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第 08 讲 易错易混淆集训：实数(4 类热点易错题型讲练)
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【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】.........................................................1
【易错二 易混淆a与 的平方根】.............................................................................................................5
【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】........................................................................................7
【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对 理解不透彻致错】...........................................9
【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（23-24七年级上·山东青岛·期末）在实数 ， ， ， 中，其中无理数
的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可；熟知无理数的常见形式是关键．
【详解】解：根据无理数的定义可知： ， ， 是无理数；
故选： ．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）下列6个实数 、3中，无理数出现的频数是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了频数的定义，正确确定无理数是解题关键．
根据无理数的定义得到个数，进而得出频数．
【详解】解： ，
∴无理数有 共3个，故频数为3，
故选：B．2．（23-24七年级下·云南昭通·期末）在下列数中，无理数的个数（ ）
π， ， ， ，3.1415， ，5.1717717771…
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理
解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数
是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：∵ ，是有理数，
∴在π， ， ， ，3.1415， ，5.1717717771…中，π， ， ，5.1717717771…是无理
数，共4个．
故选：B．
3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各数 、 、 、 、 、 （相
邻两个 之间 的个数逐次增加 ），无理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查无理数的判断．熟记相关定义是解题的关键；
无理数，也称为无限不循环小数，常见的无理数有：含有π的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数
（如： ，相连两个3之间的0个数逐渐增加一个），由此即可求解．
【详解】解： ，
故在实数 、± 、 、 、 、 （相邻两个 之间 的个数逐次增加 ）中，
无理数有3π、 、0.303000300003…（相邻两个 之间 的个数逐次增加 ），共 个．
故选：C．
4．（23-24七年级下·重庆·期中）在实数0， ， ， ，1.020020002， ， 中，无理数有
个．
【答案】4
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．解题的关键是明
确初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【详解】解： ， ， ， 是无限不循环小数，它们是无理数，共4个；0是整数， 是分数，1.02002002是有限小数，它们不是无理数；
故答案为：4．
5．（23-24七年级下·北京丰台·期中）下列各数3.14， ，1.212212221…， ， ， ， 中，
无理数的个数有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可，关键
在于了解无理数即为无限不循环小数．
【详解】∵各数3.14， ， ， ， ， ， 中，无理数有 ，
， ，
∴无理数的个数是3个．
故答案为：3．
6．（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：① ，② ，③
，④0，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ （相邻的两个3之间依次多1个0），⑨
，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解： ③ 是整数，④0是整数，⑥ 是整数，
整数集合： ③④⑥
故答案为： ③④⑥
（2）① 是分数，⑨ 是分数，⑩ 是分数．
分数集合： ①⑨⑩故答案为： ①⑨⑩
（3）② 是无理数，⑤ 是无理数，⑦ 是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多
1个0)是无理数，无理数集合
故答案为： ②⑤⑦⑧
7．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内．
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之
间依次多 个 ）， ．
有理数： ；
无理数： ；
正数：
整数： ；
非负数： ；
分数： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解
答．
【详解】解： ， ，
有理数： ， ， ， ， ， ， ， ；
无理数： ， ， ， （每相邻两个 之间依次多 个 ）， ；
正数： ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之间依次多 个 ），
；
整数： ， ， ， ；
非负数： ， ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之间依次多 个
）， ；
分数： ， ， ， ， ．【易错二 易混淆a与 的平方根】
例题：（23-24八年级上·四川眉山·开学考试） 的值等于 ； 的算术平方根为 ．
【答案】 3
【分析】此题考查算术平方根，利用算术平方根的定义求解即可．
【详解】解： ， 的算术平方根为3；
故答案为 ，3．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列说法错误的是（ ）
A． 没有算术平方根 B． 的平方根是
C．0的平方根是它本身 D．
【答案】B
【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、 没有算术平方根，原说法正确，不符合题意；
B、 的平方根是 ，原说法错误，符合题意；
C、0的平方根是它本身，原说法正确，不符合题意；
D、 ，原说法正确，不符合题意；
故选B．
2．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习） 的平方根是 ； 的算术平方根是 ；3的算术
平方根是
【答案】 3
【分析】此题考查了平方根和算术平方根的计算，根据平方根和算术平方根的概念求解即可．
【详解】 的平方根是 ；
的算术平方根是3；
3的算术平方根是 ．
故答案为： ；3； ．3．（2024七年级下·上海·专题练习） 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义
即可求得答案．
【详解】解： ，其算术平方根为 ；
，其平方根是 ；
故答案为： ； ．
4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）化简求值① ；② ；③ 的平方
根 ．
【答案】
【分析】此题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的意义进行准确计算即可．
【详解】解：① ，
② ，
③∵
∴ 的平方根的平方根 ，
故答案为： ， ，
5．（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习） 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义， ，先计算出得数，再根据算术平方根的定义
求解；先计算 ，再根据平方根的定义可直接求解．
【详解】解：
3的算式平方根为 ；
， 的平方根为 ．
故答案为：❑√3， ．
6．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习） 的平方根是 ， 的算术平方根是 .
【答案】
【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握定义即可解题，解题时注意先化简再解，避免出现失
误．【详解】解： ， 的平方根为 ，
， 的算术平方根为 ，
故答案为： ， ．
【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】
例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）已知二次根式 有意义，请写出一个符合条件的整数a的值
为 ．
【答案】3（答案不唯一，满足 且为整数即可）
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数即可解答．
【详解】解：要使二次根式 有意义，则 ，
∴ ，
∴符合条件的整数a的值可为3．
故答案为：3
【变式训练】
1．（2023·云南昆明·一模）若❑√x+1在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0是解题
的关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意得： ，
，
∴故答案为： ．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式 有意义，则 应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【详解】解：根据二次根式有意义得： ，
解得： ．
故答案为： ．
3．（2024·江苏常州·模拟预测）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．先根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
，
解得： ．
故答案为： ．
4．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在代数式 中， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答
案．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据题意
求出 的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
，
，
故 ．
故答案为： ．
6．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得 即可求解．
【详解】解：由题意得： ， ，
解得： ，∴
∴
故答案为：
7．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足 ，则
【答案】 /
【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出a，b值，
代入所求代数式求值即可得到结论．
【详解】解： ，
即 ，
，解得 ，
将 代入 得 ，
，
故答案为： ．
【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对 理解不透彻致错】
例题：（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知 ， ，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握 ．根据二次根式的性质得
，然后再化简即可．
【详解】解： ， ，
；
故答案为： ．
【变式训练】1．（22-23八年级下·四川南充·期末）若 ， ，则化简 的结果是
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．结合已知条件，根据二次根式
的性质 进行化简即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）已知 且 ，化简二次根式 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定 的取值范
围是解题的关键．
由题意知， ，则 ，由 ，可得 ，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）当 时，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由 得到 ，从而将
化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
4．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知 ，化简： ．【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根
式的性质得 ，再根据 将绝对值化简，即得答案．
【详解】解：原式
，
，
， ，
∴原式
．
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，实数与数轴；观察数轴可得 ，从而得到
，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：观察数轴得： ，
∴ ，
∴
故答案为：
6．（23-24八年级下·辽宁营口·期末） 在数轴上的位置如图所示，那么化简：
的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出 ，推出 ，再
由二次根式的性质化简即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得： ，
∴ ，∴
，
故答案为： ．
7．（22-23七年级下·重庆江津·期中）（1）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式
的值．
（2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）1
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，实数的运算等知识，解题的关键是：
（1）利用夹逼法得出 ，利用数轴上a、b的位置可得出 ， ，则
， ，然后利用绝对值的意义、二次根式的性质等化简即可；
（2）先估算出 与 的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解∶（1）∵ ，
∴ ，即 ，
由数轴知： ， ，
∴ ， ， ，
∴原式
；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分为 ，
∴ ．
8．（2024九年级上·全国·专题练习）【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，
但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特
殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做
题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简： ．
解：隐含条件为 ，解得 ，
∴ ，
∴原式 ．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简： ；
(2)已知a、b、c为 的三边长，化简： ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，三角形的三边关系：
（1）要使 有意义，其被开方数 应大于或等于0，求出 的取值范围，再根据二次根式的性质化
简即可；
（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案．
【详解】（1）解：隐含条件为 ，得 ，
∴ ．
∴原式 ；
（2）解：∵a，b，c为 的三边长，
∴ ，
∴ ，
∴
．
