解】依题意， ，当 时， ；当 时， ，
则 ， ，
对于A， ，A正确；
对于B， ，由 ，解得 ，B错误；
对于C， ，令 ， ，函数 是偶函数，C正确；
对于D，由 ，得 或 ，
而 ，则 ，即 ，该方程有且仅有一个正根 ，
或 ，
，该方程有且仅有一个负根 ，且 ，
，该方程要么无解，要么一解 ，要么两个正根 ，
且 ，所以关于 的方程 的所有解的乘积为 ，D正确.
12．
【详解】因为 ， ，
所以 ，
，
两式相加可得 ，所以 .
故答案为：
13．
【详解】设 ，
故由题意可得关于 的不等式 在区间 上恒成立，
．
故答案为：
14．
【详解】法一：当 时， （ 时等号成立），当 时， 在 单调递减且 ， 的图象如图所示，
令 ， ，即 ，
由 有 个不等解等价于 有两根，
其中一根 ，另一根 ，
根据韦达定理， ， ，则 ， ，
，由 ，所以 ．
法二：可知由 有 个不等解等价于 有两根，其中一根 ，另一根 ，
所以 ，
由①得 ，则 ，
将④代入②得： ⑤
又由③得 ⑥，
由⑤⑥可知 ，所以 .
故答案为： ．
15．(1)
(2)【详解】（1）当 时， ， 或 ，
因为 ，所以 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，即 ，
当 时， ，此时 ，满足 ，
当 时，则 ，解得： ，且 和 不能同时成立，
综上所述：实数a的取值范围为
16．(1)减函数，证明见解析
(2)
【详解】（1）函数 在 上为减函数.
证明如下：
任意 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上为减函数．
（2）对任意的 ， 且 ，所以 为奇函数，
由题意，不等式 可化为 ，
所以 ，解得 ，所以该不等式的解集为 .
17．(1)
(2) ．
【详解】（1）
过点 作 于点 ，连接 ，由 ，
得 是等边三角形，即 ，
再由等腰梯形 ，可得 ，
从而可得 也是等边三角形，即 ，
所以解等边 ，可得等腰梯形 的高 ，
则当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；所以 ．
（2）连接OC，因为半圆的半径为2，线段 的长度为x，
则OC=2， ， ，所以 ，
因此 ，
所以 ，其中 ，
令 ，因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取得最大值，
因此y的最大值为 ．
18．(1) ，
(2)
(3)
【详解】（1）由 ，可得 ，
因为 为偶函数， 为奇函数，所以 ，联立方程组 ，
解得 ， ．
（2）由（1）
，∴ 为奇函数
当 时， ， ，
因为 为奇函数，所以，当 时，
所以，函数 的值域为
（3）由（1）知 ， ，
因为 ，所以 ，
可得 ，
所以 ，即 ，
设 ，
则 ，即 ，
当 时，则 ，不合题意；
当 时，则 ，设 ，则只需 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 ．
19．(1)指数函数 在 上不具有性质 ，理由见解析；
(2)
(3) 或
【详解】（1）指数函数 在 上不具有性质 .
理由如下：指数函数 的定义域为 ，
对于 ，易知 不存在 满足题意，
因此对于 ，不存在 满足 ，
即函数 在 上不具有性质 .
（2）因为函数 在区间 上具有性质 ，
所以对任意 ，都存在 使得 ，即 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ,
即 ，解得 ，
因此实数 的取值范围为 .
（3）若函数 在 上具有性质 ，则对任意 ，都存在 使得 ，即 ；
因为 ，所以 ；
若 ，易知函数 关于 对称，
当 时，即 ，此时 在 上单调递减，此时 ；
因此可得 ，即 ，
解得 ，若存在唯一的实数 可得 ，
解得 ，符合题意；
当 时，可得 ，此时 在 的最小值为 ，
最大值为 ，即 ；
所以 ，即 ，
解得 ，若存在唯一的实数 可得 ，
解得 （舍）或 （舍）；
当 时，可得 ，此时 在 的最小值为 ，
最大值为 ，即 ；
所以 ，即 ，
解得 ，若存在唯一的实数 可得 ，解得 或 （舍），即 符合题意；
