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河南周口市天立高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题
1．已知函数 则曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，其中 ，3为 的极大值点.若 在 内有最小值，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（ ）种
A． B． C． D．
5．有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少
分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ）
A．40 B．90 C．150 D．240
6．已知 元一次方程 （ ， ， ， ）的正整数解的个数为 ，则
方程 满足 （ ）的整数解的个数为（ ）
A．35 B．56 C．84 D．120
7．已知 的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中 的系数是（
）
A．48 B．64 C．40 D．80
8．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）．
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86
B．第9行所有数字之和为256
C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则
D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286
二、多选题
9．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 当且仅当
C．当 时， D．若 ，则
10．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 有1个零点
C．对任意 ， ，都有
D．若函数 在区间 上有且只有一个零点，则
11．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的 四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.
C．若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.
D．若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放1箱，则共
有84种不同的安排方法.
三、填空题
12．将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个
项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有___________种 （用
数字作答）
13．若 ，则 ________．
14．设函数 ，若 有两个极值点 ， ，且 ，则 的最
小值是________.
四、解答题
15．人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习
调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型．
(1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
(2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？
16．已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
17．有标号1，2，3，4，5，6的六个小球和标有A，B，C，D的四个盒子．（结果均使用数值表示）
(1)若将小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，有多少种放法？
(2)若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒，有多少种放法？
(3)若将小球全部放入盒中，恰有两个盒子为空且盒中球的数量不超过4个，有多少种放法？18．已知 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3)求该展开式中系数的绝对值最大的项.
19．已知函数 ， .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求 在 内的极值；
(3)设 ，若 有2个零点 ， ，且 ，求证： .参考答案及解析
1．D
解析：由 ，得 ，
所以 ，又 ，
曲线在 处的切线方程为 ，
令 得 轴上的截距为 ．
2．D
解析：由 ，定义域为R，
则 ，
因此 是偶函数，
故： ， ，
对 求导得：
因为 ，
由 ，得 ，所以 ，
当 时， ，
即 在 上单调递增，
因此大小关系为： ，
结合 的单调性得： ，
即 .3．B
解析： ，由于 ，则 ，
所以由 或 ；由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
故 是 的极大值点， 是 的极小值点.所以 ，
若 在 内有最小值，只需 且 ，
即 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
4．A
解析：将丙和丁看作一个整体（捆绑），内部可以交换顺序，有 种，
①先排（丙丁）和戊，有 种排法，这两个排好后，会产生 个空位（包括两端），
②从 个空位中选 个来排甲和乙，有 种排法，
所以总排法为 种．
5．C
解析：解：先将5名护士分成3组，每组至少1人，分组方式有 ； ，
则不同的分配方案种数为 ．
6．B
解析：由 得， ，令 ， .
则原问题等价于方程 的正整数解的个数，
由题意知符合条件的个数为 ，
故选：B.
7．D
解析：因为展开式中二项式系数之和为32，
则 ，解得 ，即二项式为 ，
又因为 的展开式中各项系数之和为243，
令 可得 ，解得 ，即二项式为 ，
其展开式的通项公式为 ， ，
令 ，可得 1，所以展开式中 的系数是 .
8．D
解析：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是 ，A错误；
由二项式系数的性质知，第n行各数的和为 ，所以第8行所有数字之和为 ，则第9行数字之和
必大于256，B错误；
第20行数字的最大值为 ，第21行数字的最大值为 ，所以 ，C错
误；
在“杨辉三角”中，当 时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确．
故选：D
9．ABC
解析：已知 ，求导得 ，
令 ，得 或 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，极大值 ，极小值 ，
因式分解得： ，
对于A选项： 有两个极值点 有两个实数根 和 ，
且在这两点左右两侧导数异号，因此这两个点都是极值点，故A正确；
对于B选项，因为 ，其中 ，
要使 ，必须有 且 ，
解 ，得 ，此时自然满足 ，
因此不等式解集为 ，故B正确；
对于C选项：当 时， ，当 时， ，
且 ，故两者均处于 的单调递增区间 ，
，因为 ，所以 ，即 ，
又函数在 上单调递增，故 ，故C正确；
对于D选项：取 ，计算得 ，为了使和为4，需要 ，令 ，即 ，
分解得 ，解得 或 ，
若取 ，满足 ，但此时 ，
因此原命题不一定成立，故D错误.
10．BC
解析：函数 的定义域为R，则 ，
对于A，当 时， ，则 在 单调递减；
当 或 时， ，则 在 ， 单调递增，故A错误；
对于B，由A可知， 在 处取极大值，在 处取极小值，
极大值为 且 ；
又当 ， ，故 在R上只有一个零点，故B正确；
对于C， 代表该函数为凹函数，
记 ，则 ，
又 ，当 时， 恒成立，函数为凹函数，故C正确；
对于D，由上知 在 单调递减，在 单调递增，
又 ， ，
所以 在区间 上有且仅有一个根等价于函数 在 上的图象与直线 只有一个
交点，
所以 或 ，故D错误．
故选：BC．11．ABD
解析：对于A，若四个区都有人去，则共有 24种不同的安排方法.故A正确；
对于B，若恰有一个区无人去，则共有 种不同的安排方法.故B正确；
对于C，若甲不去 区,乙不去 区，且每区均有人去，可考虑4人的全排列，去掉甲去 区，乙去 区，
再加上甲去 区同时乙去 区，
即共有 种不同的安排方法.故C不正确；
对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放1箱，
即使用3块隔板将10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有 种不同的安排方法.故D正确.
故选：ABD.
12．18
解析：志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法，
将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有 种分配方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有 种．
13．3124
解析：由题设，含 的项中，当 为奇数，系数为负，而当 为偶数，系数为正，
所以 ，
令 ，则 ；
令 ，得 ，
所以 ．
14．
解析： 定义域为 ， ，
有两个极值点 ， 等价于 在 上有两个不等实根 ， ，， ， ， ，
，
设 ，
则 ，
在 上单调递减， ，
即 ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
15．(1)1440
(2)240
解析：（1）首先，从6位同学中选5人，有 种选法，
接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责，
则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有 种方法，
再将这四组对应4种模型进行全排列，
不同的调研安排方案有 种.
（2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），
此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人，即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有 种方法，
再将这四组对应4种模型进行全排列，有 种方法，
所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，
共有 种不同的安排方案.
16．(1)
(2)
解析：（1）当 时，函数 ，求导得：
，
令 ，解得 或 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
是极小值点，代入函数得 ．
（2） 恒成立，
，不等式化为 ，
整理得 ， ，问题转化为 ，
令 ，则 ，
，令分子为0，化简得
，整理得 ，， ，故 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
在 处取得最大值： ，
当 时， ， 时 ，
且对所有 ， 成立；
当 时， 处 ，不满足条件，
的取值范围为 ．
17．(1)4096
(2)144
(3)300
解析：（1）因为小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，则每个球均有4种选择，
所以有 种不同放法.
（2）若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒，
先排A盒和D盒，有 种不同放法，
再排B盒和C盒，有 种不同放法，
所以有 种不同放法.
（3）若恰有两个盒子为空，有 种不同选法，
且小球全部放入盒中，剩余两个盒中球的数量不超过4个，
若其中一个盒中球的数量为4个，有 种不同放法；
若其中一个盒中球的数量为3个，有 种不同放法；所以有 种不同放法.
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）已知 ，
展开式的通项 ，
因为 ，所以 ，
所以 等价于 展开式中各项系数之和，
令 ，得 ．
（2）对 ，
两边同时求导得 ，
令 ，得 ．
（3）设第 项的系数绝对值最大，即 最大，
所以 ，即 ，
化简得 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
该展开式中系数的绝对值最大的项为 ．19．(1)
(2) 有极大值 ，无最小值
(3)证明见解析
解析：（1）当 时， ，则 ，
因为 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）当 时， ，有 ，
由 可得 ，即 ，
当 时， ， ，即 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
有极大值 ，无最小值.
（3） ，则 .
若 ，则 ， 单调递增，不可能有两个零点.
若 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 为 的极小值点，
要使 有2个零点，则需 ，即 .
因为 的2个零点为 ， ， ，所以 .
要证 ，只需证 ，
因为 ， 在 上单调递增，
所以只需证 ，
因为 ，所以只需证 ，
即只需证 ， ，
令 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
则 在 上单调递减，
又因为 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
即 ， ，
