文档内容
2016 年福建省三明市中考数学试卷
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置
填涂）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=2a5 B．a3•a2=a6 C．a3÷a2=a D．（a3）2=a9
4．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10 D．11
5．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
6．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．70°
7．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95．
关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82
8．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（
）
第1页（共30页）A．2B．3C．4D．5
9．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
10．如图，P，Q分别是双曲线y= 在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为
A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S ，△QAB的面积为S ，△QAC的面积
1 2
为S ，则有（ ）
3
A．S =S ≠S B．S =S ≠S C．S =S ≠S D．S =S =S
1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．因式分解：2x2﹣18= ．
12．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 （写出一个即
可）．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位
似中心．若AB=1.5，则DE= ．
第2页（共30页）14．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球
后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单
位，依次得到点P（0，1），P（1，1），P（1，0），P（1，﹣1），P（2，﹣1），P（2，0），…，则点P
1 2 3 4 5 6 60
的坐标是 ．
16．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点
分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 ．
三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）
17．先化简，再求值：（a﹣b）2+b（3a﹣b）﹣a2，其中a= ，b= ．
18．解方程： =1﹣ ．
第3页（共30页）19．某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据
调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘
制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了 名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的
百分比是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据
调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有 名．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于
点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
第4页（共30页）21．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB= ，直线l
上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的表达式；
（2）若反比例函数y= 的图象经过点P，求m的值．
22．小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，
月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工
B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工
A型服装的时间为x天，月收入为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的 ，那么他的月
收入最高能达到多少元？
第5页（共30页）23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂
直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
24．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2
交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为y ，求y 的最小值，此时抛物线F上有两点（x ，y ），（x ，y ），且x ＜
P P 1 1 2 2 1
x ≤﹣2，比较y 与y 的大小；
2 1 2
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
第6页（共30页）25．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射
线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．
2016 年福建省三明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置
填涂）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【考点】倒数．
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【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
【解答】解：∵﹣2× =1．
∴﹣2的倒数是﹣ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
第7页（共30页）2．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】推理填空题．
【分析】解答此题首先要明确主视图是从物体正面看到的图形，然后根据几何体的主视图，判
断出这个几何体可以是哪个图形即可．
【解答】解：∵几何体的主视图由3个小正方形组成，下面两个，上面一个靠左，
∴这个几何体可以是 ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图的概念，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：主视图是从
物体正面看到的图形．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=2a5 B．a3•a2=a6 C．a3÷a2=a D．（a3）2=a9
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则计
算，判定即可．
【解答】解：a3与a2不是同类项，不能合并，A错误；
a3•a2=a5，B错误；
a3÷a2=a，C正确；
（a3）2=a6，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，掌握相关的
法则是解题的关键．
第8页（共30页）4．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10 D．11
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
5．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
【考点】概率的意义．
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【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解答】解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，
故选：D．
【点评】本题考查的是概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的
机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
6．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．70°
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到
结论．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
第9页（共30页）∴∠AOC=∠BOC= AOB=35°，
∵CD∥OB，
∴∠BOC=∠C=35°，
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质
并准确识图是解题的关键．
7．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95．
关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
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【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据从小到大排列为：65，76，82，82，86，95，
A、众数是82，说法正确；
B、中位数是82，说法正确；
C、极差为95﹣65=30，说法正确；
D、平均数= =81≠82，说法错误；
故选：D．
【点评】本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握
各部分的定义．
8．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（
）
A．2B．3C．4D．5
第10页（共30页）【考点】垂径定理；勾股定理．
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【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD= AB=4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC
﹣OD即可得到DC．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD= =3，
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查
了勾股定理．
9．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
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【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解答】解：sin∠A= ，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
第11页（共30页）10．如图，P，Q分别是双曲线y= 在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为
A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S ，△QAB的面积为S ，△QAC的面积
1 2
为S ，则有（ ）
3
A．S =S ≠S B．S =S ≠S C．S =S ≠S D．S =S =S
1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．
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【分析】根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S ，S ，S 的关系，本题得以
1 2 3
解决．
【解答】解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，
设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），
∴DB=a，DQ=a﹣c，DA=﹣d，DP=b﹣d，
∵DB•DP=a•（b﹣d）=ab﹣ad=k﹣ad，
DA•DQ=﹣d（a﹣c）=﹣ad+cd=﹣ad+k=k﹣ad，
∴DB•DP=DA•DQ，
即 ，
∵∠ADB=∠PDQ，
∴△DBA∽△DQP，
∴AB∥PQ，
∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，
∴△PAB的面积等于△QAB的面积，
∵AB∥QC，AC∥BQ，
∴四边形ABQC是平行四边形，
第12页（共30页）∴AC=BQ，
∴△QAB的面积等于△QAC，
∴S =S =S ，
1 2 3
故选D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．因式分解：2x2﹣18= 2 （ x+ 3 ）（ x﹣ 3 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公
因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 1 （写出一个即
可）．
【考点】根的判别式．
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【分析】直接利用根的判别式，得出△＞0，进而求出c的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=16﹣4c＞0，
解得：c＜4，
故c的值可以是1．
故答案为：1
第13页（共30页）【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当
△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位
似中心．若AB=1.5，则DE= 4. 5 ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
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【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出 = = ，求出DE的长即可．
【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，
0），D点坐标为（3，0），
∴AO=2，DO=5，
∴ = = ，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出
= = 是解题关键．
第14页（共30页）14．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球
后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】计算题．
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根
据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，
所以随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单
位，依次得到点P（0，1），P（1，1），P（1，0），P（1，﹣1），P（2，﹣1），P（2，0），…，则点P
1 2 3 4 5 6 60
的坐标是 （ 2 0 ， 0 ） ．
【考点】规律型：点的坐标．
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【分析】根据图形分别求出n=3、6、9时对应的点的坐标，可知点P （n，0），将n=20代入可得．
3n
【解答】解：∵P （1，0），P （2，0），P （3，0），…，
3 6 9
第15页（共30页）∴P （n，0）
3n
当n=20时，P （20，0），
60
故答案为：（20，0）．
【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=3、6、9时对应的点的对
应的坐标是解题的关键．
16．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点
分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 6≤MN≤ 4 ．
【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质．
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【分析】当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，
BN（或CM）最长，求出此时BN（或CM）的长度，由此即可得出MN的取值范围．
【解答】解：如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．
此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE= AC，PF= AB，EF= BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．
此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG=2 （BH=2 ），
CM=4 （BN=4 ）．
故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4 ．
故答案为：6≤MN≤4 ．
第16页（共30页）【点评】本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最
长时点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P
的位置是关键．
三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）
17．先化简，再求值：（a﹣b）2+b（3a﹣b）﹣a2，其中a= ，b= ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【分析】原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（a﹣b）2+b（3a﹣b）﹣a2
=a2﹣2ab+b2+3ab﹣b2﹣a2
=ab，
当a= ，b= 时，原式= × =2 ．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解方程： =1﹣ ．
【考点】解分式方程．
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【专题】方程与不等式．
【分析】根据解分式方程的方法先将分式方程转化为整式方程，然后解答即可，最好要验根．
【解答】解： =1﹣
方程两边同乘以x﹣2，得
1﹣x=x﹣2﹣3
解得，x=3，
检验：当x=3时，x﹣2≠0，
第17页（共30页）故原分式方程的解是x=3．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是明确分式方程的解法，注意最后要验根．
19．某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据
调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘
制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了 12 0 名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总
数的百分比是 30% ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据
调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有 45 0 名．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
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【分析】（1）根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，
然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；
（3）利用总人数1800乘以对应的比例即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：18÷15%=120（人），
安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是： =30%．
故答案是：120，30%；
（2）安全意识“较强”的人数是：120×45%=54（人），
第18页（共30页）；
（3）估计全校需要强化安全教育的学生约1800× =450（人），
故答案是：450．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该
部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于
点F．
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
【考点】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．
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【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；
（2）利用菱形的判定证明即可．
【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形．
（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，
第19页（共30页）∴CB= AB，CE= AB．
∴CB=CE．
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定
以及菱形的判定是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB= ，直线l
上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的表达式；
（2）若反比例函数y= 的图象经过点P，求m的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）由条件可先求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线l的表达式；
（2）先求得P点坐标，再代入反比例函数解析式可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵A（2，0），∴OA=2．
∵tan∠OAB= = ，
∴OB=1，
∴B（0，1），
第20页（共30页）设直线l的表达式为y=kx+b，则 ，解得 ，
∴直线l的表达式为y=﹣ x+1；
（2）∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，
∴点P的横坐标为﹣1，
又∵点P在直线l上，
∴点P的纵坐标为：﹣ ×（﹣1）+1= ，
∴点P的坐标是（﹣1， ），
∵反比例函数y= 的图象经过点P，
∴ = ，
∴m=﹣1× =﹣ ．
【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数应用的关键是求得点的坐标，
注意三角函数定义的应用．
22．小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，
月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工
B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工
A型服装的时间为x天，月收入为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
第21页（共30页）（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的 ，那么他的月
收入最高能达到多少元？
【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）根据题意列出关于x、y的关系式即可；
（2）根据每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的 列出关于x的不等式，求出x的
取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意得，y=20×4x+12×8×（22﹣x）+900，即y=﹣16x+3012；
（2）∵依题意，得4x≥ ×8×（22﹣x），
∴x≥12．
在y=﹣16x+3012中，
∵﹣16＜0，
∴y随c的增大而减小．
∴当x=12时，y取最大值，此时y=﹣16×12+3012=2820．
答：当小李每月加工A型服装12天时，月收入最高，可达2820元．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂
直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
【考点】直线与圆的位置关系；线段垂直平分线的性质．
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第22页（共30页）【专题】计算题；与圆有关的位置关系．
【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对
角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关
于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切
的性质是解本题的关键．
第23页（共30页）24．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2
交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为y ，求y 的最小值，此时抛物线F上有两点（x ，y ），（x ，y ），且x ＜
P P 1 1 2 2 1
x ≤﹣2，比较y 与y 的大小；
2 1 2
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】函数及其图象．
【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；
（2）根据题意，可以求得y 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 与y 的大小；
P 1 2
（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题
【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；
（2）当x=﹣2时，y =4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
p
∴当m=﹣2时，y 的最小值﹣2，
p
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x ＜x ≤﹣2，
1 2
∴y ＞y ；
1 2
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
第24页（共30页）∴ 或 ，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解
析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
25．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射
线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．
【考点】三角形综合题．
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【分析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．
（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得
= ，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．
②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分
别求出PB即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
第25页（共30页）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．
（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴ = ，
第26页（共30页）∴ = ，
∴PB=
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PB= ，
综上，PB= 或 ．
第27页（共30页）②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最
小．
理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD﹣PD= ﹣1．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．
理由：此时∠BCE最，大，因此PB最大，
∵AE⊥EC，
第28页（共30页）∴EC= = = ，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD= +1．
综上所述，PB长的最小值是 ﹣1，最大值是 +1．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形
的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的
思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
第29页（共30页）第30页（共30页）
