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2015 年福建省莆田市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2015•莆田）﹣2的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
﹣
2．（4分）（2015•莆田）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a2+a4=a6 C．a3÷a3=1 D．（a3﹣a）÷a=a2
3．（4分）（2015•莆田）右边几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2015•莆田）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A． 等边三角形 B． 平行四边形 C． 矩形 D． 正五边形
5．（4分）（2015•莆田）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列
选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
第1页（共31页）7．（4分）（2015•莆田）在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，
4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（ ）
A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2
8．（4分）（2015•莆田）如图，在⊙O中， = ，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（
）
A．50° B．40° C．30° D．25°
9．（4分）（2015•莆田）命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”
是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
10．（4分）（2015•莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时
得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．45°
二、细心填一填（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•莆田）要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取
（选填“全面调查”或“抽样调查”）．
12．（4分）（2015•莆田）八边形的外角和是 ．
13．（4分）（2015•莆田）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学
记数法表示为 ．
第2页（共31页）14．（4分）（2015•莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积
的最大值是 cm2．
15．（4分）（2015•莆田）如图，AB切⊙O于点B，OA=2 ，∠BAO=60°，弦
BC∥OA，则 的长为 （结果保留π）．
16．（4分）（2015•莆田）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出
来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；
对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得
到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，
则图5中的所有阴影三角形的面积之和是 ．
三、耐心做一做（共10小题，满分86分）
17．（7分）（2015•莆田）计算：|2﹣ |﹣ +（﹣1）0．
18．（7分）（2015•莆田）解分式方程： = ．
19．（8分）（2015•莆田）先化简，再求值： ﹣ ，其中a=1+ ，b=﹣1+
．
第3页（共31页）20．（10分）（2015•莆田）为建设”书香校园“，某校开展读书月活动，现随机抽
取了一部分学生的日人均阅读时间x（单位：小时）进行统计，统计结果分为四个
等级，分别记为A，B，C，D，其中：A：0≤x＜0.5，B：0.5≤x＜1，C：1≤x＜1.5，D：
1.5≤x＜2，根据统计结果绘制了如图两个尚不完整的统计图．
（1）本次统计共随机抽取了 名学生；
（2）扇形统计图中等级B所占的圆心角是 ；
（3）从参加统计的学生中，随机抽取一个人，则抽到“日人均阅读时间大于或等
于1小时”的学生的概率是 ；
（4）若该校有1200名学生，请估计“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”的学
生共有 人．
21．（8分）（2015•莆田）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F
分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
第4页（共31页）22．（8分）（2015•莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于
点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ．求
证：CB是⊙O的切线．
23．（8分）（2015•莆田）某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，
普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7
点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y（张）与售票时间x（小时）的变化
1
趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y（张）与售票时间x（小时）的变化
2
趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通
售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．
（1）求图2中所确定抛物线的解析式；
（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数
不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
第5页（共31页）24．（8分）（2015•莆田）如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，直
线y=﹣x+6交边BC于点M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面积相等的两
部分，过点M的双曲线y= （x＞0）交边AB于点N．若△OAN的面积是4，求
△OMN的面积．
25．（10分）（2015•莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线
y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；
（2）已知“恒定”抛物线y= x2﹣ 的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否
存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为
边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
第6页（共31页）26．（12分）（2015•莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P
是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证
明；若不成立，请说明理由；
（3）记 =k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必
说明理由）
2015 年福建省莆田市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2015•莆田）﹣2的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
﹣
考点： 相反数．菁优网版权所有
分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
第7页（共31页）解答： 解：﹣2的相反数是2，
故选：B．
点评： 本体考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（4分）（2015•莆田）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a2+a4=a6 C．a3÷a3=1 D．（a3﹣a）÷a=a2
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．菁
分析： 利用幂的有关性质、合并同类型及整式的除法分别运算后即可确定正确
的选项．
解答： 解：A、（a2）3=a6，故错误；
B、a2+a4不能进行运算，因为二者不是同类项；
C、a3÷a3=1，正确；
D、（a3﹣a）÷a=a2﹣1，故错误，
故选C．
点评： 本题考查了幂的有关性质、合并同类型及整式的除法，解题的关键是能够
熟练掌握有关幂的运算性质，难度不大．
3．（4分）（2015•莆田）右边几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视
图中．
解答： 解：从上往下看，易得三个并排的长方形．
故选A．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从上向下得到的物体的正视图．
第8页（共31页）4．（4分）（2015•莆田）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
等边三角形 平行四边形 矩形
正五边形
考点： 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
5．（4分）（2015•莆田）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析： 分别求出两个不等式的解集，即可作出判断．
解答： 解：解不等式x+2＞1得：x＞﹣1；
解不等式 x≤1得：x≤2，
所以次不等式的解集为：﹣1＜x≤2．
故选A．
第9页（共31页）点评： 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不
等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是
解此题的关键．
6．（4分）（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列
选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
考点： 全等三角形的判定．菁优网版权所有
分析： 添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再
利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．
解答： 解：∵AE∥FD，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：A．
点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方
法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
第10页（共31页）7．（4分）（2015•莆田）在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，
4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（ ）
A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2
考点： 方差；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
分析： 根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
解答： 解：A、平均数= =5，此选项正确；
B、3，4，4，6，8中位数是4，此选项错误；
C、3，4，4，6，8众数是4，此选项正确；
D、方差S2= =3.2，此选项正确；
故选B．
点评： 本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键
是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
8．（4分）（2015•莆田）如图，在⊙O中， = ，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（
）
A．50° B．40° C．30° D．25°
考点： 圆周角定理；垂径定理．菁优网版权所有
分析： 先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
解答： 解：
∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠AOB，
第11页（共31页）∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠ADC= ∠AOC=25°，
故选D．
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
9．（4分）（2015•莆田）命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”
是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
考点： 命题与定理；根的判别式．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出b的范围即可做出判
断．
解答： 解：∵方程x2+bx+1=0，必有实数解，
∴△=b2﹣4≥0，
解得：b≤﹣2或b≥2，
则命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列
选项中，可以作为反例的是b=﹣1，
故选C
点评： 此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假
命题的方法是解本题的关键．
10．（4分）（2015•莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时
得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
第12页（共31页）A．25° B．30° C．36° D．45°
考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
分析： 连接AN，根据折叠的性质得到△ABN为等边三角形，可得∠ABN=60°，
于是得到∠ABM=∠NBM=30°．
解答： 解：连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠NBM=30°．
故选B．
点评： 本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，翻折前后对应角相等；对应边
相等；注意特殊角及三角函数的应用．
二、细心填一填（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2015•莆田）要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取 抽样调查
（选填“全面调查”或“抽样调查”）．
考点： 全面调查与抽样调查．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 了解炮弹的杀伤力情况，不可能全面调查，炮弹全部用完没有意义，即可
得到结果．
第13页（共31页）解答： 解：要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取抽样调查．
故答案为：抽样调查
点评： 此题考查了全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普
查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的
调查往往选用普查．
12．（4分）（2015•莆田）八边形的外角和是 360 ° ．
考点： 多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析： 任何凸多边形的外角和都是360度．
解答： 解：八边形的外角和是360度．
故答案为：360°．
点评： 本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是360度，不随
着边数的变化而变化．
13．（4分）（2015•莆田）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学
记数法表示为 9.6×1 0 6 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故答案为9.6×106．
点评： 本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（4分）（2015•莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积
的最大值是 6 4 cm2．
考点： 二次函数的最值．菁优网版权所有
第14页（共31页）分析： 设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S即可
表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．
解答： 解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm．
则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x，
当x=﹣ =﹣ =8时，S有最大值是：64．
故答案是：64．
点评： 本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问
题，利用函数的性质求解．
15．（4分）（2015•莆田）如图，AB切⊙O于点B，OA=2 ，∠BAO=60°，弦
BC∥OA，则 的长为 2 π （结果保留π）．
考点： 切线的性质；弧长的计算．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到AB与OB垂直，
在直角三角形AOB中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，
利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径，由BC与OA平行，利用两直线平行
内错角相等得到一对角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，进
而求出∠BOC度数，利用弧长公式即可求出弧BC的长．
解答： 解：连接OB，OC，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，
在△AOB中，OA=2 ，∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，即AB= ，
根据勾股定理得：OB=3，
∵BC∥OA，
第15页（共31页）∴∠OBC=∠AOB=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
则 的长l= =2π，
故答案为：2π
点评： 此题考查了切线的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的
关键．
16．（4分）（2015•莆田）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出
来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；
对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得
到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，
则图5中的所有阴影三角形的面积之和是 ．
考点： 规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
分析： 根据题意，每次挖去等边三角形的面积的 ，剩下的阴影部分面积等于原
阴影部分面积的 ，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
解答： 解：图2阴影部分面积=1﹣ = ，
第16页（共31页）图3阴影部分面积= × =（ ）2，
图4阴影部分面积= ×（ ）2=（ ）3，
图5阴影部分面积= ×（ ）3=（ ）4= ．
故答案为： ．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察出每次挖出后剩下的阴影部分面积
等于原阴影部分面积的 是解题的关键．
三、耐心做一做（共10小题，满分86分）
17．（7分）（2015•莆田）计算：|2﹣ |﹣ +（﹣1）0．
考点： 实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
分析： 本题涉及绝对值，零指数幂、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别
进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：|2﹣ |﹣ +（﹣1）0．
=2﹣ ﹣3+1
=﹣ ．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（7分）（2015•莆田）解分式方程： = ．
考点： 解分式方程．菁优网版权所有
分析： 先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检
验即可．
解答： 解：方程两边都乘以x（x+2）得：2（x+2）=3x，
解得：x=4，
检验：把x=4代入x（x+2）≠0，
所以x=4是原方程的解，
第17页（共31页）即原方程的解为x=4．
点评： 本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是能把分式方程转化成整
式方程，难度适中．
19．（8分）（2015•莆田）先化简，再求值： ﹣ ，其中a=1+ ，b=﹣1+
．
考点： 分式的化简求值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把a
与b的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式= = =a﹣b，
当a=1+ ，b=﹣1+ 时，原式=2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）（2015•莆田）为建设”书香校园“，某校开展读书月活动，现随机抽
取了一部分学生的日人均阅读时间x（单位：小时）进行统计，统计结果分为四个
等级，分别记为A，B，C，D，其中：A：0≤x＜0.5，B：0.5≤x＜1，C：1≤x＜1.5，D：
1.5≤x＜2，根据统计结果绘制了如图两个尚不完整的统计图．
（1）本次统计共随机抽取了 10 0 名学生；
（2）扇形统计图中等级B所占的圆心角是 72 ° ；
第18页（共31页）（3）从参加统计的学生中，随机抽取一个人，则抽到“日人均阅读时间大于或等
于1小时”的学生的概率是 0. 7 ；
（4）若该校有1200名学生，请估计“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”的学
生共有 108 0 人．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．菁优网版权所
分析： （1）利用扇形统计图和条形统计图得出C组的人数为40，在扇形统计图中
占40%，进而求出即可；
（2）利用等级B在样本中所占比例，进而求出所占的圆心角；
（3）利用“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生所占比例，得出概率；
（4）利用“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”所占比例求出答案．
解答： 解：（1）由C组的人数为40，在扇形统计图中占40%，
故本次统计共随机抽取了：40÷40%=100（名），
故答案为：100；
（2）由题意可得：20×100×360°=72°．
故答案为：72°；
（3）∵D组所占比例为：30%，C组所占比例为：40%，
∴“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生的所占比例为：70%，
∴抽到“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生的概率是：0.7；
故答案为：0.7；
（4）∵样本中日人均阅读时间小于0.5小时的有10人，所占样本数据的
×100%=10%，
∴该校有1200名学生，“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”的学生共有：
1200×（1﹣10%）=1080（人）．
故答案为：1080．
点评： 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用，根据题意得出正确信
息是解题关键．
第19页（共31页）21．（8分）（2015•莆田）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F
分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
考点： 菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析： （1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而
求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．
解答： 解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO= AB，OF= AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO= = =12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF BD，
∴EF=12．
第20页（共31页）点评： 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，
熟练应用菱形的性质是解题关键．
22．（8分）（2015•莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于
点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ．求
证：CB是⊙O的切线．
考点： 切线的判定．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形
BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由
OC﹣OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断
得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．
解答： 证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= = ，CE=OC﹣OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
第21页（共31页）∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
点评： 此题考查了切线的判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握切线的判定方法是
解本题的关键．
23．（8分）（2015•莆田）某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，
普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7
点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y（张）与售票时间x（小时）的变化
1
趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y（张）与售票时间x（小时）的变化
2
趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通
售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．
（1）求图2中所确定抛物线的解析式；
（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数
不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
考点： 二次函数的应用．菁优网版权所有
分析： （1）设 ，当x=2时，y =y =40，利用待定系数法即可解答；
1 2
第22页（共31页）（2）设y =kx+b（1≤x≤3），把（1，0），（2，40）分别代入y =kx+b，求得y =40x﹣40，
1 1 2
当x=3时，y =80，y =90，设需要开放m个普通售票窗口，所以80m+90×5≥900，解
1 2
得m≥5 ，因为m取整数，所以m≥6，即可解答．
解答： 解：（1）设 ，
当x=2时，y =y =40，
1 2
把（2，40）代入 ，
4a=40，
解得：a=10，
∴ ．
（2）设y =kx+b（1≤x≤3），
1
把（1，0），（2，40）分别代入y =kx+b得：
1
解得： ，
∴y =40x﹣40，
2
当x=3时，y =80，y =90，
1 2
设需要开放m个普通售票窗口，
∴80m+90×5≥900，
∴m≥5 ，
∴m取整数，
∴m≥6．
答：至少需要开放6个普通售票窗口．
点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数
解析式．
第23页（共31页）24．（8分）（2015•莆田）如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，直
线y=﹣x+6交边BC于点M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面积相等的两
部分，过点M的双曲线y= （x＞0）交边AB于点N．若△OAN的面积是4，求
△OMN的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
分析： 由反比例函数性质求出S =S =4，得到mn=8，根据点M（m，n）在直
△OCM △OAN
线y=﹣x+6上，得到﹣m+6=n，联立解方程组，得m、n的值，再根据直线y=﹣x+6
分矩形OABC面积成相等的两部分，求出点B的坐标，进而求出OA=BC=8，
AB=OC=4，BM=6，BN=3，由S =S ﹣S ﹣S ﹣S 计算即可．
△OMN 矩形OABC △OCM △BMN △OAN
解答： 解：∵点M、N在双曲线y= （x＞0）上，
∴S =S =4，
△OCM △OAN
∴ mn=4，
∴mn=8，
∵点M（m，n）在直线y=﹣x+6上，
∴﹣m+6=n，
∴
解得： 或 （舍去）
∵直线y=﹣x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，
∴直线y=﹣x+6过矩形OABC的中心，
设B（a，4）
∴E（ ，2）
第24页（共31页）∴﹣ +6=2
∴a=8，
∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，
∴S =S ﹣S ﹣S ﹣S =32﹣4﹣9﹣4=15．
△OMN 矩形OABC △OCM △BMN △OAN
点评： 本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数与反比例函数的综合运用、
待定系数法以及数形结合思想，求出m、n的值以及点B的坐标是解决问题的关
键．
25．（10分）（2015•莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线
y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；
（2）已知“恒定”抛物线y= x2﹣ 的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否
存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为
边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
专题： 综合题．
分析： （1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即a﹣b+c=0，即可确定出
抛物线恒过定点（﹣1，0）；
（2）先求出抛物线y= x2﹣ 的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，
PA=CQ；存在两种情况：
①作QM⊥AC于M，则QM=OP= ，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出
点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣ ，把点A坐标代入求出a的值
即可；
②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=
，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+ ，把点C坐标代入求出a的值即
可．
解答： （1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，
得：b=a+c，
即a﹣b+c=0，
第25页（共31页）∵抛物线y=ax2+bx+c，
当x=﹣1时，y=0，
∴“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；
（2）解：存在；理由如下：
∵“恒定”抛物线y= x2﹣ ，
当y=0时， x2﹣ =0，
解得：x=±1，
∵A（﹣1，0），
∴B（1，0）；
∵x=0时，y=﹣ ，
∴顶点P的坐标为（0，﹣ ），
以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，
∴PA∥CQ，PA=CQ，
∴存在两种情况：
①如图1所示：作QM⊥AC于M，
则QM=OP= ，∠QMC=90°=∠POA，
在Rt△QMC和Rt△POA中，
，
∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），
∴MC=OA=1，
∴OM=2，
∵点A和点C是抛物线上的对称点，
∴AM=MC=1，
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣ ），
设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2
﹣ ，
把点A（﹣1，0）代入得：a= ，
∴抛物线的解析式为：y= （x+2）2﹣ ，
即y═ x2+4 x+3 ；
第26页（共31页）②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，
∴点C坐标为（1，0），
∵CQ∥PA，
∴∠OQC=∠OPA，
在△OQC和△OPA中，
，
∴△OQC≌△OPA（AAS），
∴OQ=OP= ，
∴点Q坐标为（0， ），
设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+ ，
把点C（1，0）代入得：a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ ；
综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以
PA，CQ为边的四边形是平行四边形，
抛物线的解析式为：y= x2+4 x+3 ，或y=﹣ x2+ ．
第27页（共31页）点评： 本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法
求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性
质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全
等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式．
26．（12分）（2015•莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P
是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证
明；若不成立，请说明理由；
（3）记 =k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必
说明理由）
第28页（共31页）考点： 几何变换综合题．菁优网版权所有
分析： （1）首先过点P作PM⊥CE于点M，然后根据EF⊥AE，BC⊥AC，可得
EF∥MP∥CB，推得 ，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得
PC=PE即可．
（2）首先过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，然后根据
全等三角形判定的方法，判断出△DAF≌△EAF，即可判断出AD=AE；再判断出
△DAP≌△EAP，即可判断出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得
FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得
PC=PE．
（3）首先根据△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，再推得∠CAB=60°；然后
根据∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据 =k， =tan30°，求出当△CPE总
是等边三角形时，k的值是多少即可．
解答： 解：（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵EF⊥AE，BC⊥AC，
第29页（共31页）∴EF∥MP∥CB，
∴ ，
∵点P是BF的中点，
∴EM=MC，
又∵PM⊥CE，
∴PC=PE．
（2）如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，
在△DAF和△EAF中，
，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴ ，
第30页（共31页）∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，
又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，
又∵PD=PE，
∴PC=PE．
（3）如图4，
，
∵△CPE总是等边三角形，
∴∠CEP=60°，
∴∠CAB=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠CAB=90°﹣60°=30°，
∵ =k， =tan30°，
∴k=tan30°= ，
∴当k为 时，△CPE总是等边三角形．
点评： （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了数形
结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形判定和性质的应用，以及直角三角形的性质和应用
要熟练掌握．
第31页（共31页）
