文档内容
2015 年福建省三明市中考数学试卷
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）
1．（4分）（2015•福建）下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．5 B．﹣3 C．0 D．﹣2
2．（4分）（2015•福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，
将100800用科学记数法表示为（ ）
A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104
3．（4分）（2015•福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几
何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2015•福建）下列计算正确的是（ ）
A．22=4 B．20=0 C．2﹣1=﹣2 D． =±2
5．（4分）（2015•福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟
跳绳次数分别是：162，167，158，165，175，142，167，这组数据的中位数是（ ）
A．156 B．162 C．165 D．167
6．（4分）（2015•福建）如图，在 ▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结
论错误的是（ ）
A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC
7．（4分）（2015•福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球
除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（ ）
A．摸出的2个球都是白球 B．摸出的2个球有一个是白球
C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球有一个黑球
8．（4分）（2015•福建）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
第1页（共27页）A．π B．2π C．4π D．6π
9．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，
以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于
点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
10．（4分）（2015•福建）如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个
动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的
垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标
为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）
A．n=﹣2m B． C．n=﹣4m D．
n=﹣ n=﹣
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•福建）化简： = ．
12．（4分）（2015•福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50
名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很
第2页（共27页）喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有
人．
13．（4分）（2015•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请
你写出符合条件的k的一个值： ．
14．（4分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=
度．
15．（4分）（2015•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共
有 个“•”．
16．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边
上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接
B′A，则B′A长度的最小值是 ．
三、解答题（共9题，满分86分）
17．（8分）（2015•福建）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中x= ．
第3页（共27页）18．（8分）（2015•福建）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示
出来．
19．（8分）（2015•福建）如图，一条河的两岸l ，l 互相平行，在一次综合实践活动
1 2
中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l 上选取一个点A，然后在河岸l 时选择
1 2
点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l 走到点C处，测得BC=60米，
2
∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：
sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
20．（8分）（2015•福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”
“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中
一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计
表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错
误的．
类别 频数 频率
助人为乐美德少年 a 0.20
自强自立美德少年 3 b
第4页（共27页）孝老爱亲美德少年 7 0.35
诚实守信美德少年 6 0.32
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a= ，b ；
（2）统计表后两行错误的数据是 ，该数据的正确值是
（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用
画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．
21．（8分）（2015•福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发
一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示
品名 黄瓜 茄子
批发价（元/千克） 3 4
零售价（元/千克） 4 7
当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少
千克？
22．（10分）（2015•福建）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次
函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
第5页（共27页）23．（10分）（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，
BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．
（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点
D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．
24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线
经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当
△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．
第6页（共27页）25．（14分）（2015•福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且
∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：
△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：
EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写
出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
2015 年福建省三明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）
1．（4分）（2015•福建）下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．5 B．﹣3 C．0 D．﹣2
考点： 有理数大小比较；绝对值．菁优网版权所有
分析： 根据绝对值的概念，可得出距离原点越远，绝对值越大，可直接得出答案．
第7页（共27页）解答： 解：|5|=5，|﹣3|=3，|0|=0，|﹣2|=2，
∵5＞3＞2＞0，
∴绝对值最大的数是5，
故选：A．
点评： 本题考查了实数的大小比较，以及绝对值的概念，解决本题的关键是求出
各数的绝对值．
2．（4分）（2015•福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，
将100800用科学记数法表示为（ ）
A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：100800=1.008×105．
故故选C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）（2015•福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几
何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 主视图是从正面看到的图形，是这个几何体从正面照射的正投影，据此求
解．
解答： 解：观察该几何体发现：其主视图的第一层有两个正方形，上面有一个正
方形，且位于左侧，
第8页（共27页）故选D．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，难度
不大．
4．（4分）（2015•福建）下列计算正确的是（ ）
A．22=4 B．20=0 C．2﹣1=﹣2 D． =±2
考点： 负整数指数幂；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂．菁优网版权所
分析： A：根据有理数的乘方的运算方法判断即可．
B：根据零指数幂的运算方法判断即可．
C：根据负整数指数幂的运算方法判断即可．
D：根据算术平方根的含义和求法判断即可．
解答： 解：∵22=4，
∴选项A正确；
∵20=1，
∴选项B不正确；
∵2﹣1= ，
∴选项C不正确；
∵ ，
∴选项D不正确．
故选：A．
点评： （1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负
整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可
变为正指数．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了有理数的乘方的运算方法，以及算术平方根的含义和求法，要
熟练掌握．
第9页（共27页）5．（4分）（2015•福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟
跳绳次数分别是：162，167，158，165，175，142，167，这组数据的中位数是（ ）
A．156 B．162 C．165 D．167
考点： 中位数．菁优网版权所有
分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数．
解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：142，158，162，165，167，167，
175，第四个数为165，
则中位数为：165．
故选C．
点评： 本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（4分）（2015•福建）如图，在 ▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结
论错误的是（ ）
A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC
考点： 平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 根据平行四边形的性质推出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，
但是AC和BD不一定相等，
故选C．
第10页（共27页）点评： 本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此
题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．
7．（4分）（2015•福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球
除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（ ）
A．摸出的2个球都是白球 B．摸出的2个球有一个是白球
C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球有一个黑球
考点： 随机事件．菁优网版权所有
分析： 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解答： 解：A、只有一个白球，故A是不可能事件，故A正确；
B、摸出的2个球有一个是白球是随机事件，故B错误；
C、摸出的2个球都是黑球是随机事件，故C错误；
D、摸出的2个球有一个黑球是随机事件，故D错误；
故选：A．
点评： 本题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件
随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在
一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
8．（4分）（2015•福建）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
考点： 弧长的计算．菁优网版权所有
分析： 根据弧长的计算公式l= 计算即可．
解答： 解：l= = =2π．
故选：B．
点评： 本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：l= 是解题的关键．
第11页（共27页）9．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，
以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于
点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．版
分析： 由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三
角形ABC斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；
因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此
选择答案即可．
解答： 解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠BDE=90°；
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD；
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平
分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（4分）（2015•福建）如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个
动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的
第12页（共27页）垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标
为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ）
A．n=﹣2m B． C．n=﹣4m D．
n=﹣ n=﹣
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析： 首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后
根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可．
解答： 解：∵点C的坐标为（m，n），
∴点A的纵坐标是n，横坐标是： ，
∴点A的坐标为（ ，n），
∵点C的坐标为（m，n），
∴点B的横坐标是m，纵坐标是： ，
∴点B的坐标为（m， ），
又∵ ，
∴mn=
∴m2n2=4，
又∵m＜0，n＞0，
∴mn=﹣2，
∴n=﹣
第13页（共27页）故选：B．
点评： 此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答
此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②
双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任
取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定
值|k|．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•福建）化简： = ．
考点： 约分．菁优网版权所有
分析： 将分母分解因式，然后再约分、化简．
解答： 解：原式= = ．
点评： 利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．
12．（4分）（2015•福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50
名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很
喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有
18 人．
考点： 扇形统计图．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据扇形统计图求出A占的百分比，由调查的总人数50计算即可得到结
果．
解答： 解：根据题意得：（1﹣16%﹣48%）×50=18（人），
则该班“很喜欢”数学的学生有18人．
第14页（共27页）故答案为：18
点评： 此题考查了扇形统计图，弄清图形中的数据是解本题的关键．
13．（4分）（2015•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请
你写出符合条件的k的一个值： 2 ．
考点： 一次函数的性质．菁优网版权所有
专题： 开放型．
分析： 直接根据一次函数的性质进行解答即可．
解答： 解：当在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大时，k＞0，则符
合条件的k的值可以是1，2，3，4，5…
故答案是：2．
点评： 本题考查了一次函数的性质．在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大
而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
14．（4分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 3 6 度．
考点： 圆周角定理；正多边形和圆．菁优网版权所有
分析： 圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根
据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
解答： 解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴ = = = = =72°，
∴∠ADB= ×72°=36°．
故答案为36．
点评： 本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关
键．
第15页（共27页）15．（4分）（2015•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共
有 11 1 个“•”．
考点： 规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
分析： 观察图形可知前4个图形中分别有：3，7，13，21个“•”，所以可得规律为：
第n个图形中共有[n（n+1）+1 个“•”．再将n=10代入计算即可．
解答： 解：由图形可知：
]
n=1时，“•”的个数为：1×2+1=3，
n=2时，“•”的个数为：2×3+1=7，
n=3时，“•”的个数为：3×4+1=13，
n=4时，“•”的个数为：4×5+1=21，
所以n=n时，“•”的个数为：n（n+1）+1，
n=10时，“•”的个数为：10×11+1=111．
故答案为111．
点评： 本题主要考查了规律型：图形的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找
它们之间的相互联系，探寻其规律，难度适中．
16．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边
上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接
B′A，则B′A长度的最小值是 1 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
第16页（共27页）分析： 首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A
有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在
一条直线上时，AB′有最小值．
解答： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC= = =4，
由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，
∵CB′长度固定不变，
∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．
根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，
∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．
故答案为：1．
点评： 本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最
小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．
三、解答题（共9题，满分86分）
17．（8分）（2015•福建）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中x= ．
考点： 整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
分析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计
算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=x2﹣2x+1+x2+2x=2x2+1，
当x= 时，原式=4+1=5．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，
平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式
及法则是解本题的关键．
18．（8分）（2015•福建）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示
出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
第17页（共27页）分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数
轴上，再表示出它们的公共部分即可．
解答： 解： ，
解①得：x≥﹣1，
解②得：x＜2．
，
不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的
19．（8分）（2015•福建）如图，一条河的两岸l ，l 互相平行，在一次综合实践活动
1 2
中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l 上选取一个点A，然后在河岸l 时选择
1 2
点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l 走到点C处，测得BC=60米，
2
∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：
sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
考点： 解直角三角形的应用．菁优网版权所有
专题： 应用题．
分析： 在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可．
解答： 解：在Rt△ABC中，BC=60米，∠BCA=62°，
可得tan∠BCA= ，即AB=BC•tan∠BCA=60×1.88≈113（米），
则河宽AB为113米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题
的关键．
第18页（共27页）20．（8分）（2015•福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”
“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中
一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计
表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错
误的．
类别 频数 频率
助人为乐美德少年 a 0.20
自强自立美德少年 3 b
孝老爱亲美德少年 7 0.35
诚实守信美德少年 6 0.32
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a= 4 ，b 0.1 5 ；
（2）统计表后两行错误的数据是 0.3 2 ，该数据的正确值是 0.3 0 ；
（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用
画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．
考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布表．菁优网版权所有
分析： （1）根据频率= 直接求得a、b的值即可；
（2）用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答： 解：（1）由题意得：a=20×0.20=4，b=3÷20=0.15；
（2）∵6÷20=0.3≠0.32，
∴最后一行数据错误，正确的值为0.30；
（3）列表得：
A B C
A AB AC
B BA BC
C CA CB
∵共有6种等可能的结果，A、B都被选中的情况有2种，
第19页（共27页）∴P（A，B都被采访到）= = ．
点评： 本题考查了频数分布表及列表或树形图求概率的知识，解题的关键是能
够正确的列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
21．（8分）（2015•福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发
一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示
品名 黄瓜 茄子
批发价（元/千克） 3 4
零售价（元/千克） 4 7
当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少
千克？
考点： 二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析： 设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，根据“用了145元从蔬菜批发市
场批发一些黄瓜和茄子，卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，”列出方程组解答即
可．
解答： 解：设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，由题意得
解得
答：这天他批发的黄瓜15千克，茄子是25千克．
点评： 此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决
问题的关键．
22．（10分）（2015•福建）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次
函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
第20页（共27页）考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有
分析： （1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m
＞﹣1；
（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式
为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方
程x=1，直线y=﹣x+3即可得到结果．
解答： 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0
∴m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=﹣9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
第21页（共27页）∴P（1，2）．
点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的
对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．
23．（10分）（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，
BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．
（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点
D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．
考点： 圆的综合题．菁优网版权所有
分析： （1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．
（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角
定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．
（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．
解答： 解：（1）如图①，连接OQ．
∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，
∴OQ⊥OP．
又∵BP=OB=OQ=2，
∴PQ= = =2 ，即PQ=2 ；
（2）OQ⊥AC．理由如下：
如图②，连接BC．
第22页（共27页）∵BP=OB，
∴点B是OP的中点，
又∵PC=CQ，
∴点C是PQ的中点，
∴BC是△PQO的中位线，
∴BC∥OQ．
又∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OQ⊥AC．
（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即 PQ2=2×6，
解得PQ=2 ．
点评： 本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的
性质，熟练利用割线定理进行几何计算．
24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线
经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
第23页（共27页）（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当
△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得
∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；
（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可
得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，
将B点坐标代入函数解析式，得
（5﹣1）2a﹣1=3，
解得a= ．
故抛物线的解析式为y= （x﹣1）2﹣1；
（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，
OA2+AB2=OB2，
∴∠OAB=90°，
O到直线AB的距离是OA= ；
（3）设M（a，b），N（a，0）
当y=0时， （x﹣1）2﹣1=0，
解得x =3，x =﹣1，
1 2
D（3，0），DN=3﹣a．
①当△MND∽△OAB时， = ，即 = ，
第24页（共27页）化简，得4b=a﹣3 ①
M在抛物线上，得b= （a﹣1）2﹣1 ②
联立①②，得 ，
解得a =3（不符合题意，舍），a =﹣2，b= ，
1 2
M （﹣2， ），
1
当△MND∽△BAO时， = ，即 = ，
化简，得b=12﹣4a ③，
联立②③，得 ，
解得a =3（不符合题意，舍），a =﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，
1 2
M （﹣17，80）．
2
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2， ），（﹣17，80）．
点评： 本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利
用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的
性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗
漏．
25．（14分）（2015•福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且
∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：
△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：
EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写
出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
第25页（共27页）考点： 四边形综合题．菁优网版权所有
分析： （1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证
△AEG≌△AEF；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知
△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得
出CE=CF，BE=BM，NF= DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得
出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，
等量代换得到EF=BE+DF．
解答： （1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
第26页（共27页）∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；
（3）解：EF2=2BE2+2DF2．
点评： 本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角
形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作
出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．
第27页（共27页）
