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江苏泰州中学2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试题
一、单选题
1．已知 ，那么 （ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．若随机变量 ，且 ，则 （ ）
A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45
3．已知空间向量 ，若 ，则 （ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
4．今年贺岁片，《飞驰人生3》，《惊蛰无声》，《镖人》，《熊出没》票房前四，小明和他的同学一行
五人决定去看这四部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A． 种 B．60种 C．120种 D． 种
5．空间内有三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是 ，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率
为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（
）
A．0.5 B．0.75 C．0.65 D．0.625
7．已知 ，则下列描述正确的是 （ ）
A． B． 除以5所得的余数是1
C． D．8．正方体 的棱长为5，点M在棱AB上，且 ，点P是正方体下底面ABCD内（含
边界）的动点，且动点P到直线 的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若 则（ ）
A． B． C． D．
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所
示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ）
A．第10行所有数字的和为1024 B．
C．第9行所有数字的平方和等于 D．若第 行第 个数记为 ，则
11．在四棱锥 中，底面 是正方形， ， ， ， 为棱 上
一点，则下列说法正确的是（ ）A．点 到平面 的距离为2
B．若 为棱 的中点，则过A，D，P的平面截此四棱锥的截面面积为6
C．四棱锥 外接球的表面积为
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生
的条件下，第二次抽到女生的概率等于______.
13．在平行六面体 中，已知 ， ， ，
，则 的长度为________.
14．设 展开式为 ，则 ________.
四、解答题
15．在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)全体排成一排，女生必须站在一起；
(2)全体排成一排，男生互不相邻；
(3)全体排成一排，5人中的甲不站最左边，乙不站最右边．17．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种
是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视
的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中
随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是
男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜
塑形镜的人数Y的期望和方差.
18．如图，在四棱台 中，已知 ，
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱台 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
19．某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是
甲管理停车场，则下一天有 的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有 的概率是丙
管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有 的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的
是甲.
(1)求第4天是甲管理停车场的概率；
(2)求第 天是甲管理停车场的概率；
(3)设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为 ，判断 的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）
参考答案
1．C
【详解】因为 ，
所以 ，
则 .
故选：C.
2．B
【详解】
.
3．D
【详解】由 ，有 ，则 ，解得 ．
故选：D．4．A
【详解】五人看四部电影，不同的选择共有 种
5．B
【详解】因为 ，所以 ，
.所以 ， ，
点P到直线EF的距离为 .
故选：B..
6．D
【详解】由题意，令 表示会做， 表示选对，则 ，
且 ，
所以 .
7．B
【详解】对于A：令 得： ；令 ，得 ．
，因此A错误；
对于B：
，因此B正确
对于C：因为 二项展开式的通项公式为 ，
由通项公式知， 二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以 ，
由 ，令 ，得到 ，令 ，得到 ，
所以 ，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对 求导，
得到 ，
令 ，得到 ，令 ，得
所以，
所以选项D错误．
故选：B
8．B
【详解】
如图所示，作 ，Q为垂足，则 平面 ，
过点Q作 ，交 于 ，则 平面PQR，所以PR即为P到直线 的距离．
因为 ，且 ，所以 ．
所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是 ，
点 ，设 ，所以
，所以当 ， 取得最小值 .
故选：B
9．BC
【详解】对于选项A： ，A错误；
对于选项B： ，B正确；
对于选项C： ， ，C正确；
对于选项D： ， ，D错误.
故选：BC.
10．ACD
【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为 ，正确；
对于B：由公式 得：
，错误；
对于C，在“杨辉三角”中，第 行所有数字的平方和恰好是第 行的中间一项的数字，
即 ，
因为
对应相乘可得 的系数为 ，
而二项式 展开式的通项公式 ， ，当 时， ，则 的系数为 ，
所以 ，
所以第9行所有数字的平方和等于 ，正确；
对于D，第 行的第 个数为 ，
所以
即 ，正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】对于A选项，因为 ， ，又 ，且 ， 面 ，
所以 面 ，又因为 ，所以 平面 ，
因为 ，且 ，
可得 到平面 的距离为 ，即三棱锥 的高为 ，
设点 到平面 的距离为 ，且 ，
由 ，可得 ，得 .
所以点 到平面 的距离为2，所以A正确；
对于B选项，因为 ，所以点 为棱 的中点，
取 中点为 ，连接 ， ，则平面 即为平面 截此四棱锥所得的截面.
且点 是 的中点，点 为棱 的中点，
所以在 中， 是 的中位线，则 ，且 ，
又因为四边形 是正方形，则 ，所以 ，
因为 面 ，且 面 ， 面 ，所以 .所以四边形 是以 为下底、 为上底， 为高的直角梯形，
因为 ，在等腰 中， ，且 平分 ，
可得 ，
则平面 截此四棱锥所得截面的面积为 ，所以B正确；
对于C选项，又因为 ， ，且 ，
所以 ，即 ，其中 为 外接圆半径，
因为正方形 的中心到面 的距离等于其边长的一半，即 ，故四棱锥 外接球的半径为
.
所以四棱锥 外接球的表面积为 ，所以C不正确；
对于D选项，过点 作 ，再过点 作 ，使得 分别在线段 上，连接 .
根据线面平行的判定定理，可得 平面 ， 平面 ，
因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，即 平面 .
所以 即为 与平面 所成的角，即为 与平面 所成的角.
由于 平面 ， 在平面 内，故 .
从而在直角 中，可得 .
设 ，由 ，可得 ，
所以 ，所以 .由于 ，
故在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在直角 中，可得
，
且当 时，取得等号.
所以 的最大值是 ，所以D正确.
12．
【详解】在第一次抽到男生的条件下，学习小组剩余9个人，其中男生5名，女生4名，
所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是 .
13．
【详解】在平行六面体 中， ，
.
因为 ， ，
，所以 ，即 .
14．
【详解】由 ，
故 ，则 ，
由
，
则 ，即有 ，
故
.15．(1)证明见解析
(2) 和
【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得
解得 （舍去）或
的展开式的通式为
令 ，得
故展开式中没有常数项；
（2）令 ，则 ，
，
展开式中的有理项为 和
16．(1)36；
(2)72；
(3)78．
【详解】（1）先将女生捆绑共： 种排列方法；
再与另外2名男生一共看成3个元素全排列： 种排列方法；
分步用乘法：共 种．
（2）先对女生进行全排列： 种；
再将男生插空，4个空放2名男生： 种；
分步用乘法：共 种．
（3）法一：对甲的位置进行分类：第一类：甲在最右边：1种情况；其他无特殊要求 种；
共 种；
第二类：甲不在最右边且不在最左边，共3个位置可以选；
乙不在最右边，除去甲已选的位置，也有3个位置可以选；
其余3人全排列： 种；
分步用乘法：共 种；
综上，分类用加法：共 种．
法二（间接法）：
全体排成一排： 种；
其中甲站最左边： 种；
乙站最右边： 种；
其中甲站最左边且乙站最右边： 种；
故共有 种．
17．(1) ；
(2) ， ；
(3)佩戴角膜塑形镜的人数 的期望是 ，方差是 .
【详解】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则 ，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件 ，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为
事件 ，则 ，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是 ；（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有 人，其中 名是男生， 名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所
有可能取值分别为0，1，2，
其中： ；
；
.
所以男生人数 的分布列为：
所以 ，
，
（3）由已知可得：
则： ，
所以佩戴角膜塑形镜的人数 的期望是 ，方差是 .
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在四边形 中， ，
， ， ，又 平面 ，
平面 而 平面 ， .
又 平面 平面 ；
（2） ，
，
如图建系，
，
，设平面 的一个法向量 ，
，取 ，则 ，
平面 的一个法向量 ，设二面角 的平面角为 ，
显然 为锐角， .
19．(1)
(2)(3)
【详解】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以 .
（2）设事件 表示“第 天甲管理停车场”，事件 表示“第 天乙管理停车场”，事件 表示“第
天丙管理停车场”，
可知 ，
记 ，则 ，
由题意可知： ，
当 时， ，
即 ，整理得 ，
可得 ，且 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，故 ，
所以第 天是甲管理停车场的概率为 .
（3）由题意可知：当 时， ，
，
可得 ，
两式相减得： ，且 ，可知 ，即 ，
综上所述： 对任意 恒成立，可知 ；
令 的前n项和为 ，则 或 ，
可得 ，
可知 ，
又因为 ，
则 ；
综上所述： .
