2025—2026 学年第二学期高二期中监测
数 学 试 题
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第二册第五章,选择性必修第三册。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.已知书架上仅有A,B,C,D四类杂志,其数量分别为6,4,5,4,且每类杂志中的每一本都不同.若小
张要从该书架选一本杂志,则他的选法数为
A.4 B.19 C.60 D.480
2.若随机变量X~N(3,σ2),且P(3≤X<4)=0.37,则P(X≤2)=
A.0.13 B.0.26 C.0.14 D.0.27
3.函数f(x)=2x3-7x2-4x+1的极值点之和为
2 7 1 7
A.- B. C. D.
3 3 3 2
1 6
4. (−2x+ ) 展开式的常数项为
4x
5 5
A.-20 B.20 C.- D.
2 2
5.用4个1、3个2、3个3组成一个十位数,则3个2相邻的十位数的个数为
A.280 B.420 C.720 D.1 680
6.若空间向量a=(1,x,m),b=(x,y,ln x),且a∥b,则
1 1
A.m有最大值,且最大值为 B.m有最小值,且最小值为-
e e
C.m有最大值,且最大值为e D.m有最小值,且最小值为-e7.将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人(含甲、乙),在每人至少分得1瓶的前提下,
甲和乙都分得2瓶的概率为
1 3 4
A. B. C.
11 55 55
7
D.
110
8.函数f(x)=e2x-(2x+1)ex+x2+x的最小值为
1
A.- B.ln 2 C.1
4
D.0
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.一箱脐橙共有12个,其中有若干个为烂果,从这一箱脐橙中任取2个,恰有1个烂果的概率不
16
大于 ,则这箱脐橙的烂果个数可能为
33
A.2 B.3 C.4 D.5
10.已知函数f(x)=ex-t(x2+x+1),则
A.当f(x)仅有一个零点时,t>1
e
B.当f(x)有三个零点时, <t<1
3
C.当f(x)恰有两个零点m,n时,m+n>0
D.当f(x)有三个零点a,b,c(a<b<c)时,a<0<b<1<c
11.若随机变量X~B 随机变量Y服从两点分布,且P(Y=0)=p ,已知X与Y相互独
立,则
3 3
A.P(XY=1)恒小于 B.P(X+Y=3)的最小值为
8 16
3 11
C.E(XY)的最小值为 D.E(p2XY+1)的最大值为
4 9
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.n ＾
∑(y -y )2
i i
12.决定系数R2可以用来比较两个模型的拟合效果,R2的计算公式为R2=1-i=1 ,则R2越
n
∑(y -y)2
i
i=1
大,表示残差平方和越 ▲ (填“大”或“小”),即拟合效果越 ▲ (填“好”或
“差”).
1
13.函数f(x)= x3-x2(0≤x≤3)的值域为 ▲ .
3
14.如图,给这八个方格涂色,现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择,要求相邻的方格
涂不同的颜色,且两端都涂红色,则不同的涂色方法共有 ▲ 种.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
敦煌文化,以莫高窟佛教艺术和藏经洞文化为代表,延续近2 000年.为研究敦煌文化的传承意愿
与参与体验活动之间的关系,某调研队在甘肃省敦煌市随机抽取了1 000名游客进行调查,得到
如下表格:
愿意传承 不愿意传承 合计
参与过体验活动 320 80 400
未参与过体验活动 240 360 600
合计 560 440 1 000
(1)记参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的概率为p,求p的估计值.
(2)根据小概率值α=0.001 的独立性检验,能否认为参与体验活动与传承意愿有关?说明你的理
由.
n(ad-bc)2
附:χ2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α16.(15分)
某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐,根据历史数据,选择甲餐厅的概率为0.6,选择乙
餐厅的概率为0.4,甲餐厅的准时送达率为0.95,乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该用户每次外卖
点餐准时送达与否相互独立.
(1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.
(2)在该用户的N次外卖点餐中,记准时送达的次数为X,若X的方差大于0.7,求N的最小值.
(3)平台推出“准时保”,每单需支付0.5元的服务费,若外卖未准时送达,则平台赔付3元;若外
卖准时送达,则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元,试问他
是否愿意购买“准时保”?说明你的理由.
17.(15分)
已知(-4+3x)7=a +a x+a x2+…+a x7.
0 1 2 7
(1)证明:a +a +…+a =47-1.
1 2 7
(2)求log (|a |+|a |+|a |+…+|a |)的值.
7 0 1 2 7
(3)证明:a -2a +3a -4a +5a -6a +7a 能被147整除.
1 2 3 4 5 6 7
18.(17分)6√a
已知函数f(x)=x2-aln x- .
x
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在其定义域内单调递增,求a的取值范围;
(3)若0<a<9,且∀m∈(0,+∞),∃n∈(0,1],f(n)+mm>mln m2-2ln 2,求a的取值范围.
19.(17分)
一个不透明的袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球(大小、质地均相同),每次从袋中随机
摸出1个小球并记录编号后放回袋中,当连续两次摸出的小球的编号相同时,停止摸球.设停止
摸球时已摸球的次数为X,第k次摸到的小球编号为Y .
k
(1)求P(X=2)与P(X=3);
(2)设P(X=n)=a ,求a +a +…+a +4a 与a -a +a -…+(-1)na ;
n 2 3 n n+1 2 3 4 n
(3)当X=n时,S 为随机变量,若Y +Y +…+Y 是奇数,则S =1,若Y +Y +…+Y 是偶数,则S =0,求
n 1 2 n n 1 2 n n
P(S =0).
n2025—2026 学年第二学期高二期中监测
数学试题参考答案
1.B 由分类加法计数原理可知,他的选法数为6+4+5+4=19.
2.A 因为X~N(3,σ2),且P(3≤X<4)=0.37,所以P(2<X≤3)=P(3≤X<4)=0.37,则P(X≤2)=0.5-
P(2<X≤3)=0.13.
3.B f'(x)=6x2-14x-4,因为(-14)2-4×6×(-4)>0,所以f(x)有两个极值点,
14 7
由韦达定理得这两个极值点之和为 = .
6 3
C3
4.C 展开式的常数项为 6 .
5.A 依题意可得3个2相邻的十位数的个数为 =280.
C1C3
8 7
6.A 因为a∥b,所以存在唯一的实数k,使得a=kb,即1=kx,m=kln x,其中x>0,
lnx lnx 1-lnx
则m= .设f(x)= ,则f'(x)= ,令f'(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上
x x x2
单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
1 1
故f(x) =f(e)= ,则m有最大值,且最大值为 ,m无最小值.
max
e e
7.D 若每人至少分得1瓶,则由隔板法可得分法数为 .在每人至少分得1瓶的前提下,甲和乙
C7
11
都分得2瓶,则其余8瓶分给6位建筑工人,由隔板法可得分法数为
.故所求概率为C5
=
C2
=
C5 7 7
7 C7 C4
11 11
7
.
110
8.D f(x)=e2x-2xex+x2-ex+x=(ex-x)2-(ex-x).设g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,则g(x)≥g(0)=1.令t=ex-x,t≥1,则(ex-x)2-(ex-x)=t2-t,因为y=t2-t在
[1,+∞)上单调递增,所以当t=1时,y=t2-t取得最小值,且最小值为0.故f(x)的最小值为0.9.ABC
设这一箱脐橙中有n个烂果,则C1C1
=n(12-n)≤16,解得n≤4或n≥8,所以这箱脐橙
n 12-n
C2 66 33
12
的烂果个数可能为2,3,4.
ex ex ex(x2-x)
10.BCD 由f(x)=0,得t= .设g(x)= ,则g'(x)= ,令g'(x)>0,得x<0或x>1,
x2+x+1 x2+x+1 (x2+x+1)2
e
令g'(x)<0,得0<x<1,则g(x)的单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞),单调递减区间为(0,1),g(0)=1,g(1)=
3
e
,当x→-∞时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→+∞.当t< 或t>1时,直线y=t和曲线y=g(x)仅有一个交
3
e
点,f(x)仅有一个零点,A错误.当t= 或t=1时,直线y=t和曲线y=g(x)有两个交点,f(x)恰有两个零
3
e 1 3 3
点m,n,设m<n,当t= 时,n=1,g(-1)= < ,g(0)=1> ,则-1<m<0,则m+n>0,当t=1时,m=0,n>1,则
3 e e e
e
m+n>0,C正确.当 <t<1时,直线y=t和曲线y=g(x)有三个交点,f(x)有三个零点a,b,c(a<b<c),由
3
图可知,a<0<b<1<c,B,D均正确.
1 3 3
C0 C1 C2
11.AC 因为X~B ,所以P(X=0)= 3× =8,P(X=1)= 3× =8,P(X=2)= 3× =8
1 3
C3
,P(X=3)= 3× =8.因为X与Y相互独立,所以P(XY=1)=P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=8(1-p)=
3 3 3 3 1 3
- p< ,P(X+Y=3)=P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=0)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)= (1-p)+ p= -
8 8 8 8 8 8
1 3 1 1 1 3
p≥ - × = ,A正确,B错误.P(XY=2)=P(X=2,Y=1)=P(X=2)P(Y=1)= (1-
4 8 4 2 4 81
p),P(XY=3)=P(X=3,Y=1)=P(X=3)P(Y=1)= (1-p),则
8
3 3 3
E(XY)=0×P(XY=0)+1×P(XY=1)+2×P(XY=2)+3×P(XY=3)=2(1-p)≥2× =4,C正确.
3 3 3 11 2
E(p2XY+1)=2p2(1-p)+1=4p2(2-2p)+1≤4 +1=9 ,当且仅当p=3 时,等号成立,因
1
为0<p≤ ,所以等号取不到,D错误.
2
12.小;好 R2越大,表示残差平方和越小,即拟合效果越好.
13. f'(x)=x2-2x,令f'(x)≤0,得0≤x≤2,令f'(x)>0,得2<x≤3,则f(x)在[0,2]上单调递减,在(2,3]
4
上单调递增,则f(x)
min
=f(2)=-3,又f(0)=f(3)=0,所以f(x)的值域为 .
14.13 020 因为两端都涂红色,所以中间4个方格也可以涂红色.
当中间4个方格中有2个方格涂红色时,涂红色的位置有3种选择,剩下的有5×5×5×4种选择,
所以有5×5×5×4×3=1 500种涂色方法.
当中间4个方格中只有1个方格涂红色时,涂红色的位置有4种选择,剩下的有5×5×4×4×4种
选择,所以有5×5×4×4×4×4=6 400种涂色方法.
当中间4个方格都不涂红色时,有5×45=5 120种涂色方法.
综上,不同的涂色方法共有1 500+6 400+5 120=13 020种.
320 4
15.解:(1)由题意可得参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的频率为 = , 3分
400 5
4
以样本频率估计总体概率,则p的估计值为 .5分
5
(2)零假设为H :参与体验活动与传承意愿无关. 6分
0
1000×(320×360-240×80)2 12000
χ2= = , 9分
560×440×400×600 77
12000
>100>10.828=x , 11分
0.001
77依据小概率值α=0.001 的独立性检验,有充分证据推断H 不成立,因此可以认为参与体验活动
0
与传承意愿有关. 13分
16.解:(1)设事件B=“外卖点餐准时送达”,A =“在甲餐厅点餐”,A =“在乙餐厅点餐”,依题意得
1 2
P(A )=0.6,P(A )=0.4,P(B|A )=0.95,P(B|A )=0.9. 1分
1 2 1 2
由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率P=P(A )·P(B|A )+P(A )·P(B|
1 1 2
A )=0.6×0.95+0.4×0.9=0.57+0.36=0.93. 4分
2
(2)依题意得X~B(N,0.93), 6分
则D(X)=N×0.93×(1-0.93)=0.065 1N. 7分
7
若X的方差大于0.7,则0.065 1N>0.7,所以N> ≈10.8,
0.651
故N的最小值为11.9分
(3)他愿意购买“准时保”. 10分
理由如下:
设他购买“准时保”的净收益为Y元,则Y的所有可能取值为-0.5,2.5. 11分
P(Y=-0.5)=0.93,12分
P(Y=2.5)=1-0.93=0.07, 13分
则E(Y)=0.93×(-0.5)+0.07×2.5=-0.29.14分
因为E(Y)=-0.29>-0.3,即亏损期望不超过0.3元,所以他愿意购买“准时保”. 15分
【备注】
第(3)问的理由还可以这样写:
设他购买“准时保”的亏损为Y元,则Y的所有可能取值为0.5,-2.5, 11分
P(Y=0.5)=0.93,P(Y=-2.5)=1-0.93=0.07, 13分
则E(Y)=0.93×0.5+0.07×(-2.5)=0.29. 14分
因为0.29<0.3,所以他愿意购买“准时保”. 15分
17.(1)证明:令x=0,得a =(-4)7=-47, 2分
0
令x=1,得a +a +a +…+a =(-1)7=-1, 4分
0 1 2 7
所以a +a +…+a =-1-(-47)=47-1. 5分
1 2 7
(2)解:因为|a |+|a |+|a |+…+|a |为(4+3x)7的展开式各项系数之和,7分
0 1 2 7
所以|a |+|a |+|a |+…+|a |=(4+3×1)7=77, 9分
0 1 2 7
所以log (|a |+|a |+|a |+…+|a |)=7. 10分
7 0 1 2 7
(3)证明:由(-4+3x)7=a +a x+a x2+…+a x7,
0 1 2 7得[(-4+3x)7]'=(a +a x+a x2+…+a x7)',
0 1 2 7
即7(-4+3x)6×3=a +2a x+3a x2+…+7a x6,12分
1 2 3 7
令x=-1,得a -2a +3a -4a +5a -6a +7a =7×(-7)6×3=147×75, 14分
1 2 3 4 5 6 7
因为147×75能被147整除,所以a -2a +3a -4a +5a -6a +7a 能被147整除.15分
1 2 3 4 5 6 7
6 1 6
18.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-ln x- ,则f'(x)=2x- + , 1分
x x x2
则f'(1)=7. 2分
因为f(1)=-5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+5=7(x-1),
即y=7x-12. 3分
(2)f(x)的定义域为(0,+∞). 4分
f'(x)=2x-a+6√a=2x3-ax+6√a.5分
x x2 x2
若f(x)在其定义域内单调递增,则f'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,
即2x3-ax+6√a≥0对x∈(0,+∞)恒成立.6分
易知a≥0,当a=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,所以a=0满足题意. 7分
当a>0时,设g(x)=2x3-ax+6√a(x>0),
则g'(x)=6x2-a=6 .
令g'(x)<0,得0<x< ,令g'(x)>0,得x> ,
所以g(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 8分
所以g(x) = .
min
又a>0,所以0<a≤9√6. 9分
综上,a的取值范围是[0,9√6]. 10分
(3)由(2)知,当0<a<9时,f(x)在其定义域内单调递增,则f(x)在(0,1]上单调递增,
则f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=1-6√a. 11分
由f(n)+mm>mln m2-2ln 2(m>0),得f(n)>mln m2-mm-2ln 2(m>0),则f(n)>2mln m-emln m-2ln 2. 13分
1 1
设h(x)=xln x,则h'(x)=1+ln x,当0<x< 时,h'(x)<0,当x> 时,h'(x)>0,
e e
1
所以h(x)≥h =- . 14分
e
1
设p(x)=2x-ex-2ln 2,x≥- ,
e
1
则p'(x)=2-ex,当- ≤x<ln 2时,p'(x)>0,当x>ln 2时,p'(x)<0,
e
所以p(x) =p(ln 2)=2ln 2-2-2ln 2=-2. 15分
max
由∀m∈(0,+∞),∃n∈(0,1],f(n)+mm>mln m2-2ln 2,
得1-6√a>-2, 16分
1
解得a< ,又0<a<9,所以a的取值范围是 . 17分
4
1 1
19.解:(1)P(X=2)=1× = , 1分
4 4
3 1 3
P(X=3)=1× × = . 2分
4 4 16
(2)因为X≥2,所以n≥2,则P(X≥n+1)=1-a -a -…-a . 3分
2 3 n
1
若X=n+1,则X≥n+1且Y =Y ,所以a =(1-a -a -…-a )× ,
n n+1 n+1 2 3 n
4
即a +a +…+a +4a =1, 5分
2 3 n n+1
3
所以a +a +…+a +a +4a =1,所以a +4a -4a =0,即a = a .7分
2 3 n n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2 n+1
4
3 3 1
由(1)可知a = ,所以当n≥3时,a = × = × .
3 16 n 16 4
1 1
又因为a = ,所以a = × , 8分
2 4 n 4
1
所以a -a +a -…+(-1)na = × 9分
2 3 4 n 43
1-(- ) n-1 3
1 4 1-(- ) n-1
= × = 4 . 10分
4 3
1-(- ) 7
4
(3)当X≥n≥3时,设随机变量T 满足:若Y +Y +…+Y 是奇数,则T =1,若Y +Y +…+Y 是偶数,则
n 1 2 n-2 n 1 2 n-2
T =0.设P(T =0)=b .
n n n
1
当n=3时,T =0即Y 为偶数,可得b = .
3 1 3
2
1 1 1 1 1
当n=4时,T =0即Y +Y 是偶数,可得b = × + × = . 11分
4 1 2 4
2 3 2 3 3
当n≥5时,T =0可分成两种情况:当T =0时,Y 与Y 同为奇数或同为偶数;当T =1时,Y 与
n n-2 n-3 n-2 n-2 n-3
Y 一奇一偶.
n-2
1 2 1 1
所以b =b × +(1-b )× = - b ,即b - . 13分
n n-2 3 n-2 3 3 n-2 n 2
1 1
当n≥3且n为奇数时,b
n
-2= ,即b
n
=2;
1 1 1
当n≥3且n为偶数时,b
n
-2= ,即b
n
=2+2× . 15分
当n=2时,Y =Y ,P(S =0)=1.
1 2 n
当n≥3时,P(S =0)=P(T =0)=b .
n n n
1 1 1
综上可得,当n≥2且n为偶数时,P(S
n
=0)=2+2× ;当n≥2且n为奇数时,P(S
n
=0)=2. 17
分
【备注】
【1】第(1)问还可以这样解答:
4×1 1
P(X=2)= = , 1分
4×4 4
4×3×1 3
P(X=3)= = . 2分
4×4×4 16
【2】第(2)问还可以这样解答:3 3 3
P(X=n)=a n =1×⏟4 × 4 ×…× 4× 1 = 1 × (n≥2). 5分
4 4
(n-2)个
1
a +a +…+a +a +4a = × =1, 7分
2 3 n n+1 n+2 4
1
所以a -a +a -…+(-1)na = × 9分
2 3 4 n 4
3
1-(- ) n-1 3
1 4 1-(- ) n-1
= × = 4 . 10分
4 3
1-(- ) 7
4
