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河南省周口市名校2025-2026学年高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题
1．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A．24 B．30 C．40 D．60
3．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．
设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
6．某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且
C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
7．已知随机变量 服从两点分布，随机变量 的分布列为
1 2 3
0.2 0.6 0.2
若 ，且 与 相互独立，则 （ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.65 D．0.9
8．函数 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
二、多选题
9．有一幅散点图如图所示，从5个数据点中去掉 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．残差平方和变大
B．相关系数r变大
C．决定系数 变大D．解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强
10．已知 ，则下列描述正确的是（ ）
A．
B． 的展开式中，所有含 的偶数次项的二项式系数和为
C． 被7整除所得的余数是4
D．
11．已知 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．设随机变量 服从两点分布，若 ，则 ______.
13．若直线既是曲线 在 处的切线，也是曲线 的切线，则实数 _________．
14．已知定义在 上的可导函数 满足 ， ，则不等式 的
解集为________．
四、解答题
15．已知函数 .
(1)求 的值；(2)求 的定义域；
(3)若 在区间[0,m]上有零点，求 的最小值.
16．如图，在圆台 中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，轴截面为四边形 ， 在下底
上， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．如图，在直三棱柱 中， ，且 ．
(1)证明： 平面 .
(2)在答题卡上，作出平面 与AC的交点，并说明你的理由.
(3)求平面 与平面 夹角的正切值.
18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择
羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为 ，选择乒乓球的概率为 ；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为 ，选择乒乓球的概率为 ；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已
知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
(1)求甲第2天选择羽毛球的概率；
(2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
(3)记甲第 天选择羽毛球的概率为 ，请写出 与 的关系.
19．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在两个不同的零点 ， ，且 .
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： .参考答案
1．D
解析：不小于2的所有整数构成的集合可表示为 .
2．A
解析：试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中
选择．所以答案是2×4×3=24，故选A．
3．D
解析：由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以 ．
故选：D．
4．B
解析：因为 ，则 ，
由题意可知，对任意的 ， 恒成立，即 ，
因为函数 在 上单调递减，故 ，所以 .
5．D
解析：由 的图象可知：当 和 时， ，
故 在 ， 上单调递增，
当 和 时， ，
故 在 ， 上单调递减，
所以，选项D正确.
6．C
解析：因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有 种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有 ，所以节目安排的方法总数为 （种）.
故选：C
7．C
解析：解法1：令 ，则 的可能取值为 .
， ，
， ，
所以 ，
.
解法2：由随机变量 服从两点分布，得 ，
又由
可得 ，
因为 与 相互独立，所以 .
8．D
解析： .
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 .
令 ， ，则 ，
因为 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，且最小值为0.故 的最小值为0.
9．BCD
解析：由散点图分析可知， 偏离直线，
去掉后，解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强，
相关系数r变大，决定系数 变大，残差平方和变小.
故选：BCD.
10．ABC
解析：对于A，令 ，
得 ，
令 ，得 ，
故 ，A正确；
对于B，所有含 的奇数次项的二项式系数和，
与所有含 的偶数次项的二项式系数和相等，都为 ，故B正确；
对于C， ，
故只需考虑 被7整除得余数，
因为 ，
被7整除的余数为4，故C正确；
对于D， ，
两边求导得 ，
再令 ，得 ，故D错误.
11．BCD
解析：对于B， ，B正确；对于A， ，A错误；
对于C，求导得 ，
因此 ，C正确；
对于D，依题意， ，
又
，
因此
，D正确.
12．0.38
解析：随机变量 服从两点分布，由 ，
及 ，解得 .
13．2
解析：由 求导得 ，则曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
设曲线 的切线的切点为 ，由 求导得 ，
依题意可得 ，解得 .
14．解析：构造函数 ，其中 ，
则
，
构造函数 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，
故函数 在 上为减函数，
又因为 ，由 可得 ，故 .
因此，原不等式的解集为 .
15．(1)-1
(2)
(3) .
解析：（1） .
（2）由 ，得 ，
则 ，
则 ，解得 ，
则 的定义域为 .
（3）（方法一）令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 的最小值为 .
（方法二）令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故 的最小值为 .
16．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在圆台 中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
易知 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，故 平面 .（2）因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 .
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17．(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
(3) .解析：（1）证明：因为 ，即得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 .
（2）解：如图所示，延长 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，所以 为平面 与 的交点.
（3）解：以 为坐标原点， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，可得 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，又由 轴垂直平面 ，可得平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
可得 ，则 ，
故平面 与平面 夹角的正切值为 .
18．(1) ；
(2) ；
(3) .
解析：（1）设事件 分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为 ，
则 且 两两互斥，
依题意， ， ，
且 ，
由全概率公式得 .
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为 .
（3）设甲第 天选择羽毛球的概率为 ，甲第 天选择乒乓球的概率为 ，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为 ，得 对所有 均成立，
从而选择篮球的概率为 ，
当 时，由全概率公式，得 的递推关系为 ，而 ， ，化简得 ， .
19．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
解析：（1）解：当 时， ， ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）（ⅰ）解：由题知 的定义域为 ，
.
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 存在两个不同的零点，只需 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
（ⅱ）证明：找两个点 ， ，使得 ， 成立，
又 ，且 ，于是考虑找点 ， ，
证明 ， 即可.①要证 ，即证 ，即 ，即证 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 在 处取得最小值，所以 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 在 处取得最大值，所以 ，即 .
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
② ，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即 .
因为 ，即 ，所以 ，且 ，
因此 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即证得 .
