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福建宁德市2025-2026学年第二学期高二适应性练习
数学试卷
一、单选题
1．已知 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
2．已知某质点的位移 与时间 满足函数关系式 ，则当 趋近于0时， 趋近
于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，空间四边形 中，点 和点 分别在 和 上，且满足 ，则下列向
量与 是共线向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
5．已知函数 在 处有极值 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
6．已知 四点共面，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知函数 是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间向量 （ ）
A．当 时，
B．当 为钝角时， 且
C．存在实数 ，使得
D．存在实数 ，使得 为空间的一组基底10．设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心
D．存在 ，使得过点 可作曲线 的切线有三条
11．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线 在点 处的切线方程为 ．
易知，除切点 外， 图象上其余所有的点均在 的上方，故有 ．显然，选择的切点
不同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
三、填空题
12．点 关于坐标平面 对称的点的坐标是__________.
13．曲线 过点 的切线方程为______________________.14．在空间直角坐标系中，曲线 的方程为 ，（ 为参数， ），点 在曲线 上，直
线 过坐标原点且 的一个方向向量 ，则点 到直线 的最短距离为__________.
四、解答题
15．如图，已知四棱柱 的底面 是正方形， ，
.
(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求 的长.
16．已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数.
17．某工厂生产正四棱锥形状的精密零件，为防止运输时磕碰损坏，需要给每个零件定制专用的球形保护
包装盒，要求正四棱锥的所有顶点都在球面上（即正四棱锥内接于该球），已知球形包装盒的半径为3，
正四棱锥的侧棱长 满足 .
(1)用侧棱长 表示该零件的体积 ；(2)在保证零件完全适配球形包装盒的前提下，如何设计侧棱长 ，使得零件的体积最大？求出此时零件的
体积 及对应的侧棱长 .
18．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 为棱 上的
点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)设 与底面 所成角的正切值为 .
（i）求面 与面 所成的二面角的正弦值；
（ii）棱 上是否存在点 ，使得点 到面 的距离为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请
说明理由.
19．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3)设 ，证明： .1．A
2．B
3．B
4．D
5．C
6．A
7．C
8．B
9．ACD
10．BC
11．ABD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
16．(1)
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(3)1个
17．(1)
(2)当侧棱长为 时，零件的体积最大，此时体积为
18．(1)证明见解析
(2)（i） ；（ii）存在， 为 的中点19．(1) 时， 在 上单调递增，无单调递减区间；
时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
(2)
(3)证明见解析
