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2016年福建省莆田市中考数学试卷
一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分） 的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝0 B．a•a2＝a3 C．a4÷a3＝a2 D．（a3）2＝a5
3．（4分）一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4．（4分）图中三视图对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．（4分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，
不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
7．（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
第1页（共28页）8．（4分）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重
合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（
）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上
的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
连接AM．作线段AM的垂直平分线l ，过点M作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P；
1 2 1 2
①在x轴上多次改变点M的位置，用 的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次
②连接起来，得到的曲线是（ ）①
A．直线 B．抛物线
C．双曲线 D．双曲线的一支
二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217000米，用科学记数法表示217000为 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是
．
13．（4分）已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1＝37°，则∠2＝ ．
第2页（共28页）14．（4分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就
“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从
左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳
绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计
该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为 人．
15．（4分）如图，CD为 O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，则 的长为
（结果保留 ）． ⊙
π
16．（4分） 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱
方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则
AE的长为 ．
第3页（共28页）三、耐心做一张：本大题共10小题，共86分
17．（8分）计算：| ﹣3|﹣ +（ ）0．
18．（8分）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x＝﹣1．
19．（8分）解不等式组： ．
20．（8分）小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点
立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB＝62°，立杆OA＝OB＝140cm，小梅的连衣
裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？
请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
21．（8分）在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所
示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求
抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．
22．（8分）甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车
距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h
（1）求甲车的速度；
第4页（共28页）（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果
乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．
23．（8分）如图，在 ▱ABCD中，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的 O
分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）求证：EF2＝⊙4BP•QP．
24．（8分）如图，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两
边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝90°，其两边分
别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出
点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的
另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB
第5页（共28页）＝c，各边上的高分别记为h ，h ，h ，各边上的内接正方形的边长分别记为x ，x ，x
a b c a b c
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证： + ＝ ；
（2）特殊应用：若∠BAC＝90°，x ＝x ＝2，求 + 的值；
b c
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断x 与x 的大小，并说明理由．
b c
26．（12分）如图，抛物线C ：y＝﹣ x2+2 x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
1
（1）将抛物线C 上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解
1
析式；
（2）将抛物线C 上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C ，抛物线C
1 2 2
的顶点为C，点P在抛物线C
2
上，满足S△PAC ＝S△ABC ，且∠ACP＝90°．
当k＞1时，求k的值；
①当k＜﹣1时，请直接写出k的值，不必说明理由．
②
第6页（共28页）2016 年福建省莆田市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分） 的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝0 B．a•a2＝a3 C．a4÷a3＝a2 D．（a3）2＝a5
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘除法和幂的乘方分别计算即可得出答案．
【解答】解：
A、3a﹣2a＝a，故A不正确；
B、a•a2＝a3，故B正确；
C、a4÷a3＝a，故C不正确；
D、（a3）2＝a6，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的运算，掌握同底数幂的运用性质是解题的关键．
3．（4分）一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【考点】W4：中位数．
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【专题】54：统计与概率．
【分析】根据题目中的数据，可以求得这组数据的中位数．
第7页（共28页）【解答】解：数据3，3，4，6，8，9的中位数是： ＝5，
故选：B．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是明确中位数的定义，可以将一组数据按照从小到大的
顺序排列，找出这组数据的中位数．
4．（4分）图中三视图对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图可判断出此上面是圆柱体，由此
即可得出结论．
【解答】解：由主视图可以推出这个几何体是上下两个大小不同柱体，
从主视图推出这两个柱体的宽度相同，
从俯视图推出上面是圆柱体，直径等于下面柱体的宽．
由此可以判断对应的几何体是C．
故选：C．
【点评】不同考查三视图，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是
球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
5．（4分）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【考点】L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．
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【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；
则可求得答案．
【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
第8页（共28页）故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．
6．（4分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，
不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
【考点】KB：全等三角形的判定；KF：角平分线的性质．
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【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，
根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题
的关键．
7．（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝a2+4＞0，
∴，方程有两个不相等的两个实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如
下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两
个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
第9页（共28页）8．（4分）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重
合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（
）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
【考点】R3：旋转对称图形．
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【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．
【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转
角．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上
的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KW：等腰直角三角形；PB：翻折变换（折叠问题）；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF＝∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问
题即可解决．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠A＝∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF＝∠A，
∴∠EDF＝∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF＝∠BFD+∠BDF+∠B＝180°，
∴∠CDE＝∠BFD．
又∵AE＝DE＝3，
第10页（共28页）∴CE＝4﹣3＝1，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE＝ ＝ ，
∴sin∠BFD＝ ．
故选：A．
【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性
质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
连接AM．作线段AM的垂直平分线l ，过点M作x轴的垂线l ，记l ，l 的交点为P；
1 2 1 2
①在x轴上多次改变点M的位置，用 的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次
②连接起来，得到的曲线是（ ）①
A．直线 B．抛物线
C．双曲线 D．双曲线的一支
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作
图．
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【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．
【解答】解：根据作图步骤作图，如图所示．
由此即可得出该曲线为抛物线．
故选：B．
第11页（共28页）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图，
解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题
目时，熟悉各曲线的图形是关键．
二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217000米，用科学记数法表示217000为 2.17×1 0 5
．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将217000用科学记数法表示为：217000＝2.17×105．
故答案为：2.17×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是
（ 2 ， 2 ） ．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
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【分析】将点P的横坐标加3，纵坐标不变即可求解．
【解答】解：点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是（﹣1+3，2），即（2，2）．
故答案为（2，2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上
移加，下移减．
第12页（共28页）13．（4分）已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1＝37°，则∠2＝ 53 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到∠1+∠2＝90°，据此求出∠2的度数．
【解答】解：作直线AB∥a，
∵a∥b
∴AB∥a∥b，
∵AB∥a，
∴∠1＝∠3，
∵AB∥b，
∴∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝37°，
∴∠2＝90°﹣37°＝53°，
故答案为53°．
【点评】本题考查了平行线的性质，构成直线AB∥a是解题的关键，熟练掌握两直线平行，内
错角相等．
14．（4分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就
“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从
左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳
绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计
第13页（共28页）该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为 48 0 人．
【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图．
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【分析】首先由第二小组有10人，占20%，可求得总人数，再根据各小组频数之和等于数据总
数求得第四小组的人数，利用总人数260乘以样本中“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数
所占的比例即可求解．
【解答】解：总人数是：10÷20%＝50（人），
第四小组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4＝10，
所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是： ×1200＝480，
故答案为：480．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
15．（4分）如图，CD为 O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，则 的长为
⊙ π
（结果保留 ）．
π
【考点】M2：垂径定理；MN：弧长的计算．
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【分析】连接AC，由垂径定理的CE＝DE，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，由等腰
三角形的性质得到∠CAB＝∠DAB＝30°，由圆周角定理得到∠COB＝60°，根据弧长的计
第14页（共28页）算公式即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵CD为 O的弦，AB是 O的直径，
∴CE＝D⊙E， ⊙
∵AB⊥CD，
∴AC＝AD，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴ 的长＝ ＝ ，
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查的是垂径定理，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握垂
径定理是解答此题的关键．
16．（4分） 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱
方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则
AE的长为 3 ．
【考点】KR：勾股定理的证明．
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【专题】14：证明题；554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出
第15页（共28页）CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即
可．
【解答】解：∵BF＝1，CF＝2，
∴BC＝BF+CF＝1+2＝3，
∵AB∥EC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CE＝6，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝DC+CE＝3+6＝9，
根据勾股定理得：AE＝ ＝3 ，
故答案为：3
【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解
本题的关键．
三、耐心做一张：本大题共10小题，共86分
17．（8分）计算：| ﹣3|﹣ +（ ）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算．
【解答】解：原式＝3﹣ ﹣4+1
＝﹣ ．
【点评】本题考查了绝对值的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数
既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．注意
零指数幂的意义．
18．（8分）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x＝﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把x2﹣4分解因式和除法运算化为乘法运算，再约分后进行同分母的减法运算得到
原式＝ ，然后把x的值代入计算即可．
第16页（共28页）【解答】解：原式＝ ﹣ •（x+2）
＝ ﹣
＝
＝ ，
当x＝﹣1时，原式＝ ＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出
分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要
进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（8分）解不等式组： ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．
【解答】解： ．
由 得x≤1；
由①得x＜4；
所②以原不等式组的解集为：x≤1．
【点评】考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
20．（8分）小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点
立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB＝62°，立杆OA＝OB＝140cm，小梅的连衣
裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？
请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
第17页（共28页）【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角
函数sin∠OAB＝ ，求得OE，即可作出判断．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA＝OB，∠AOB＝62°，
∴∠OAB＝∠OBA＝59°，
在Rt△AEO中，OE＝OA•sin∠OAB
＝140×sin59°
≈140×0.86
＝120.4，
∵120.4＜122，
∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形和三角函数的定义
的综合运用．
21．（8分）在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所
示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求
抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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第18页（共28页）【专题】543：概率及其应用．
【分析】列出得出所有等可能的情况数，找出抽取2张牌的数字之和为偶数的情况数，即可求
出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
3 4 5 6
3 ﹣﹣﹣﹣ （4，3） （5，3） （6，3）
4 （3，4） ﹣﹣﹣﹣ （5，4） （6，4）
5 （3，5） （4，5） ﹣﹣﹣﹣ （6，5）
6 （3，6） （4，6） （5，6） ﹣﹣﹣﹣
所有等可能的情况数有12种，抽取2张牌的数字之和为偶数的有4种，
则P＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车
距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h
（1）求甲车的速度；
（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果
乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．
【考点】B7：分式方程的应用；E6：函数的图象．
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【专题】52：方程与不等式．
【分析】（1）根据函数图象可知甲2小时行驶的路程是（280﹣120）km，从而可以求得甲的速
度；
（2）根据第（1）问中的甲的速度和甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，
甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，可以列出分式方程，从而可以求
得a的值．
【解答】解：（1）由图象可得，
第19页（共28页）甲车的速度为： ＝80km/h，
即甲车的速度是80km/h；
（2）相遇时间为： ＝2h，
由题意可得， ＝ ，
解得，a＝75，
经检验，a＝75是原分式方程的解，
即a的值是75．
【点评】本题考查分式方程的应用、函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答问题．
23．（8分）如图，在 ▱ABCD中，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的 O
分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）求证：EF2＝⊙4BP•QP．
【考点】L5：平行四边形的性质；MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）连接OE，AE，由AB是 O的直径，得到∠AEB＝∠AEC＝90°，根据四边形
ABCD是平行四边形，得到PA＝PC推⊙出∠OEP＝∠OAC＝90°，根据切线的判定定理即可
得到结论；（2）由AB是 O的直径，得到∠AQB＝90°根据相似三角形的性质得到∴PA2＝
⊙
PB•PQ，根据全等三角形的性质得到PF＝PE，求得PA＝PE＝ EF，等量代换即可得到结
论．
【解答】证明：（1）连接OE，AE，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB⊙＝∠AEC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
第20页（共28页）∴PA＝PC，
∴PA＝PC＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠OEP＝∠OAC＝90°，
∴EF是 O的切线；
⊙
（2）∵AB是 O的直径，
∴∠AQB＝90⊙°，
∴△APQ∽△BPA，
∴ ，
∴PA2＝PB•PQ，
在△AFP与△CEP中， ，
∴△AFP≌△CEP，
∴PF＝PE，
∴PA＝PE＝ EF，
∵PE2＝PB•PQ＝（ EF）2，
∴EF2＝4BP•QP．
【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出
辅助线是解题的关键．
24．（8分）如图，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两
边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
第21页（共28页）（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝90°，其两边分
别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出
点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，
那么S四边形OCMD ＝S四边形OAMB ＝6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k＝6；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨
论： 如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据
AAS①证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标； 如图3，同理求出E点坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点②C，MD⊥y轴于点D，
则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，
∴△AMC≌△BMD，
∴S四边形OCMD ＝S四边形OAMB ＝6，
∴k＝6；
（2）存在点E，使得PE＝PF．
由题意，得点P的坐标为（3，2）．
如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
①∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3﹣2＝1，GE＝HP＝2﹣1＝1，
∴OE＝OG+GE＝3+1＝4，
∴E（4，0）；
第22页（共28页）如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
②∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3+2＝5，GE＝HP＝5﹣2＝3，
∴OE＝OG+GE＝3+3＝6，
∴E（6，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函
数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度．利用数形结合
与分类讨论是解题的关键．
25．（10分）若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的
另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB
第23页（共28页）＝c，各边上的高分别记为h ，h ，h ，各边上的内接正方形的边长分别记为x ，x ，x
a b c a b c
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证： + ＝ ；
（2）特殊应用：若∠BAC＝90°，x ＝x ＝2，求 + 的值；
b c
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断x 与x 的大小，并说明理由．
b c
【考点】KY：三角形综合题；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）先根据EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例，列出
比例式变形即可得到 + ＝ ；
（2）先根据（1）中的结论得出 ，再将h ＝c和x ＝2代入变形，即可求得 + 的
b b
值；
（3）先根据（1）中的结论得出 和 ，变形得出 ， ，
再根据△ABC得到bh ＝ch ，h ＝csinA，h ＝bsinA，最后代入代数式 进行变形推
b c b c
导，即可得出x 与x 的大小关系．
b c
【解答】解：∵正方形EFGH中，EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴ ＝ ，即 ，
∴ + ＝ ；
第24页（共28页）（2）由（1）得： ，
∵∠A＝90°，
∴h ＝c，
b
又∵x ＝2，
b
∴ ；
（3）x ＞x ．
b c
证明：由（1）得： ， ，
∴ ， ，
∵S＝ bh ＝ ch ，
b c
∴2S＝bh ＝ch ，
b c
又∵h ＝csinA，h ＝bsinA，
b c
∴ ＝
＝
＝ ，
∵b＜c，sinA＜1，
∴ ＜0，即 ＜0，
∴x ＞x ．
b c
【点评】本题主要考查了三角形的综合运用，难度较大，解决问题的关键是掌握相似三角形的
第25页（共28页）判定与性质．解题时注意，当三角形的高出现时，可以考虑相似三角形的对应高之比等于
相似比；其中第（2）个问题也可以运用相似三角形的性质进行计算求解．此外，特殊应用
和拓展延伸部分的解答都运用了模拟探究中的结论．
26．（12分）如图，抛物线C ：y＝﹣ x2+2 x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
1
（1）将抛物线C 上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解
1
析式；
（2）将抛物线C 上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C ，抛物线C
1 2 2
的顶点为C，点P在抛物线C
2
上，满足S△PAC ＝S△ABC ，且∠ACP＝90°．
当k＞1时，求k的值；
①当k＜﹣1时，请直接写出k的值，不必说明理由．
②
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由抛物线C 解析式求出A、B及原点坐标，将三点坐标都扩大到原来的2倍，待
1
定系数求解可得；
（2） 如图1中，当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C 的解析式为y＝﹣ x2+2 x及顶点
2
①
C的坐标，根据S△PAC ＝S△ABC 知BP∥AC，继而可得△ABO是边长为2的正三角形，四边
形CEBP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C 解析式可求得k的值；
2
如图2中，当k＜﹣1时，作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得
②四边形CEBP是矩形，先求出抛物线C 解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C
2 2
解析式可求得k的值；
【解答】解：（1）∵y＝﹣ x2+2 x＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∴抛物线C 经过原点O，点A（1， ）和点B（2，0）三点，
1
∴变换后的抛物线经过原点O，（2，2 ）和（4，0）三点，
∴变换后抛物线的解析式为y＝﹣ x2+2 x；
第26页（共28页）（2） 如图1中，当k＞1时，
∵抛物①线C
2
经过原点O，（k， k），（2k，0）三点，
∴抛物线C 的解析式为y＝﹣ x2+2 x，
2
∴O、A、C三点共线，且顶点C为（k， k），
如图，∵S△PAC ＝S△ABC ，
∴BP∥AC，
过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E，
由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，
∴OE＝1，CE＝BP＝2k﹣1，
∵∠PBD＝60°，
∴BD＝k﹣ ，PD＝ （2k﹣1），
∴P（k+ ， （2k﹣1）），
∴ （2k﹣1）＝﹣ （k+ ）2+2 （k+ ），
解得：k＝ ；
如图2中，当k＜﹣1时，
②
第27页（共28页）∵抛物线C 经过原点O，（k， k），（2k，0）三点，
2
∴抛物线C 的解析式为y＝﹣ x2+2 x，
2
∴O、A、C′三点共线，且顶点C′为（k， k），
作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，
∵S△PAC′ ＝S△ABC ＝S△AC′B′ ，
∴A′P∥AC′，由题意四边形PC′OE′是矩形，
∴PE′＝OC′＝﹣2k，B′E′＝1，PB′＝﹣2k﹣1，
在Rt△PDB′中，∵∠PDB′＝90°，∠PB′D＝∠A′B′O＝60°，
∴DB′＝ PB′＝ ，DP＝ （﹣2k﹣1），
∴点P坐标[ ， （2k+1）]，
∴ （2k+1）＝﹣ （ ）2+2 （ ）
∴k＝﹣ ．
【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数的性质、解直角三角形等知识点，根
据题意表示出点P的坐标是解题的关键，学会添加辅助线构造特殊四边形解决问题，属于
中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/2/2 14:41:41；用户：星光；邮箱：orFmNt9Sl5o9zVVGxqq8R8Yve1Uc@weixin.jyeoo.com；学号：24989655
第28页（共28页）
