文档内容
第 09 讲 解题技巧专题：与二次根式运算有关的综合问题
(7 类热点题型讲练)
目录
【考点一 利用二次根式的非负性求值】................................................................................................................1
【考点二 二次根式的混合运算问题】....................................................................................................................4
【考点三 含二次根式的整体代入求值】................................................................................................................9
【考点四 二次根式的分母有理化】......................................................................................................................11
【考点五 复合二次根式的化简】..........................................................................................................................18
【考点六 二次根式运算中的新定义型问题】......................................................................................................26
【考点七 二次根式运算中的规律探究问题】......................................................................................................32
【考点一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若 的两边a，b满足 ，则它的第三边c
为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知 ，则 的值是 ．
2．（23-24七年级下·湖南长沙·单元测试）若 ，则 ．
3．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知 ，则 的平方根为 ．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足 ，则
5．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数 满足关系式 求
的值．
6．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式
．
(1)求a，b的值；
(2)求第三边的长．【考点二 二次根式的混合运算问题】
例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川达州·期末）计算题：
(1)
(2)
2．（23-24八年级上·四川达州·期末）化简：
(1)
(2)
3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
4．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
6．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【考点三 含二次根式的整体代入求值】
例题：（2023八年级下·江苏·专题练习）已知 ， ，则代数式 的值是 ；
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）若 ，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．2
3.（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知 ， ，则代数式 的值是 ．
4．（2024·湖南怀化·一模）已知实数 满足 ，求 的值．5．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）已知： ，求 的值．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知 ，求 的值．他是这
样分析与解的：
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
请你根据小辰的分析过程，解决如下问题：
(1)①化简 ．
②当 时，求 的值．
(2)化简 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方
的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结
果化为最简二次根式
(1)化简： ______；
(2)我们思考“如何化简 ”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“
”，其特点是先平方后作差，既可以把 运算为整数，又不产生新的无理数：
．这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．
请你化简：
(3)计算： ．
2．（23-24八年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料并解答后面所给出的问题：
① ，②
两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例
如： 与 ， 与 ，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化
简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了．
(1) 的有理化因式是_________， 的有理化因式是_________．
(2)求 的值；
(3)求 的值．
3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程．
例：化简 ．
解： ．
请回答下列问题：
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：
① ，
② ；
(2)应用：化简 ；
(3)拓展： ．（用含 的式子表示， 为正整数）4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考：
材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如 的计算，需要运用分式的基本性质，将分母
转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如： ；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如： ；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)化简 ；
(2)计算： 的值．
5．（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面计算过程：
；
；
；
请解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)根据上面的规律，请直接写出 ______；
(3)利用上面的解法，请计算： ．【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式 （ ， ，
）化简呢？如能找到两个数 ， （ ， ），使得 ，即 ，且使
，即 ，那么 ， ，
双重二次根式得以化简．
例如化简： ，
因为 且 ，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），使得
，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： = =
(2)化简： ；
(3)计算： ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·山西长治·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是
根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简 ，可以先思考 （根据1）．
．通过计算，我还发现设
（其中m，n，a，b都为正整数），则有 ．
∴ ， __________．这样，我就找到了一种把部分 化简的方法．任务：
(1)文中的“根据1”是__________， __________．
(2)根据上面的思路，化简： ．
(3)已知 ，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
2．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料：
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______．
(2)化简： （请写出计算过程）
(3)
3．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ， 使 ， ，这样 ，
，那么便有 ，例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ， ；由于 ， ，即
，
。
根据上述例题的方法化简：
(1) ；
(2) ；(3) ．
4．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式 （ ， ， ）
化简呢?如能找到两个数m，n（ ， ），使得 ，即 ，且使 ，即
，那么 ， ，双重二次
根式得以化简．
例如：化简 ，∵ ，且 ， ，∵ ，
．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到m，n（ ， ）使得
，且 ，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： ______， ______；
(2)化简： ；
(3)计算： ．【考点六 二次根式运算中的新定义型问题】
例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求 的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(3)计算： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称
与 是关于 的美好二次根式．
(1)若 与 是关于6的美好二次根式，求 的值：
(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意的正数 ， 定义运算 为： .
(1)计算 的结果；
(2)计算 的结果.
3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的
三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和 ，因为 ，所
以这个三角形是奇异三角形．(1)若 的三边长分别是2， 和 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由．
(2)若Rt 是奇异三角形，直角边的长为a，b（ ），斜边长为c，写出a和b的等量关系式．
4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方
的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为 ，所
以这个三角形是常态三角形．
(1)【概念理解】若 三边长分别是 ， 和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不
是”）
(2)【初步应用】若 是常态三角形，其三边长分别为 、 、 ，且 ，则 的值为
________；
(3)【拓展思考】如图，在 中， ， ， ， 在 上，且 ，
若 是常态三角形，求线段 的长．
5．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用 表示有序数对．给出如下定义：记 ，
，其中 ， ，将 与 称为有序数对 的一对“对称数对”．例如； 的一
对“对称数对”为 和 ．
(1)有序数对 的一对“对称数对”是＿＿＿；
(2)若有序数对 的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿；
(3)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，则x的值为＿＿＿；
(4)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，求 的值．【考点七 二次根式运算中的规律探究问题】
例题：（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
(3)计算：
【变式训练】
1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各个等式：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
……
按以上等式规律，解决下面的问题：
(1)写出第⑤个等式： ．
(2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第 个等式： ；
(2)计算： ；
(3)利用这一规律计算： ．
5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：……
(1)请你根据上述规律填空： ______；
(2)①把你发现的规律用含有 的等式表示出来： ______；
②证明①中的等式是正确的，并注明 的取值范围．
