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山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题
一、单选题
1．已知数列 中， ，则 （ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知实数 是3与9的等比中项，则 （ ）
A． B． C． D．6
4．学校要从 名男教师和 名女教师中随机选出 人去支教，则抽中的人中有女教师的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．90 B．210 C．250 D．310
6．已知 ， ，且 和 的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等差数列 满足 ，则 的公差 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
8．甲乙丙三家AI公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为
，若系统仅被1家公司突破，其瘫痪的概率为 ，若系统被2家公司突破，其瘫痪的概率为
，若3家公司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．学校在一次调查“体育迷”的活动中，随机调查了100名同学，获得了如下数据：
性别
男 女 合计
是否体育迷
体育迷 45
非体育迷 10
合计 75 100
计算得 ，则下列结论正确的是（ ）
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．
B． 是 与 的等差中项
C．任取1人为体育迷的概率为
D．没有 的把握认为是否为体育迷与性别有关
10．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 互斥C． D．
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． 为递减数列
C． D．
三、填空题
12．已知等比数列 中， ，则 __________.
13．已知数列 满足 ， ，则 __________.
14．已知 盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球， 盒中装有大小相同的3个红球，从 盒中随机抽
取一个球，若是红球，则放回 盒；若是黑球，则从 盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复
以上操作，直到 盒中6个球全是红球为止.记 次重复操作后， 盒中6个球恰好全是红球的概率
为 ，则 __________.
四、解答题
15．某人工智能公司从某年起5年的利润情况如下表所示.
第 年 1 2 3 4 5
利润 亿元 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2
(1)求出 关于 的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，预测该人工智能公司第6年的利润.
参考公式： .参考数据： .
16．已知数列 满足
(1)记 ，证明：数列 为等比数列，并求 ；
(2)求 的前 项和.
17．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每隔 等可能地向左或向右移动一个单位，共
移动6次.
(1)求质点在第3次移动后位于1的概率；
(2)记质点最终位置到原点的距离为随机变量 ，求 的分布列和期望.
18．已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，若 .
（i）求 ；
（ii）设 为数列 的前 项和，证明： .
19．设点集 ，从集合 中任取两个不同的点
，定义 两点间的距离 ．
(1)当 时，若 ，求 的值；(2)若 ，记 ．
（i）求 的分布列与期望 ；
（ii）证明： ．
参考答案
1．A
【详解】依题意， .
2．C
【详解】因为 ，所以 .
3．A
【详解】 是3与9的等比中项，
所以 ，解得 ．
4．C
【详解】因为总共有 名教师，任选 人的总选法为组合数： 种，
“抽中的人中有女教师”的对立事件是“抽中 人均为男教师”，即全男的选法为： 种
所以全男的概率为 ，因此抽中的人中有女教师的概率： .
5．B
【详解】由题意可知 成等比数列，
所以 ，解得 .
6．C
【详解】由题图可知 ， ，则 ，即 ，所以A错误；
根据正态曲线的性质， 越大图象越矮胖，则 ，即 ，所以B错误；
由图可知， ，所以C正确；
由图可知， ，所以D错误．
7．B
解： ，解得 ．
8．D
【详解】设 分别表示甲、乙、丙突破系统， ，相互独立.
系统瘫痪分三种情况：仅1家突破： ，
瘫痪概率 .
仅2家突破： ,
瘫痪概率 .
3家均突破： ，瘫痪概率 .
网络系统被瘫痪的概率为： .
9．ABD
【详解】由题知， ， ， ，
，
对于A，由上述计算知， ，故A正确；
对于B， ，因为 ，
所以 是 与 的等差中项，故B正确；
对于C，由表可知，随机调查的100名同学中，45名同学为体育迷,
所以任取1人为体育迷的概率为 ，故C错误；
对于D， ，则没有 的把握认为是否为体育迷与性别有关,故D正确．
10．ACD
【详解】对于A： ，则 ，
所以事件 与 相互独立，故A正确.
对于B：若事件 与 互斥，则 ，而 ，故B错误.
对于C： ，故C正确.
对于D： ， ，所以 ，
而 ，所以 ，故D正确.
11．BCD
【详解】因为 ，当 时， ，
所以两式相减得： ，即 ，
因为 ，所以 ，
由累乘法求通项得：
，
验证当 ， ，符合公式，因此 .
A： ，A错误；
B：因为 ，
所以 ，所以 为递减数列，B正确；
C：因为 ， ，
又因为 ，所以 ，而函数 在 单调递增，
所以 ，故C正确；D：当 时， ，
当 ，因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
故不等式成立，D正确.
12．18
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 .
故答案为：18.
13． /
【详解】由 ，得 .
所以 ， ， ，
，
所以该数列的周期为3，
所以 .
14．【详解】记 分别为 次操作后 盒中有 个、 个、 个黑球的概率，
则 ，又 ，所以 ，
，
两边同时除以 得 ，
所以 ， ， ，
累加得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
，
两边同时除以 得 ，
所以 ， ，，
累加得
，
即 ，
又 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以当 时，
.
15．(1)
(2)5.76亿元
【详解】（1）依题意， ， ，
则 ， ，所以 关于 的回归方程为 .
（2）由（1）知，当 时，
所以该人工智能公司第6年的利润约为5.76亿元.
16．(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）证明： ，
且 ，
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
于是 ；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
0 2 4 6
【详解】（1）设事件 为质点第3次移动后位于1，所以3次移动中有两次向右，一次向左，则 .
（2）随机变量 的所有可能取值为 .
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 2 4 6
.
18．(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【详解】（1）
当 时， ，
当 时， ，验证当 时， ，所以
（2）
（i）由 得， 时， ，
相减得： ，
化简得： ，所以 ，则 ，
又已知，当 时， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
法一：利用原题中关系式求 .
.
法二：利用乘公比错位相减求 .
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
两式相减得：
即： ，化简得： .
（ii）由（1）和（i）知 .所以
由（i）知 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
19．(1)10
(2)（i）分布列：
1 2
（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ．
（2）（i）由题意可知， 中元素的个数为 个，
对于 的随机变量，在坐标 与 中有 个坐标值不同，
即 ，剩下 个坐标值满足 ，此时所对应情况数为 种，
所以 ，
故 的分布列为：
1 2
所以 ，
因为 ，
所以
，
所以 ．
（ii）因为 ，所以原不等式等价于 ，
当 时， ，所以 ；
当 时，因为 ，
所以，
所以原不等式等价于 ，
即证 ，
因为 ，
所以 ，故 ．
