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2016 年福建省福州市中考数学试卷
一、选择题
1.（2016•福州）下列实数中的无理数是（ ）
1
A. 0.7 B. C. π
2
D. ﹣8
2.（2016•福州）如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3.（2016•福州）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（ ）
A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角
4.（2016•福州）下列算式中，结果等于a6的是（ ）
A. a4+a2 B. a2+a2+a2 C. a2•a3 D. a2•a2•a2
x+1>0
5.（2016•福州）不等式组 { 的解集是（ ）
x−3>0
A. x＞﹣1 B. x＞3 C. ﹣1＜x＜3 D. x＜3
6.（2016•福州）下列说法中，正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率为0
1
B. 随机事件发生的概率为
2
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
7.（2016•福州）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（
）A. B.
C. D.
8.（2016•福州）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B
▱
（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，﹣2）
D. （﹣1，2）
9.（2016•福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 ^AB 上
一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A. （sinα，sinα） B. （cosα，
cosα） C. （cosα，sinα）
D. （sinα，cosα）
10.（2016•福州）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁 13 14 15 16
频数 5 15 x 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数
C. 平均数、方差 D. 中位数、方差
11.（2016•福州）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象
上，这个函数图象可以是（ ）
A. B.C. D.
12.（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是
（ ）
A. a＞0 B. a=0 C. c＞0
D. c=0
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13.（2016•福州）分解因式：x2﹣4=________．
14.（2016•福州）若二次根式 √x+1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
2 3
15.（2016•福州）已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（ ， ），（﹣
3 2
1 1
5，﹣ ），从中随机选取一个点，在反比例函数y= 图象上的概率是________．
5 x
16.（2016•福州）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r ， 下方的弧半径为r
上 下
， 则r ________r ． （填“＜”“=”“＜”）
上 下
17.（2016•福州）若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是________．
18.（2016•福州）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．
已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是________．
三、解答题（共9小题，满分90分）
19.（2016•福州）计算：|﹣1|﹣ √38 +（﹣2016）0 ．(a+b) 2
20.（2016•福州）化简：a﹣b﹣ ．
a+b
21.（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：
∠BAC=∠DAC．
22.（2016•福州）列方程（组）解应用题：
某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750
元，甲乙两种票各买了多少张？
23.（2016•福州）福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了________万人；
（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是________；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．
∧
24.（2016•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为 中点，连接BM，CM．
AD
（1）求证：BM=CM；
∧
（2）当⊙O的半径为2时，求 的长．
BM
√5−1
25.（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取
2
AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．26.（2016•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿
直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
27.（2016•福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）
（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
2016 年福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.（2016•福州）下列实数中的无理数是（ ）A. 0.7 B. C. π
D. ﹣8
【答案】C
【考点】无理数的认识
【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数， 为有限小数，﹣8为
整数，都属于有理数，
π为无限不循环小数，
∴π为无理数．
故选：C．
【分析】 无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．题目考查了无理
数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．
2.（2016•福州）如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】简单组合体的三视图
【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，
故选：C．
【分析】 根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了三视图的知识，主
视图是从物体的正面看得到的视图．
3.（2016•福州）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（ ）
A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角
【答案】B
【考点】对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角
【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．
故选B．
【分析】 根据内错角的定义求解．本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的
某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直
线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．
4.（2016•福州）下列算式中，结果等于a6的是（ ）
A. a4+a2 B. a2+a2+a2 C. a2•a3 D. a2•a2•a2
【答案】D
【考点】同底数幂的乘法
【解答】解：∵a4+a2≠a6 ，
∴选项A的结果不等于a6；
∵a2+a2+a2=3a2 ，
∴选项B的结果不等于a6；
∵a2•a3=a5 ，
∴选项C的结果不等于a6；
∵a2•a2•a2=a6 ，
∴选项D的结果等于a6 ．
故选：D．
【分析】
A：a4+a2≠a6 ， 据此判断即可．
B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2 ．
C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5 ．
D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6 ．
（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练
掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底
数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
5.（2016•福州）不等式组 的解集是（ ）
A. x＞﹣1 B. x＞3 C. ﹣1＜x＜3 D. x＜3
【答案】B
【考点】解一元一次不等式组
【解答】解：
解不等式 ，得
x＞﹣1，
解不等式 ，得
x＞3，由 可得，x＞3，
故原不等式组的解集是x＞3．
故选B．
【分析】 根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．本题考查解一元一次不等
式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
6.（2016•福州）下列说法中，正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率为0 B. 随机事件发生的概率为
C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投掷一枚质地均匀的硬币100
次，正面朝上的次数一定为50次
【答案】A
【考点】概率的意义
【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；
B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．
故选A．
【分析】 根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P
（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．本题考查了概率的
意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附
近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳
定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发
生事件的概率P（A）=0．
7.（2016•福州）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，相反数及有理数的相反数
【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，
从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一
侧，
所以可以得出答案为B．
故选：B【分析】 数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的
距离就可以做出判断．本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概
念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．
8.（2016•福州）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B
▱
（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1）
C. （﹣1，﹣2） D. （﹣1，2）
【答案】A
【考点】坐标与图形性质，平行四边形的性质
【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）．
故选：A．
【分析】 由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和
B关于原点对称，即可得出点D的坐标．本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的
点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关
键．
9.（2016•福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 上
一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A. （sinα，sinα） B. （cosα，
cosα） C. （cosα，sinα）
D. （sinα，cosα）
【答案】C
【考点】坐标与图形性质，解直角三角形
【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα= ，cosα= ，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选C．
【分析】 过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定
义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性
质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
10.（2016•福州）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁 13 14 15 16
频数 5 15 x 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、中位数 B. 众数、中位
数
C. 平均数、方差 D. 中位数、方差
【答案】B
【考点】频数（率）分布表，常用统计量的选择
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
【分析】 由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数
知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．本题主要考查频数分布表
及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及
方差的定义和计算方法是解题的关键．
11.（2016•福州）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象
上，这个函数图象可以是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【考点】坐标确定位置，函数的图象
【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），
∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；
∵B（1，m），C（2，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．
故选C．
【分析】 由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A
与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．此题考查了函数的
图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
12.（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是
（ ）
A. a＞0 B. a=0 C. c＞0
D. c=0
【答案】D
【考点】根的判别式
【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；
C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；
故选：D．
【分析】 根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．本题主要考
查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相
等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13.（2016•福州）分解因式：x2﹣4=________．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【分析】 直接利用平方差公式进行因式分解即可．本题考查了平方差公式因式分解．能
用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
14.（2016•福州）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
________．
【答案】x≥﹣1
【考点】二次根式有意义的条件
【解答】解：若二次根式 在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】 根据二次根式的性质可求出x的取值范围．主要考查了二次根式的意义和性
质：
概念：式子 （a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15.（2016•福州）已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（ ， ），（﹣
5，﹣ ），从中随机选取一个点，在反比例函数y= 图象上的概率是________．
【答案】
【考点】概率公式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，
2×2=4，× =1，（﹣5）×（﹣ ）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y= 图象上，∴在反比
例函数y= 图象上的概率是2÷4= ．
故答案为： ．
【分析】 先判断四个点的坐标是否在反比例函数y= 图象上，再让在反比例函数y=
图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y= 图象上的概率，依此即可求解．考
查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.（2016•福州）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r ， 下方的弧半径为r
上 下
， 则r ________r ． （填“＜”“=”“＜”）
上 下
【答案】<
【考点】弧长的计算
【解答】解：如图，r ＜r ．
上 下
故答案为＜．
【分析】 利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．
本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l= （弧长为l，圆
心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概
念，才是三者的统一．
17.（2016•福州）若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是________．
【答案】98
【考点】代数式求值，因式分解-提公因式法
【解答】解：x3y+xy3
=xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy]
=1×（102﹣2×1）
=98．
故答案为：98．
【分析】 可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与
xy的值代入即可．本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知
x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．
18.（2016•福州）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．
已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是________．
【答案】
【考点】菱形的性质，解直角三角形
【解答】解：如图，
连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE= a，
EB=2a
∴∠AEB=90°，
∴tan∠ABC= = = ．故答案为 ．
【分析】 如图，
连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC= ，求出AE、EB即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共9小题，满分90分）
19.（2016•福州）计算：|﹣1|﹣ +（﹣2016）0 ．
【答案】解：|﹣1|﹣ +（﹣2016）0
=1﹣2+1
=0．
【考点】有理数的混合运算，立方根，零指数幂
【分析】 直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．此
题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
20.（2016•福州）化简：a﹣b﹣ ．
【答案】解：原式=a﹣b﹣（a+b）
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【考点】分式的加减法
【分析】 先约分，再去括号，最后合并同类项即可．此题考查了分式的加减法，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
21.（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：
∠BAC=∠DAC．【答案】证明：在△ABC和△ADC中，有 ，
所以△ABC≌△ADC（SSS），
所以∠BAC=∠DAC．
【考点】全等三角形的性质
【分析】 在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理
（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．本题考查了全等三角
形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该
题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
22.（2016•福州）列方程（组）解应用题：
某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750
元，甲乙两种票各买了多少张？
【答案】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．
根据题意得： ．
解得： ．
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张
【考点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【分析】 设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为
750元列方程求解即可．本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组
是解题的关键．
23.（2016•福州）福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．
根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了________万人；
（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是________；
（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．
【答案】（1）7
（2）2014
（3）解：预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，
理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测
2016年福州市常住人口数大约为757万人
【考点】折线统计图
【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；
（2）由图可知2012年增加： ×100%≈0.98%， 2013年增加：
×100%≈0.97%，2014年增加： ×100%≈1.2%，2015年增加：
×100%≈0.94%，
故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年；
故答案为：（1）7；（2）2014．
【分析】 （1）将2015年人数减去2014年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，
增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．本题主要考查条形统计
图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．
24.（2016•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为 中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ = ，∵M为 中点，
∴ = ，
∴ + = + ，即 = ，
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∴ 的长= ×4π= π
【考点】正方形的性质，圆内接四边形的性质
【分析】 （1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计
算．本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的
计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
25.（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取
AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．【答案】（1）解：∵AB=BC=1，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC•CD=1× = ．
∴AD2=AC•CD
（2）解：∵AD=BD，AD2=AC•CD，
∴BD2=AC•CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°
【考点】相似三角形的判定
【分析】 （1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到
AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角
相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，
DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．本题
主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，
证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
26.（2016•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿
直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【答案】（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3× =
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2 ，
∴（x+1）2=32+x2 ，
解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，
∴S = S = × AN•NQ= × ×3×4= ；
△NAB △NAQ
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴ ，
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、
F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：
由折叠性质得：AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中， ，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，由勾股定理得：BH= = = ，
∴CF= ，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣
【考点】角平分线的性质，矩形的性质
【分析】 （1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函
数得出DM=AD•tan∠DAM= 即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性
质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出
∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在
Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面
积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例 =
，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时
点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明
△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．本题考查了
矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定
理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三
角形全等是解决问题的关键．
27.（2016•福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）
（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
【答案】（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0﹣1）2+2，
∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣ ，
∴b=﹣2ah，
∴y=ax2﹣2ahx，
∵顶点A（h，k），
∴k=ah2﹣2ah，
抛物线y=tx2也经过A（h，k），
∴k=th2 ，
∴th2=ah2﹣2ah2 ，
∴t=﹣a，
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，
∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2 ，
∴h= ，
∵﹣2≤h＜1，
∴﹣2≤ ＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时， ，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时， 解得a≤﹣ ，
综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的应用
【分析】 （1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣ ，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h
表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件
列出关于a的不等式即可解决问题．本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关
键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属
于中考压轴题．
