文档内容
2015 年福建省福州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（ ）
A．|a| B． C．﹣a D．
2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2015•福州）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.1×107 B．0.1×106 C．1×107 D．1×106
5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（
）
A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图
6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a
第1页（共31页）7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其
中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面
直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为
圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x
的值不可能是（ ）
A．0 B．2.5 C．3 D．5
10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变
量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函
数可能是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
二、填空题（共6小题，满分24分）
11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是 ．
12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是 ．
13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函
数的解析式是 ．
14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是
．
第2页（共31页）15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，
其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为
2πcm，则正方体的体积为 cm3．
16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将
△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是
．
三、解答题（共10小题，满分96分）
17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣ ）（2+ ）．
18．（7分）（2015•福州）化简： ﹣ ．
19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
第3页（共31页）20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数
根，求m的值．
21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮
球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队
各有多少支？
22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这
些球除颜色外无其他差别．
（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同
（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到
绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 ；
（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：
根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．
23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，tanB= ，半径为2
的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到 ．
（1）求证：AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
第4页（共31页）24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为 矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD
上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕
为EF．
则四边形BCEF为 矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD= = ．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴ = ，即 = ．
∴BF= ．
∴BC：BF=1： = ：1．
∴四边形BCEF为 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是
；
（2）已知四边形BCEF为 矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求
证：四边形BCMN是 矩形；
（3）将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩
形”，则n的值是 ．
第5页（共31页）25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F
为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物
线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是
；
（2）若两个三角形面积满足S = S ，求m的值；
△POQ △PAQ
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点
D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．
第6页（共31页）2015 年福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（ ）
A．|a| B． C．﹣a D．
考点： 实数的性质．菁优网版权所有
分析： 根据相反数的概念解答即可．
解答： 解：a的相反数是﹣a．
故选：C．
点评： 本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反
数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣”号．
2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
第7页（共31页）C． D．
考点： 平行线的判定．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 利用平行线的判定方法判断即可．
解答： 解：如图所示：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故选B
点评： 此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
3．（3分）（2015•福州）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析： 首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组 的解集是﹣
1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组 的解集即可．
第8页（共31页）解答： 解：不等式组 的解集是：
﹣1≤x＜2，
∴不等式组 的解集在数轴上表示为：
．
故选：A．
点评： （1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题
的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界
点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空
心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的
原则是：“小于向左，大于向右”．
4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.1×107 B．0.1×106 C．1×107 D．1×106
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 直接根据乘法分配律即可求解．
解答： 解：3.8×107﹣3.7×107
=（3.8﹣3.7）×107
=0.1×107
=1×106．
故选：D．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运
用运算定律简便计算．
第9页（共31页）5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（
）
A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图
考点： 统计图的选择．菁优网版权所有
分析： 根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所
占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物
的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
解答： 解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形
统计图；
故选：A．
点评： 本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部
分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具
体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，
易于显示各组之间频率的差别．
6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a
考点： 分式的乘除法；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析： 利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法则计算即可得到结果．
解答： 解：a•a﹣1=a0=1．
故选：C．
点评： 此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其
中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面
直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
第10页（共31页）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．菁优网版权所有
分析： 以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
解答： 解：当以点B为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件，
故选：B．
点评： 本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面
直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．
8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为
圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
考点： 等腰三角形的性质；作图—基本作图．菁优网版权所有
分析： 根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据
直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．
解答： 解：如图， ，
AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，
第11页（共31页）因为直径对的圆周角是90°，
所以∠AMB=90°，
所以测量∠AMB的度数，结果为90°．
故选：B．
点评： （1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本
的几何图形的性质．
（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是
90°．
9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x
的值不可能是（ ）
A．0 B．2.5 C．3 D．5
考点： 中位数；算术平均数．菁优网版权所有
分析： 因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应
该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；
开始的位置．
解答： 解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，
处于中间位置的数是3，
∴中位数是3，
平均数为（1+2+3+4+x）÷5，
∴3=（1+2+3+4+x）÷5，
解得x=5；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，
中位数是3，
此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，
解得x=5，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，
中位数是2，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，
解得x=0，不符合排列顺序；
第12页（共31页）（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，
中位数是2，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，
解得x=0，符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，
中位数，x，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，
解得x=2.5，符合排列顺序；
∴x的值为0、2.5或5．
故选C．
点评： 本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确
中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方
法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇
数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果
是偶数个，则找中间两位数的平均数
10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变
量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函
数可能是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性
质．菁优网版权所有
分析： 求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．
解答： 解：设一次函数解析式为：y=kx+b，
由题意得， ，
解得， ，
∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
第13页（共31页）∴A、B错误，
设反比例函数解析式为：y= ，
由题意得，k=﹣4，
k＜0，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∴C错误，
当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．
故选：D．
点评： 本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌
握各个函数的增减性是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分24分）
11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是 （ a+ 3 ）（ a﹣ 3 ） ．
考点： 因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
分析： 直接运用平方差公式分解即可．
解答： 解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
点评： 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的
关键．
12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是 x 2 +x﹣ 2 ．
考点： 多项式乘多项式．菁优网版权所有
分析： 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，
计算即可．
解答： 解：（x﹣1）（x+2）
=x2+2x﹣x﹣2
=x2+x﹣2．
故答案为：x2+x﹣2．
点评： 本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类
项的合并同类项．
第14页（共31页）13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函
数的解析式是 ．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
分析： 设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式
解答： 解：设这个反比例函数解析式为y= ，
∴ =﹣3，
解得k=6，
∴这个反比例函数的解析式是y= ．
故答案为：y= ．
点评： 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解
题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．
14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是
0 ．
考点： 方差．菁优网版权所有
分析： 方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，
2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0．
解答： 解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故
它的方差为0．
故答案为：0．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
第15页（共31页）15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，
其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为
2πcm，则正方体的体积为 2 cm3．
考点： 圆柱的计算．菁优网版权所有
分析： 作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长
最后求得体积．
解答： 解：该几何体的俯视图如图：
∵圆柱底面周长为2πcm，
∴OA=OB=1cm，
∵∠AOB=90°，
∴AB= OA= ，
∴该正方体的体积为（ ）3=2 ，
故答案为：2 ．
点评： 本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方
体的棱长的关键，难度不大．
16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将
△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．
第16页（共31页）考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的
判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析： 如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三
角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO= AC=1，
OM=CM•sin60°= ，最终得到答案BM=BO+OM=1+ ．
解答： 解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC= ，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO= AC=1，OM=CM•sin60°= ，
∴BM=BO+OM=1+ ，
故答案为：1+ ．
点评： 本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判
定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（共10小题，满分96分）
17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣ ）（2+ ）．
考点： 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
第17页（共31页）分析： 运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于 ，结合平方差公式进行计算，
即可解决问题．
解答： 解：原式=﹣1+ +4﹣3
= ．
点评： 该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及
其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则
是正确进行代数运算的基础和关键．
18．（7分）（2015•福州）化简： ﹣ ．
考点： 分式的加减法．菁优网版权所有
分析： 根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项
后约分计算即可求解．
解答： 解： ﹣
=
=
=1．
点评： 考查了同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子
相加减；完全平方公式，合并同类项．
19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
第18页（共31页）考点： 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即
可．
解答： 证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中， ，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AC=AD．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，
证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数
根，求m的值．
考点： 根的判别式．菁优网版权所有
分析： 先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方
程，解方程求出m的值即可．
解答： 解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣ 或m= ．
点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是
解答此题的关键．
第19页（共31页）21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮
球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队
各有多少支？
考点： 二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析： 设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运动员建立方
程组求出其解即可．
解答： 解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得
，
解得： ．
答：篮球队有28支，排球队有20支．
点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解
法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．
22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这
些球除颜色外无其他差别．
（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同
（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到
绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 2 ；
（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：
根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．
考点： 列表法与树状图法；概率公式；利用频率估计概率．菁优网版权所有
分析： （1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；
（2）根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；
（3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．
解答： 解：（1）当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，
故答案为：相同；
第20页（共31页）（2）∵摸到绿球的频率稳定于0.25，
∴ ，
∴n=2，
故答案为：2；
（3）由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，
所以其概率= ．
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完
成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，tanB= ，半径为2
的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到 ．
（1）求证：AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点： 切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计
算出BC=2AC=2 ，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出
CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为
⊙C的切线；
（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S =S ﹣S 进行
阴影部分 △ACB 扇形CDE
计算即可．
解答： （1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，
第21页（共31页）在Rt△ABC中，∵tanB= = ，
∴BC=2AC=2 ，
∴AB= = =5，
∵ CH•AB= AC•BC，
∴CH= =2，
∵⊙C的半径为2，
∴CH为⊙C的半径，
而CH⊥AB，
∴AB为⊙C的切线；
（2）解：S =S ﹣S
阴影部分 △ACB 扇形CDE
= ×2×5﹣
=5﹣π．
点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否
有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了
勾股定理和扇形面积的计算．
24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为 矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD
上的点G处，折痕为BH．
第22页（共31页）操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕
为EF．
则四边形BCEF为 矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD= = ．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴ = ，即 = ．
∴BF= ．
∴BC：BF=1： = ：1．
∴四边形BCEF为 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 GH 、 DG ，tan∠HBC的值是 ﹣ 1
；
（2）已知四边形BCEF为 矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求
证：四边形BCMN是 矩形；
（3）将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩
形”，则n的值是 6 ．
考点： 几何变换综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的
性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
专题： 阅读型；新定义．
第23页（共31页）分析： （1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH= x，
根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出
tan∠HBC的值；
（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为 矩形”的方法就可解决问题；
（3）同（2）中的证明可得：将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“
矩形”，将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，将 矩
形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，由此就可得到n的值．
解答： 解：（1）由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，则DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，∴DH= x，
∴DC=DH+CH= x+x=1，
解得x= ．
∴tan∠HBC= = = ．
故答案为：GH、DG， ；
（2）∵BC=1，EC=BF= ，
∴BE= = ．
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴ = ，即BP•BF=BE•BN，
∴1× =，2BN
第24页（共31页）∴BN= ，
∴BC：BN=1： = ：1，
∴四边形BCMN是 的矩形；
（3）同理可得：
将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，
将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，
将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，
所以将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩
形”，
故答案为6．
点评： 本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行
线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能
力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．
25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F
为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
第25页（共31页）考点： 相似形综合题．菁优网版权所有
分析： （1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，
∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，
根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，
所以EH=BG=1．
解答： （1）证明：如图1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
（2）证明：如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠DGE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
第26页（共31页）∴△BDG∽△BED，
∴ ，
∴BD2=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH，
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴ ，
∴EF2=EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG•BE=EH•EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．
第27页（共31页）点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线
的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难
点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．
26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物
线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是 2 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 45 ° ；
（2）若两个三角形面积满足S = S ，求m的值；
△POQ △PAQ
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点
D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的
交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线
PQ与x轴所夹锐角的度数；
（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可
求得；
第28页（共31页）（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得
出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则
△PMH是等腰直角三角形，得出PH= PM，因为当PM最大时，PH最大，通过
求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6 ，设PD=a，则
DQ ﹣a，得出PD•DQ≤a（6 ﹣a）=﹣a2+6 a=﹣（a﹣3 ）2+18，当点P在
抛物线的顶点时，a=3 ，得出PD•DQ≤18．
解答： 解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是x=2，
∵直线y=x+m，
∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），
∴交点到原点的距离相等，
∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=2、45°．
（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，
显然当点B在OA的延长线时，S = S 不成立；
△POQ △PAQ
①当点B落在线段OA上时，如图①，
= = ，
由△OBE∽△ABF得， = = ，
∴AB=3OB，
∴OB= OA，
由y=x2﹣4x得点A（4，0），
∴OB=1，
∴B（1，0），
∴1+m=0，
∴m=﹣1；
第29页（共31页）②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB= OA=2，
∴B（﹣2，0），
∴﹣2+m=0，
∴m=2，
综上，当m=﹣1或2时，S = S ；
△POQ △PAQ
（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，
∵∠CDQ=45°+45°=90°，
∴AD⊥PH，
∴DQ=DH，
∴PD+DQ=PH，
过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，
∴PH= PM，
∴当PM最大时，PH最大，
∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，
∴PH的最大值为6 ，
即PD+DQ的最大值为6 ．
②由①可知：PD+PH≤6 ，
设PD=a，则DQ ﹣a，
∴PD•DQ≤a（6 ﹣a）=﹣a2+6 a=﹣（a﹣3 ）2+18，
∵当点P在抛物线的顶点时，a=3 ，
∴PD•DQ≤18．
∴PD•DQ的最大值为18．
第30页（共31页）点评： 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相
似的判定和性质，难度较大．
第31页（共31页）
