河南省安鹤新联盟 2025-2026 学年高二下学期 5 月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 ，集合 ，则 ( )
U={−3,−2,−1,0,1,2,3} A={x∈U∣x2>1} ∁ A=
U
A. {−3,−2,2,3} B. {−1,0,1} C. {0} D. {−2,−1,0,1,2}
2.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)(2−i)，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量⃗
a=(2,m),
⃗
b=(m,3)
，则“ m=√6 ”是“ ⃗a//⃗b ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在正方体ABCD−A B C D 中，动点E在棱BB 上，动点F在线段A C 上，O为底面ABCD的中心，
1 1 1 1 1 1 1
若A F=m，BE=n，则四面体O−AEF的体积( )
1
A. 与m，n都有关 B. 与m，n都无关
C. 与m有关，与n无关 D. 与n有关，与m无关
xy
5.已知x>0，y>0，2x+ y=2，则 的最大值为( )
x2+2y
1 2 1
A. B. C. 1 D.
2 9 4
6.若直线 与曲线 只有一个公共点，则 的取值范围是( )
y=k(x−4) x=√9+3 y2 k
√3 √3 √3 √3
A. (− , ) B. [− , ] C. (−√3,√3) D. [−√3,√3]
3 3 3 3
7.如图，正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的四等分点A ,B ,C ,D ，作第二个正方形A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
然后再取正方形A B C D 各边的四等分点A B C D ，作第三个正方形A B C D ，依此方法一直继
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
续下去.这些正方形的面积之和将趋于( )
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1 15 8 16
A. B. 2 C. D.
8 3 5
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点
8a2 9
P(x ,y )的坐标可以表示为(acos3θ,asin3θ)(a>0)，若x y = ，且x + y = ，则a=( )
0 0 0 0 125 0 0 5
A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a<b<0，则下列不等式一定成立的有( )
1 1
A. a2<b2 B. > C. ln(b−a)>0 D. a3<b3
a b
1
10.已知正项数列{a }的首项a = ，前n项积为T ，且(n+1)a −na =a a ，则( )
n 1 2 n n n+1 n n+1
3 n
A. a = B. 数列{ }是等差数列
2 2 a
n
1
C. {a }是递增数列 D. T >
n 100 100
11.设 ，函数 ，则( )
a∈R f(x)=x3−3ax+a3
A. f(x)有两个极值点
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2 1B. 若a>0，则当x>0时，f(x)≥−1
C. 若 有 个零点，则 的取值范围是
f(x) 3 a (0,√3 4)
D. 若存在s,t∈R，满足f(s−t)+f(s+t)=2f(s)，则st=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ， ， 成等比数列，则 的展开式中所有项的系数之和为 ．
1 2 n (x+1) n
13.已知点A(−1,1)，B(3,3)，线段AB为⊙M的一条直径．设过点C(2,−1)且与⊙M相切的两条直线的
斜率分别为k ，k ，则k +k = ．
1 2 1 2
14.从1，2，……，2026中随机取出六个不同的数a 、a 、a 、a 、a 、a ，制作长、宽、高分别为a 、
1 2 3 4 5 6 1
a 、a 和a 、a 、a 的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率
2 3 4 5 6
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD,E
是BC的中点．
(1)证明：AD⊥PE．
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知椭圆 x2 y2 的离心率为√2，短轴长为 ．
C: + =1(a>b>0) 2√3
a2 b2 2
(1)求C的方程；
4
(2)若直线l:y=x+t与C交于M,N两点，O为坐标原点，▵OMN的面积为 ，求t的值．
3
17.(本小题15分)
设等差数列{a }的前n项和为S ，已知a =3，S =5a ．
n n 1 3 1
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3 1(1)求数列{a }的通项公式；
n
2
(2)设b =1+ ，数列{b }的前n项和为T .定义[x]为不超过x的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1.当
n S n n
n
[T ]+[T ]+…+[T ]=63时，求n的值．
1 2 n
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x+1−(2x+1)lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(3)若关于x的不等式lnx−ax2−ax<0恒成立，求整数a的最小值．
19.(本小题17分)
泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件
发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，记作X∼
λk
Poisson(λ)，则其概率分布为P(X=k)= e−λ,k∈N．
k!
(1)当λ≥20时，泊松分布可以近似为正态分布N(λ,λ).已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数X服从
λ=25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若
，则 ，
X∼N(μ,σ2) P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827 P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545)
(2)若随机变量X服从二项分布，当n≥100且p≤0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np.某工厂
生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为X，按泊松分布
近似计算：
这 件产品中恰有 件次品的概率； 参考数据：
① 1000 2 ( e−3≈0.05)
②求使得P(X=i)最大时的X值．
(3)若X∼ Poisson(λ)，求证：当0<λ<0.1时，P(X>1)<0.01．
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4 1参考答案
1.B
2.A
3.A
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BC
11.BCD
12.16
13.1.5
1
14. /0.5
2
15.解：(1)证明：取AD的中点为O，连接OP，OE，
因为▵PAD是等边三角形，所以OP⊥AD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
所以OP⊥底面ABCD，因为OA,OE⊂底面ABCD，
所以OP⊥OA，OP⊥OE，所以OA，OE，OP两两垂直，
则分别以OA，OE，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，
不妨设AD=2，
则 ， ， ， ， ， ，
P(0,0,√3) A(1,0,0) B(1,2,0) C(−1,2,0) D(−1,0,0) E(0,2,0)
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5 1⃗ ， ⃗ ，
AD=(−2,0,0) PE=(0,2,−√3)
因为 ⃗ ⃗ ，所以 ⃗ ⃗ ，所以 ；
AD⋅PE=(−2)×0+0×2+0×(−√3)=0 AD⊥PE AD⊥PE
在平面 中， ⃗ ， ⃗ ，
(2) PBC PB=(1,2,−√3) PC=(−1,2,−√3)
设⃗ 为平面 的一个法向量，
m=(x,y,z) PBC
{⃗ ⃗
则 m⋅PB=0 { x+2y−√3z=0
⇒ ,
⃗ ⃗
m⋅PC=0
−x+2y−√3z=0
令 ，则⃗ 为平面 的一个法向量．
y=√3 m=(0,√3,2) PBC
又平面 的一个法向量⃗ ，
PAD n=(0,1,0)
设平面PAD与平面PBC夹角为θ，
|⃗ ⃗|
则 m⋅n |0+√3+0| √21，
cosθ= = =
|⃗| |⃗| √7⋅1 7
m⋅n
√21
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 ．
7
{ e= c = √2
16.解： 由题意，得 a 2 ，解得 ，
(1) a2=6,b2=3,c2=3
2b=2√3
a2=b2+c2
x2 y2
则椭圆C的方程为 + =1．
6 3
设 ，
(2) M(x ,y ),N(x ,y )
1 1 2 2
{
y=x+t
联立 ，得 ，
x2 y2 3x2+4tx+2t2−6=0
+ =1
6 3
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6 1则 ，解得 ，
Δ=16t2−12(2t2−6)>0 −3<t<3
4t 2t2−6
且x +x =− ,x x = ，
1 2 3 1 2 3
所以 |MN|=√1+12 ⋅√(x +x ) 2−4x x =√2⋅ √ ( − 4t) 2 −4× 2t2−6 = 4 √9−t2 ，
1 2 1 2 3 3 3
|t|
点O(0,0)到直线l的距离为 ，
√2
1 4 |t| 4
则S = ⋅ √9−t2 ⋅ = ，解得t=±1或t=±2√2，满足−3<t<3，
▵OMN 2 3 √2 3
则t=±1或t=±2√2．
17.解：(1)设等差数列{a }的公差为d，因为a =3，则S =3a +3d=9+3d．
n 1 3 1
因为S =5a =15，则9+3d=15，得d=2．
3 1
所以数列{a }的通项公式是a =3+2(n−1)=2n+1．
n n
n(n−1) 2 2 1 1
(2)因为S =3n+ ×2=n2+2n，则b =1+ =1+ =1+ − ．
n 2 n S n(n+2) n n+2
n
所以 ( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) (1 1 )
T =n+ 1− + − + − +…+ − + −
n 3 2 4 3 5 n−1 n+1 n n+2
(1 1 1 )．
=n+1+ − −
2 n+1 n+2
1 1 1 1
当n≤2时，因为− ≤ − − <0，则[T ]=n．
3 2 n+1 n+2 n
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7 11 1 1 1
当n≥3时，因为0< − − < ，则[T ]=n+1.因为[T ]+[T ]+…+[T ]=63，
2 n+1 n+2 2 n 1 2 n
(n−2)(4+n+1)
则1+2+4+5+…+(n+1)=63，即3+ =63，
2
即n2+3n−130=0，即(n−10)(n+13)=0.因为n∈N❑∗，所以n=10．
1
18.解：(1)由题意可得，f ′(x)=− −2lnx−1，则f ′(1)=−2，
x
又f(1)=2，所以切线方程为y−2=−2(x−1)，即y=−2x+4．
1
(2)证明：令g(x)=f ′(x)=− −2lnx−1，x>0，
x
1 2 1−2x
则g′(x)= − = ，
x2 x x2
1
当x∈(0, )时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
2
1
当x∈( ,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
2
1 1
所以g(x)的最大值为g( )=−2ln −2−1=2ln2−3<2−3=−1，
2 2
即f ′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(3)关于x的不等式lnx−ax2−ax<0恒成立，即lnx<ax2+ax恒成立，
lnx
由于x>0，所以a> 恒成立，
x2+x
设 lnx ，则 x+1−(2x+1)lnx f(x) ，
F(x)= F′(x)= =
x2+x (x2+x) 2 (x2+x) 2
由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(1)=2，f(e)=−e，
所以存在唯一 ，使得 ，即 x +1 ，
x ∈(1,e) f(x )=0 lnx = 0
0 0 0 2x +1
0
则当x∈(0,x )时，F′(x)>0，因此函数F(x)在(0,x )上单调递增，
0 0
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8 1当x∈(x ,+∞)时，F′(x)<0，因此函数F(x)在(x ,+∞)上单调递减，
0 0
故函数 F(x) 的最大值为 F(x )= lnx 0 = x 0 +1 = 1 ，
0 x2+x (2x +1)(x2+x ) x (2x +1)
0 0 0 0 0 0 0
1 1
因为y=2x2+x在(1,e)上单调递增，则F(x )∈( , )，
0 2e2+e 3
lnx
要使a> 恒成立，且a为整数，
x2+x
所以a的最小值为1．
19.解：(1)因为X∼Poisson(λ)，且λ=25>20，可近似地认为X∼N(λ,λ)，即
X∼N(25,25),μ=25,σ=5，
所以P(15<X<30)≈P(μ−2σ<X<μ+σ)=P(μ−2σ<X<μ)+P(μ≤X<μ+σ)
0.9545+0.6827
= =0.8186；
2
(2)①由题知X∼Poisson(λ)，其中λ=np=1000×0.003=3，
32 9 ．
P(X=2)= e−3= ≈4.5×0.05=0.225
2! 2e3
3i ⋅e−3 3i+1 ⋅e−3，
②P(X=i)= ,P(X=i+1)=
i! (i+1)!
所以P(X=i+1) 3i+1 i! 3 ，
= ⋅ =
P(X=i) (i+1)! 3i i+1
P(X=i+1) P(X=i+1) P(X=i+1)
当i=1时， >1，当i>2时， <1，当i=2时， =1，
P(X=i) P(X=i) P(X=i)
所以P(X=1)<P(X=2)=P(X=3)>P(X=4)>⋯
所以当X=2，或X=3时，P(X=i)最大．
(3)因为X∼Poisson(λ)，所以P(X>1)=1−P(X=0)−P(X=1)，
由泊松分布的概率公式，得 ，
P(X=0)=e−λ,P(X=1)=λe−λ
1+λ
所以P(X>1)=1−e−λ−λe−λ=1−(1+λ)e−λ=1−
，
eλ
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9 11+λ
要证当0<λ<0.1时，P(X>1)<0.01，只要证当0<λ<0.1时， >0.99．
eλ
x+1 x
令g(x)= (x>0)，则g′(x)=− <0，
ex ex
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，
1+0.1 1+0.1
又g(0.1)= ，所以只要证 >0.99，
e0.1 e0.1
因为 ，所以只需证 ，
0.99=1−0.12=(1+0.1)(1−0.1) e−0.1>1−0.1
令 ，则 对任意的 恒成立，
h(x)=ex−x−1(x≤0) h′(x)=ex−1<0 x∈(−∞,0)
所以h(x)在(−∞,0)上单调递减，且h(0)=0，
所以 ，所以 ，
h(−0.1)=e−0.1+0.1−1>h(0)=0 e−0.1>1−0.1
所以当0<λ<0.1时，P(X>1)<0.01．
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10 1
