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2024-2025 学年福建省漳州市十校联盟高二下学期期中质量检测联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⃗
a=(k−1,k,−2)
，⃗
b=(3,2,1)
，且 ⃗a⊥⃗b ，则
|2
⃗
a+
⃗
b|=
( )
A. 4 B. 4√2 C. 5 D. √34
lim f(1+Δx)−f(1)
2.如图，函数f(x)的图象是线段AB，求Δx→0 的值为( )
2Δx
3 3 3
A. − B. − C. D. 3
2 4 2
3.在四面体 中， ， ， ⃗ ⃗， ⃗ ⃗ ， 是线段 上靠近 点的三等分点，
O−ABC ⃗OA=⃗a ⃗OB=⃗b
OC=c OM=λMA
N BC B
⃗ 3⃗ 2⃗ 1⃗
且MN=− a+ b+ c，则λ=( )
4 3 3
3 3
A. 1 B. − C. 3 D.
7 7
4.厦门湾南岸漳州海岸线像一条珍珠项链，串联了一个个美丽的景点。现有甲，乙，丙三人从南炮台公园，
卡达凯斯，镇海角，滨海火山口四个景点随机选择一个景点游玩，A=“三人选择的景点各不相同”，B=
“三人至少有一人去了镇海角”，则P(A|B)=( )
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1 118 6 3 1
A. B. C. D.
37 37 8 8
1
5.已知定义在R的函数f(x)的导数为f ′(x)，f(−1)= ，且对任意x的满足f(x)−f ′(x)>ex，则不等式
e
的解集是( )
f(x)+xex>0
1 1
A. (−1,+∞) B. (−∞,−1) C. (− ,+∞) D. (−∞,− )
e e
6.在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，SA=AC=2，BC=2√3，M是线段SA中点，∠CAB=120∘，
则异面直线SC与BM所成角为( )
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
7.已知函数 ， ，若曲线 与 存在公切线，且公切线的斜率为 ，
f(x)=x2+ax+1 g(x)=ex y=f(x) y=g(x) e
则实数a的值为( )
A. e±2 B. e+2 C. 2±e D. 2−e
8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，且AB=AC=BC=2，PA=2√3，三棱锥各顶点均在球O的表
面上，则球心O到平面PBC的距离为( )
√2 √10 √15 √15
A. B. C. D.
3 5 5 15
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ，则( )
f(x)=x3−3x2+2
A. f(x)的极小值为−2 B. f(x)的对称中心为(1,0)
C. f(x)在区间[−3,3]上的最小值−2 D. f(x)在x=0处的切线方程为y=2
10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的
球的数字之和为奇数”，事件B=“取出的球的数字之和为偶数”，事件C=“取出的球的数字之积为偶
数”，则( )
3
A. 事件A与C是互斥事件 B. P(A)=
5
3
C. P(A|C)= D. 事件B与C相互独立
4
11.在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，点P是棱DD 的中点，点Q是侧面BB C C(含边界)内
1 1 1 1 1 1 1
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2 1一动点，则( )
⃗ 1 ⃗
A. ⃗CP在 CB 上的投影向量为 CB
1 4 1
B. 若点E为该正方体外接球球面上的点，则有无数个点E，使得CE//面BDA
1
3√10
C. 过三点B，A ，P的截面面积为
1 2
3√2 √6
D. 若D Q= ，D Q与平面A BD所成的角为θ，则sinθ的最小值为
1 2 1 1 9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.函数f(x)= x2−3x−4lnx的单调递减区间为 ．
2
13.在空间直角坐标系中，已知A(1,1,1)，B(1,2,3)，C(2,3,4)，D(t,4,5)，则当t= 时，A，B，
C，D四点共面。
14.若 ， ，且满足 为自然对数的底数 ，则 ．
x y∈R √ex+2y−2+√ex−2y−2=x(e ) xx+y=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投
放量占比分别为30%、40%、30%。环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在
已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为0.02;是中午投放的条件下，违规混投的概率为0.03;是
晚上投放的条件下，违规混投的概率为0.04。现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率。
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A B C 中，∠BAC=∠BA A =∠CA A =60°，AB=AC=A A =1，M，N
1 1 1 1 1 1
分别是A
1
B，B
1
C
1
上的点，且
A
⃗
M=2M
⃗
B
，
B
⃗
N=2N
⃗
C .
设⃗AB=⃗a ，⃗AC=⃗b ，
A
⃗
A =
⃗
c
，
1 1 1 1
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3 1试用⃗， ， 表示向量 ，并求 的长
(1)
a
⃗b ⃗c ⃗MN MN ;
(2)求异面直线MN，BC所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数 ，
f(x)=x3−3ax a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)∀x∈[1,2]时，不等式f(x)≥−20恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PB=PC，D为BC的中点，E为PA上的动点，平面PAD⊥平面PBC
(1)证明：AB=AC
(2)若AB⊥AC，AB=2，PA=PD=1，线段PA上是否存在一点E，使得平面BEC与平面ABC的夹角的
2√5
余弦值为 ?若存在，求PE的长;若不存在，请说明理由．
5
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(x−a)+ax(a∈R);
(1)求f(x)的极值;
2a(a+1)
(2)若a<−1，x ，x 为函数f(x)的两个零点，证明：x +x < .(参考：重要不等式
1 2 1 2 2a+1
1 1
lnx< (x− )(x>1))
2 x
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4 1参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.B
6.A
7.A
8.D
9.ABD
10.BC
11.ABD
12.(0,4)，(0,4]均可
13.3
14.4
15.解：设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件A，B，C;垃圾违规混投为事件V，
由已知：P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.3;
P(V |A)=0.02，P(V |B)=0.03，P(V |C)=0.04，
(1)P(BV)=P(B)P(V |B)=0.4×0.03=0.012，
即中午时段且违规混投的概率为0.012．
(2)P(V)=P(A)P(V |A)+P(B)P(V |B)+P(C)P(V |C)
=0.3×0.02+0.4×0.03+0.3×0.04=0.006+0.012+0.012=0.03，
即违规混投的概率为0.03．
P(VC) P(C)P(V |C) 0.3×0.04
(3)P(C|V)= = = =0.4，
P(V) P(V) 0.03
即已知违规混投，垃圾来自晚上时段投放的概率为0.4．
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ 1 ⃗
16.解：(1)由题意，可得MN=M A +A C +C N= BA +A C + C B
1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1
2 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗
= (A A −AB)+AC+ (AB−AC)=− AB+ AC+ A A ，
3 1 3 3 3 3 1
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5 1又⃗AB=⃗a ，⃗AC=⃗b ，
A
⃗
A =
⃗
c
，
1
⃗ 1⃗ 2⃗ 2⃗
∴MN=− a+ b+ c，
3 3 3
因为AB=AC=A A =1，
1
所以|⃗a|=|⃗b|=|⃗c|=1，
又因为∠BAC=∠BA A =∠CA A =60°，
1 1
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1
所以a⋅b=a⋅c=b⋅c= ，
2
⃗ 1⃗ 2⃗ 2⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
∴|MN|2=(− a+ b+ c) 2= (a2+4b2+4c2−4a⋅b−4a⋅c+8b⋅c)=1，
3 3 3 9
⃗
∴|MN|=1;
(2)设异面直线MN，BC所成角为θ，
因为 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗，
BC=AC−AB=b−a
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1
又|⃗a|=|⃗b|=|⃗c|=1，a⋅b=a⋅c=b⋅c= ，
2
所以 ⃗ √ ⃗ ⃗ √⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
|BC|= (b−a) 2= b2−2a⋅b+a2=1
⃗ 1⃗ 2⃗ 2⃗
又由(1)，MN=− a+ b+ c，|⃗MN|=1，
3 3 3
⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗ 2⃗ ⃗ ⃗
所以MN⋅BC=(− a+ b+ c)⋅(b−a)
3 3 3
1⃗ ⃗ 2⃗ 2⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗ ⃗ 2⃗ ⃗ 1
=− a⋅b+ b2+ b⋅c+ a2− a⋅b− a⋅c= ，
3 3 3 3 3 3 2
| ⃗ ⃗ |
⃗ MN·BC 1
所以 ⃗ ，BC>|= = ，
cosθ=|cos0 f ′(x)=3x2−3a=0 x=±√a
令f ′(x)>0，得x>√a或x<−√a，
令f ′(x)<0，得−√a0，故函数f(x)在(a,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)既没有极大值，也没有极小值；
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9 1[ ( 1)]
a x− a− 1 1
若a<0， a ，当x∈(a,a− )时，f ′(x)>0；当x∈(a− ,+∞)时，f ′(x)<0;
f ′(x)= a a
x−a
1 1
则函数f(x)在(a,a− )上单调递增，在(a− ,+∞)上单调递减，
a a
1 1
故当x=a− 时，函数f(x)取得极大值，其值为a2−1+ln(− )，但没有极小值；
a a
1 1
(2)由(1)知，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(a,a− )，单调递减区间为(a− ,+∞)，
a a
1
又当a<−1时，f(1+a)=a(1+a)>0，且a− <1+a，
a
1
不妨设x 1)，及lnx> (x− )(02a(a+1)(x −x )，
2 1 2 1
2a(a+1)
则x +x < ．
1 2 2a+1
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10 1
